第11讲 反比例函数及其图像与性质（讲通）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

【2022讲通练透】二轮第十一讲  反比例函数及其图像与性质一、九大必备知识点考点一  反比例函数的定义及解析式考点二  反比例函数的图像与性质考点三  反比例函数与平面几何综合             
   一、九大必备知识点一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．二、反比例函数的图象和性质3．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式（k是常数，k≠0）kk>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大4．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．5．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定6．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．7．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义8．反比例函数图象中有关图形的面积9．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．   考点一  反比例函数的定义及解析式 1．下面的函数是反比例函数的是（　　）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝2．下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（　　）A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣+1 D．y＝﹣2x﹣13．已知函数y＝（k﹣2）x|k|﹣3（k为整数），当k为 　   　时，y是x的反比例函数．4．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若平行四边形ABCD面积为4，则反比例函数y＝的关系式为 　                　．5．如图所示，菱形OEFG中，∠GOE＝60°，GF＝4，点E在y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为 　                　． 考点二  反比例函数的图像与性质 1．一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象如右图，它们的解析式可能是（　　）A． B． C． D．2．已知点（﹣1，a）、（2，b）、（3，c）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（　　）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a3．若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞14．从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是　              　．  考点三  反比例函数与平面几何综合 1．如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为（　　）A．4 B．6 C．8 D．102．如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D，若＝，则△ABC的面积为（　　）A．12 B．10 C．9 D．83．如图所示，过原点且与y＝x垂直的直线y＝k1x与反比例函数y＝﹣相交于A、B两点，过B点作与x轴平行的直线，交y＝x于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　）A． B． C． D．4．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，0），D为AO上一点，连接BD，CD，OB，CD与OB相交于点E，取EC的三等分点F（EF＞FC），连接OF并延长，交BC于点G，已知S△BOD：S△BOC＝2：3，反比例函数y＝（k＞0）经过D，G两点，则k的值为（　　）A． B． C． D．5．如图所示，菱形ABCD的顶点A、C在x轴上，反比例函数y＝经过点D和BC中点E，若菱形ABCD的面积是16，则k的值为（　　）A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣26．如图：四边形ABCD为菱形，且对角线BD∥x轴，A、C两点在y轴上，E点在BC上，且BE＝2CE，双曲线y＝（x＞0）经过E、B两点，且S△EFB＝8，则k的值为（　　）A．3 B． C．4 D．67．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴上，对角线BD平行于y轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，与CD边交于点H，若DH＝2CH，菱形ABCD的面积为6，则k的值为（　　）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，双曲线y＝（x＞0）与矩形OBCD的边BC、CD分别交于点E、F，且与矩形的对角线OC交于点A，连接EF，与对角线OC交于点H，G是对角线OC上的一点，连接GF、GE．若S△EFG＝，OG：GH：HC＝3：1：2，sin∠COB＝，则点A的坐标为（　　）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）9．如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且E为OC的四等分点（OE＞EC），D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k的值为（　　）A． B．7 C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B、C在y轴上，且OB＝3BC，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC'，D是A'B上一点，且A'D＝2BD，连接A'C、C'C，若S△A′CC′＝7，反比例函数y＝的图象恰好经过点D，则k的值是（　　）A．6 B． C． D．1011．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、B分别在y轴、x轴上，连接对角线AC，AC∥x轴，点F为AD边的中点，点G在对角线AC上，已知点F、G均在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，OB：AG＝1：3，S△ABF＝10，则k的值为（　　）A．20 B． C．24 D．12．如图，在平行四边形OABC中，OA在x轴上，双曲线y＝经过点C交AB于D，连接CD并延长交x轴于点E，连接BE，若S△EBD＝，AE＝BC，则k的值为（　　）A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．213．如图，△ABC中，点B，C分别在y轴，x轴上，点D是AB的中点，点E，F是AC的四等分点，连接DF，DF∥x轴，反比例函数y＝的图象恰好经过点D，E，若△ADF的面积为4，则k的值为（　　）A．9 B．12 C．15 D．1814．如图，Rt△ADC在平面直角坐标系下如图放置，DC∥x轴，斜边AC交x轴于点E，过点A的双曲线y＝（k≠0）交Rt△ADC斜边AC的中点B，连接BD，过点C作双曲线y＝（m≠0）．若BD＝2BE，A的坐标为（1，6），则m＝（　　）A．﹣8 B．﹣10 C．﹣24 D．﹣2815．如图，B，C是反比例函数y1＝（x＜0）图象上的两点，A（2，m）是反比例函数y2＝（x＞0）图象上一点，连接AB，BC，AC，若∠BCA＝90°，AC恰好经过原点，AB与y轴交于点D（0，5），则k的值为（　　）A． B． C．﹣8 D．﹣1016．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC经过原点，AC边交x轴于点E，反比例函数y＝（m＜0）的图象经过△ABC的顶点B、C，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过△ABC的顶点A，交AC边于点D，且DC＝4AD．连接BD，BD∥x轴．若四边形BOED的面积为10，则k的值为（　　）A． B．2 C． D．417．如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在第一象限内，AO＝AB，P，Q分别是OA，AB的中点，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点P，连接OQ，若S△OPQ＝3，则k的值为（　　）A．1.5 B．2 C．3 D．618．如图，▱OABC的边OC在x轴上，若过点A的反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图象还经过BC边上的中点D，且S△ABD+S△OCD＝21，则k＝（　　）A．﹣12 B．﹣24 C．﹣28 D．﹣3219．如图，在等腰△AOB中，AO＝AB，顶点A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作BC⊥OB，交反比例函数的图象于点C，连接OC交AB于点D，若，则△BCD的面积为（　　）A． B．6 C． D．520．如图，反比例函数的图象经过平行四边形OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上．若平行四边形OABC的面积为12，则k的值为（　　）A．8 B．6 C．4 D．2