高中数学高考专题08 数列——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析）

这是一份高中数学高考专题08 数列——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（教师版含解析），共31页。试卷主要包含了【2020年高考全国Ⅰ卷理数】，【2020年高考山东】等内容，欢迎下载使用。

专题08 数列

1．【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
2．【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，
且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.
3．【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
4．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．
【答案】
【解析】因为，所以．
即．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．
5．【2020年高考江苏】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
6．【2020年高考山东】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.

7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】
设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】(1)设的公比为，由题设得 即.
所以 解得(舍去)，.
故的公比为.
(2)设为的前n项和.由(1)及题设可得，.所以
，
.
可得

所以.
8．【2020年高考全国III卷理数】设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解析】(1) 猜想 由已知可得
，
，
……
.
因为，所以
(2)由(1)得，所以
. ①
从而
.②
得
，
所以
9．【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．
(1)若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；
(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，
也即，此式对一切正整数n均成立．
若，则恒成立，故，而，
这与是等差数列矛盾．
所以．(此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列)
(2)因为数列是“”数列，
所以，即．
因为，所以，则．
令，则，即．
解得，即，也即，
所以数列是公比为4的等比数列．
因为，所以．则
(3)设各项非负的数列为“”数列，
则，即．
因为，而，所以，则．
令，则，即．(*)
①若或，则(*)只有一解为，即符合条件的数列只有一个．
(此数列为1，0，0，0，…)
②若，则(*)化为，
因为，所以，则(*)只有一解为，
即符合条件的数列只有一个．(此数列为1，0，0，0，…)
③若，则的两根分别在(0，1)与(1，+∞)内，
则方程(*)有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1(记此解为t)．
所以或．
由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的有无数多个．
综上所述，能存在三个各项非负的数列为“”数列，的取值范围是．
10．【2020年高考山东】
已知公比大于的等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【解析】(1)设的公比为．由题设得，．
解得(舍去)，．由题设得．
所以的通项公式为．
(2)由题设及(1)知，且当时，．
所以

．
11．【2020年高考天津】
已知为等差数列，为等比数列，．
(Ⅰ)求和的通项公式；
(Ⅱ)记的前项和为，求证：；
(Ⅲ)对任意的正整数，设求数列的前项和．
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以．
(Ⅲ)解：当为奇数时，；当为偶数时，．
对任意的正整数，有，
和． ①
由①得． ②
由①②得，从而得．
因此，．
所以，数列的前项和为．
12．【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．
(Ⅰ)若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若{bn}为等差数列，公差，证明：．
【解析】(Ⅰ)由得，解得．
由得．
由得．
(Ⅱ)由得，
所以，
由，得，因此．
13．【2020年高考北京】已知是无穷数列．给出两个性质：
①对于中任意两项，在中都存在一项，使；
②对于中任意项，在中都存在两项．使得．
(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.
【解析】
(Ⅰ)不具有性质①；
(Ⅱ)具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)【解法一】
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然，假设数列中存在负项，设，
第一种情况：若，即，
由①可知：存在，满足，存在，满足，
由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，
另一方面，，由数列单调性可知：，
这与的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明：
利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
而，故，
此时必有，即，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列的前项成等比数列，不妨设，
其中，(情况类似)
由①可得：存在整数，满足，且 (*)
由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，
由可得： (**)
由(**)和(*)式可得：，
结合数列的单调性有：，
注意到均为整数，故，
代入(**)式，从而.
总上可得，数列的通项公式为：.
即数列为等比数列.
【解法二】假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取，此时，
由数列的单调性可知，
而，故，
此时必有，即，
即成等比数列，不妨设，
然后利用性质①：取，则，
即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，
否则，由数列的单调性可知，
在性质②中，取，则，从而，
与前面类似的可知则存在，满足，
若，则：，与假设矛盾；
若，则：，与假设矛盾；
若，则：，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，
同理可得：，从而数列为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列为等比数列.
【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.

1．【2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次“战疫”线上测试数学】在等差数列中，若，，则和的等比中项为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：，所以，，
所以.，
所以和的等比中项为.
故选A．
2．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为
A．5 B． C． D．10
【答案】C
【解析】设最小的一份为,公差为d,
由题意可得,且，
解得,
故选C．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有5个基本量，列出方程组，可求得数列中的量.
3．【湘赣粤2020届高三(6月)大联考】已知数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为数列的前项和为，，，
当时，；
把代入检验，只有答案AB成立，排除CD；
当时，；排除B．
故选A ．
【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用以及排除法在选择题中的应用，属于基础题．
4．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知等比数列的前项和为，若，，则
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】设等比数列的首项为，公比为，
因为且，
所以，解得或，
当，时，；
当，时，.
所以.
故选A．
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查学生对公式的熟练程度及计算能力，属于基础题.
5．【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考数学】已知数列的前项和，且满足，则
A．1013 B．1022 C．2036 D．2037
【答案】A
【解析】由数列的前项和，且满足，
当时，，
两式相减，可得，即，
令，可得，解得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，
则 ，所以，
所以
.
故选：A．
【点睛】
本题考查了等比数列的定义，等比数列的通项公式以及等比数列的前项和公式的综合应用，着重考查推理与计算能力，属于中档试题.
6．【山西省阳泉市2020届高三下学期第二次质量调研数学】已知数列中，，，则
A． B． C． D．5051
【答案】D
【解析】由题意，数列中，，，
则，
各式相加，可得

