高中数学高考专题08 导数与不等式、函数零点相结合 （原卷版）

专题08导数与不等式、函数零点结合 

命题规律一 已知不等式恒成立求参数范围

【解决之道】此类问题有两类解法，①参变分离，转化为（或）恒成立，即（或）恒成立，求出的最值即可求出参数的范围；②分类整合，根据题意构造函数，转化为函数的最大值小于零或最小值大于零问题，利用分类整合思想求出函数的最值，列出关于参数的不等式，即可求出参数的范围.

【三年高考】

1.【2020年高考江苏卷19】已知关于的函数，与（，）在区间上恒有．

（1）若，，，求的表达式；

（2）若，，，，求的取值范围；

（3）若，，，，求证：．

2.【2020年高考山东卷21】

已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若，求的取值范围．

3.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

4.【2019年高考浙江】已知实数，设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有 求的取值范围．

注：e=2.71828…为自然对数的底数．

命题规律二  证明双变量不等式

【解决之道】破解含双参不等式的证明的关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；

二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．　　

【三年高考】

1.【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．

命题规律三  利用导数证明单变量不等式

【解决之道】单变量不等式的证明有三种方法：①作差构造法，左减右构造函数，转化为求函数最值问题；

②隔离审查法，若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．

③放缩法，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：

(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；

(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；

(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；

(4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；

(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；

(6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．

【三年高考】

1.【2019年高考北京文数】已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

2.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，．

命题规律四 求函数零点或判定函数零点位置或个数

【解决之道】函数图象与x轴交点的个数，所以可以借助函数图象的特征迅速求解函数的零点个数问题．对于含参函数的零点个数，一般可从两个方面讨论：(1)利用导数研究函数的单调性和极值，作出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”；

(2)分离参数，将问题转化为：求直线y＝a与函数y＝f(x)的图象交点个数问题，即“求根问题要通变，分离参数放左边”．　

【三年高考】

1.【2020年高考浙江卷22】已知，函数，其中e=2．71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数．证明：

（1）存在唯一的极值点；

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

3.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数．

 （1）若，求的单调区间；

 （2）证明：只有一个零点．

4.【2018年高考浙江】已知函数f(x)=−lnx．

（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；

（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

5.【2018年高考江苏】记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”．

（1）证明：函数与不存在“S点”；

（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由．

命题规律五 已知函数零点个数求参数范围

【解决之道】根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．

【三年高考】

1.【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则

A．a<–1，b<0   B．a<–1，b>0   

C．a>–1，b<0   D．a>–1，b>0

2.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

3.【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数．

（1）讨论的单调性：

（2）若有三个零点，求的取值范围．

4.【2018年高考天津文数】设函数，其中,且是公差为的等差数列．

（I）若求曲线在点处的切线方程；

（II）若，求的极值；

（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围．