高中数学高考专题12 坐标系与参数方程（解析版）

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专题12 坐标系与参数方程1．（2021·全国高考真题（理））在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．【答案】（1），（为参数）；（2）或.【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.【详解】（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得或【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，将代入可得，即，即曲线C的直角坐标方程为；（2）设，设，，则，即，故P的轨迹的参数方程为（为参数）曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，则圆心距为，，两圆内含，故曲线C与没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.1．（2021·全国高三其他模拟（理））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点P，且，求直线l的倾斜角.【答案】（1），；（2）或..【分析】（1）代入到参数方程，利用倍数关系消去参数可得直线的普通方程；利用公式结合可求得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由此求得关于的一元二次方程，根据的几何意义得到，由此求解出的值.【详解】（1）因为的参数方程为，所以，所以的普通方程为，又因为，所以，所以，所以曲线的直角坐标方程为；（2）将代入中，得，即，所以，因为，所以，所以，又因为，所以或，所以直线倾斜角为或.2．（2021·河南高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与直线的直线坐标方程；（2）若与平行的直线与曲线交于，两点，且在轴上的截距为整数，的面积为，求直线的方程．【答案】（1）；；（2）或．【分析】(1)利用平方关系消去参数得的普通方程；利用，得直线的直线坐标方程；（2）设直线的平行直线：，求出点到直线的距离得面积公式解方程求解【详解】（1）曲线的参数方程化为普通方程为．由，，可得，直线的直线坐标方程为．（2）由（1）知的直线方程为，．设直线：，由题知．所以到直线的距离，所以，所以，整理得，所以或，因为，所以或．所以直线的方程为或．3．（2021·全国高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）已知直线的极坐标方程为，直线与曲线分别交于(异于点)两点，若，求.【答案】（1）：，：；（2）【分析】（1）将化简为，消参即可得到的直角坐标方程，将变为，从而求出的直角坐标方程；（2）求出的极坐标方程，由，的极坐标方程得：，，由即可求出的值.【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为为参数，所以，所以：；又因曲线的极坐标方程为，所以，即，所以：；（2）的极坐标方程为：，即，把代入，的极坐标方程得：，，所以，所以，解得或，因为，所以，所以.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到曲线距离的最大值.【答案】（1）曲线：；曲线：；（2）【分析】（1）消去参数t，得到曲线的普通方程；由，，将极坐标方程化为直角方程；（2）圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加上半径，从而求得最大值.【详解】（1）由题知，消去参数t，得到曲线的普通方程；由，由，，将极坐标方程化为直角方程，即曲线的直角坐标方程为.（2）圆心到直线的距离为，则曲线上的点到曲线距离的最大值为.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）判断曲线与曲线公共点的个数，并说明理由.【答案】（1）曲线：；曲线：；（2）2，理由见解析；【分析】（1）根据消去参数，得到曲线的普通方程；根据，将极坐标方程转化为直角方程.（2）求得圆心到直线的距离，与圆的半径比较，来判断直线与圆的关系，从而判断交点个数.【详解】（1）根据消去参数，得到曲线的普通方程为：；根据，将极坐标方程转化为直角方程，则曲线的方程为：；（2）曲线的圆心到直线的距离为，则曲线与直线相交，故有2个公共点.6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知圆，若上所有的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线，以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线的极坐标方程；(2) 设，为曲线上的两点，且，求的值．【答案】(1) ；(2) ．【分析】(1) 根据坐标变换规则，求出曲线的直角坐标方程，再利用，化为极坐标方程.(2) 根据第(1)的结果，确定在极坐标系下求解的值.【详解】(1) 设圆上任意一点经变换后对应的点为，则，即，代入圆的方程，得，化简可得曲线的直角坐标方程为．将，代入，可得曲线的极坐标方程为，即.(2) 设，因为，所以，由(1)可得，，所以.7．（2021·全国高三其他模拟（理））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将直线的参数方程消去参数即可得到的普通方程；利用公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再利用直线方程中参数的几何意义及弦长公式，基本不等式，面积公式即可求解.【详解】（1）由消去参数，得，所以直线的普通方程.由，得，将，代入，得，即，所以曲线的直角坐标方程为.（2）根据题意知：，设对应的参数分别为，将直线的参数方程代入，化简得，所以，，所 ，到直线的距离，所以 ，当且仅当 即时等号成立，所以面积的最大值为．8．（2021·全国高三其他模拟（理））在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，点P坐标为(0，2).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，直线l交圆C于A，B两点.（1）求点P的极坐标和圆C的极坐标方程；（2）设AB的中点为M，求四边形OPCM的面积.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得点的极坐标，化简参数方程为普通方程，从而求得极坐标方程；（2）由M为AB的中点知，，四边形OPCM的面积，代入求得面积.【详解】（1）由P坐标为(0，2).则其极坐标为；消去参数，得到圆的普通方程：，即，则由知，圆的极坐标方程为；（2）由M为AB的中点知，，且，四边形OPCM的面积.