高中数学高考专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入(解析版)
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这是一份高中数学高考专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入(解析版),共12页。试卷主要包含了已知,,,则等内容,欢迎下载使用。
专题11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入1.(2021·浙江高考真题)若实数x,y满足约束条件,则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】画出满足条件的可行域,目标函数化为,求出过可行域点,且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域,如下图所示:目标函数化为,由,解得,设,当直线过点时,取得最小值为.故选:B.2.(2021·浙江高考真题)已知,,(i为虚数单位),则( )A. B.1 C. D.3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果,然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】,利用复数相等的充分必要条件可得:.故选:C.3.(2021·全国高考真题)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简,从而可求对应的点的位置.【详解】,所以该复数对应的点为,该点在第一象限,故选:A.4.(2021·北京高考真题)在复平面内,复数满足,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得:.故选:D.5.(2021·全国高考真题)已知,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为,故,故故选:C.6.(2021·全国高考真题(理))设,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】设,利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式,解出这两个未知数的值,即可得出复数.【详解】设,则,则,所以,,解得,因此,.故选:C.7.(2021·全国高考真题)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折次,那么______.【答案】5 【分析】(1)按对折列举即可;(2)根据规律可得,再根据错位相减法得结果.【详解】(1)由对折2次共可以得到,,三种规格的图形,所以对着三次的结果有:,共4种不同规格(单位;故对折4次可得到如下规格:,,,,,共5种不同规格;(2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为的等比数列,首项为120,第n次对折后的图形面积为,对于第n此对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为种(证明从略),故得猜想,设,则,两式作差得:,因此,.故答案为:;.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;(3)对于结构,利用分组求和法;(4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.1.(2021·陕西高三其他模拟(理))已知实数满足约束条件,则目标函数的最小值为( )A. B. C. D.4【答案】A【分析】作出实数满足的约束条件表示的平面区域,再由目标函数的几何意义借助几何图形求解即得.【详解】画出约束条件表示的平面区域,如图中阴影区域,它是斜向上的一个开放性区域,含边界,目标函数,即,表示斜率为-3,纵截距为z的平行直线系,作出直线l0:,平移直线l0使其过点A时的直线纵截距最小,z最小,由得,即点,于是得,所以目标函数的最小值为.故选:A2.(2021·重庆高三其他模拟)已知,,,则的最小值为( )A.9 B.5 C. D.【答案】C【详解】,所以.第7题解析:由题意知,在平面和平面上的投影分别为和,取中点,连,,∵,,∴,,故平面,所以点的轨迹即为平面与正方体表面的交线,取中点,连接,,则,∴,,,四点共面,∴点的轨迹即为等腰梯形,由正方体棱长为2得,,故轨迹长度为.3.(2021·全国高三三模)已知,,且,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【详解】因为,,且,所以,所以,所以,即当且仅当即,时等号成立,故的最小值.4.(2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟(理))苏格兰数学家科林麦克劳林(ColinMaclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式,受到了世界上顶尖数学家的广泛认可,下面是麦克劳林建立的其中一个公式:,试根据此公式估计下面代数式的近似值为( )(可能用到数值ln2.414=0.881,ln3.414=1.23)A.3.23 B.2.881 C.1.881 D.1.23【答案】B【分析】利用赋值法求得所求表达式的值.【详解】依题意,令,则,,.故选:B5.(2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟(理))若复数,则|z|=( )A. B.1 C.2 D.【答案】D【分析】首先化简复数,再求复数的模.【详解】,所以.故选:D6.(2021·全国高三其他模拟(理))已知复数满足,则( )A.1 B.2 C. D.【答案】D【分析】,利用复数的运算求出复数,从而求出.【详解】解:,所以.故选:D.7.(2021·广西师大附属外国语学校高三其他模拟(理))复数z的虚部为,模为2,则复数z2的对应点位于复平面内( )A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第二或三象限【答案】D【分析】结合复数的概念及模长求出复数,然后根据复数的乘方运算,即可判断所处象限.【详解】设,因为,所以,所以或,若,则,复数z2的对应点位于复平面内第二象限;若,则,复数z2的对应点位于复平面内第三象限;故选:D.8.(2021·哈尔滨市第一中学校高三三模(理))复数满足等式,则复数在复平面内对应的点所在的象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】先计算复数z,找到对应点,再判断象限.【详解】因为所以 故复数对应点为 ,在第二象限.故选:B9.(2021·全国高三其他模拟(理))若,满足约束条件,则的最大值为______.【答案】7【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得,由,得,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为7.故答案为:7.10.(2021·全国高三其他模拟(理))已知,,且,则的最小值为___________.【答案】【分析】由已知构造运用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.【详解】,,且,当且仅当,且,即,时取等号,的最小值为.故答案为:.11.(2021·山西太原市·太原五中高三二模(理))任取一个正整数m,若m是奇数,就将该数乘3再加上1;若m是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等),若,则经过________次步骤后变成1;若第5次步骤后变成1,则m的所有可能取值组成的集合为________.【答案】5 【分析】根据“冰雹猜想”进行计算,由此确定正确结论.【详解】时,各步的结果为,即次步骤后变成.时,各步的结果为,即次步骤后变成.时,各步的结果为,即次步骤后变成.其它正整数不符合题意,故若第5次步骤后变成1,则m的所有可能取值组成的集合为.故答案为:;.
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