高中数学高考专题12 计数原理-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版）

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易错点1 分类计数时考虑不全

有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；
每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；
每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，
根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15种．
【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．
【试题解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号；
每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；
每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．
根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．
【参考答案】39种.

1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:
(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;
(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．使用分类加法计数原理遵循的原则：
有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．
3．应用分类加法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．
（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．

1．在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有           种不同的选取方法(用数字作答).
【答案】18

易错点2 未选准分步依据

将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？
【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；
同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法.
根据分步乘法计数原理，共有种不同的投法.
【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”.
【试题解析】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;
同理，第2，3，4封信各有3种投法.
根据分步乘法计数原理，共有种投法.
【参考答案】81种.

对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有种不同的投法.

1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:
（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;
（2）完成每一步有若干方法;
（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：
（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．
（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．
（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．

2．5名男生与5名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有2名女生,且女生不排在两端,这样的排列种数为
A．5760 B．57600
C．2880 D．28800
【答案】B
【解析】先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素,即种排法，女生不排在两端,则加上另外的3名男生共4个选择中选2个排在两端，即种排法，剩下的元素全排列,即种排法，故有 =57600．
故选：B．学科@网
易错点3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件

解不等式.
【错解】由排列数公式得，化简得x2－19x＋84