，
所以.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，以及等差数列的前项和公式的应用，其中解答中根据数列的递推关系式，合理利用叠加法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
7．【2020届广东省中山市高三上学期期末数学】已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为
A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.
故选D．
8．【2020届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测数学】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少()里.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设每天走的路程里数为,则是公比为的等比数列,
由得, 解得:
所以
后四天走的路程:,前两天走的路程:，
又，且，∴，
∴
故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198，
故选:A．
9．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是
A．若是递增数列，则，
B．若是递减数列，则，
C．若，则
D．若，则是等比数列
【答案】D
【解析】A选项中，，满足单调递增，故A错误；
B选项中，，满足单调递减，故B错误；
C选项中，若，则，故C错误；
D选项中，，所以是等比数列.故D正确.
故选D．
【点睛】
本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.
10．【2020届湖南省高三上学期期末统测数学】已知数列是等比数列，，则__________.
【答案】
【解析】设的公比为，由，得，故.
故答案为：
11．【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测数学】记为等差数列的前项和.已知，，则公差__________．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
，
解得
故答案为：
12．【河北省2020届高三上学期第一次大联考数学】等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则的值为　　　.
【答案】
【解析】因为，是等差数列，所以，
则.
13．【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试数学】已知数列满足，则________.
【答案】-1.
【解析】，
累加得，
所以，当时也符合，
.
故答案为:-1
14．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】记为正项等差数列的前项和，若，则_________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
由题得，所以
所以.
所以.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.
【答案】
【解析】由题意可得1个月后的老鼠的只数,
2个月后老鼠的只数,
3个月后老鼠的只数…，
n个月后老鼠的只数.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.
16．【山西省太原市2019-2020学年高三上学期期末数学】记数列的前项和为，若，，，则___________.
【答案】2559
【解析】因为，，
所以，
所以，
，
，
，
.
则.
故答案为：2559
【点睛】
本题主要考查数列递推累加求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．【广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学】已知函数(，)有两个不同的零点，，和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为______.
【答案】
【解析】函数(，)有两个不同的零点，，
可得，且，
和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，
可得，
再设−2，，为等差数列，可得，
代入韦达定理可得，
即有，解得a＝−5(4舍去)，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的零点和二次方程的韦达定理，以及等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
18．【江西省2019-2020学年高三4月新课程教学质量监测卷】设Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S3、a17、Sm成等比数列，求S3m.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18，
∴⇒，解得：d=2.
∴
(2)由(1)知：.
∵成等比数列，∴，即9m2，解得m11.
故
【点睛】
本题考查求等差数列的通项公式和求前项的和，以及等比数列的性质，属于中档题.
19．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】记是正项数列的前项和，是和的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【解析】(1)因为是和的等比中项，
所以①，当时，②，
由①②得：，
化简得，即或者(舍去)，
故，数列为等差数列，
因为，解得，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，.
(2)因为，
所以.
【点睛】
本题考查数列通项公式的求法以及数列的前项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.
20．【2020届广东省中山市高三上学期期末数学】设为数列的前项和，已知，.
(1)证明为等比数列；
(2)判断，，是否成等差数列？并说明理由.
【解析】(1)证明：∵，，∴，
由题意得，，
∴是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由(1)，∴.
∴，
∴，
∴，即，，成等差数列.
21．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】等差数列的前项和为，，其中，，成等比数列，且数列为非常数数列.
(1)求数列通项；
(2)设，的前项和记为，求证：.
【解析】(1)因为，，成等比数列，
由所以，
即，
解得得或(舍去)，
所以.
(2)由(1)知：，
，
，
.
【点睛】
本题主要考查等比中项，等差数列的通项公式和前n项和公式以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】已知各项都为正数的等比数列，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，，求.
【解析】 (1)设各项都为正数的等比数列的公比为，则，
因为，，
所以，解得，，
所以，
(2)由(1)知，，故，
当时，；
当时，，
故.
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前项和公式为，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.
23．【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列满足：是公比为2的等比数列，是公差为1的等差数列.
(I)求的值；
(Ⅱ)试求数列的前n项和.
【解析】(Ⅰ)方法一：构成公比为2的等比数列


又构成公差为1的等差数列
,解得
方法二：构成公比为2的等比数列,
.①
又构成公差为1的等差数列,
②
由①②解得：

(Ⅱ)



两式作差可得：


,
.
24.【四川省泸县第一中学2020届高三三诊模拟考试数学(文)试题】已知正项等比数列的前项和为， ， ，数列满足，且．
(I)求数列的通项公式；
(II)求数列的前项和．
【解析】(Ⅰ)根据题意，设的公比为，所以解得
又，
所以
．
(Ⅱ)因为，
所以．
25．【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列的前项和为，且满足，．
(I)求的通项公式；
(Ⅱ)若，数列的前项和为，求证：．
【解析】(I)当时，由，得；
当时，，两式相减得，
即，又，
故恒成立，
则数列是公比为的等比数列，可得．
(Ⅱ)由(I)得，
则，
则
．


故
26．【2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试数学】已知数列中，，，.
(1)求证：数列是等比数列;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】(1)证明：因为
所以,
又因为,则,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知,所以,
所以


27．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】已知点是函数的图象上一点，数列的前项和是.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】 (1)把点代入函数得，所以，
所以数列的前项和是.
当时，；
当时，，
所以；
(2)由，得，所以
，①
.②
由①－②得：，
所以.
【点睛】
本题主要考查了法求通项公式，即，运用错位相减法求和，求和时应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解，属于中档题.
28.【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】已知数列前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【解析】(1)当时，．
当时，．
而，
所以数列的通项公式为.
(2)当时，，[来源:学科网]
当时，，
所以，
当时，，
当时，
．
又，符合，
所以．