第16讲 三角形及其性质（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

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【2022讲通练透】二轮
第十六讲 三角形及其性质
考点一 三角形的三边关系 2
考点二 三角形的内角与外角 2
考点三 三角形的中线 7
考点四 三角形的角平分线 11















考点一 三角形的三边关系

1．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【解答】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6．
则该三角形的周长是14．
故选：B．
2．若a，b，c为△ABC的三条边长，且满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，则c的值可以为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：由题意得，a﹣5＝0，b﹣2＝0，
解得a＝5，b＝2，
∵5﹣2＝3，5+2＝7，
∴3＜c＜7，
∴c的值可以为6．
故选：A．

考点二 三角形的内角与外角

3．如图，∠B＝60°，∠C＝40°，∠ADC＝3∠A，则∠A的度数为（　　）

A．80° B．30° C．50° D．无法确定
【解答】解：如图所示：
连接BD并延长，
∵∠3是△ABD的外角，∠4是△BCD的外角，
∴∠1+∠A＝∠3①，∠2+∠C＝∠4②，
①+②得，（∠1+∠2）+∠A+∠C＝（∠3+∠4），即∠ABC+∠A+∠C＝∠ADC，
∵∠B＝60°，∠C＝40°，∠ADC＝3∠A，
∴60°+∠A+40°＝3∠A，解得∠A＝50°．
故选：C．

4．如图，BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的平分线，若∠CEB＝46°，则∠BAE的度数是（　　）

A．44˚ B．45˚ C．46˚ D．47˚
【解答】解：如图，延长CA到F．

∵BE和CE分别是∠ABD和∠ACB的平分线，
∴AE平分∠BAF，
设∠ECA＝∠ECB＝x，∠ABE＝∠DBE＝y，
则有，
可得∠CAB＝2∠CEB＝92°，
∴∠BAF＝88°，
∴∠BAE＝∠BAF＝44°，
故选：A．
5．如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（　　）

A．27° B．59° C．69° D．79°
【解答】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠ABC＝3∠3＝81°，
∠C＝106°﹣27°＝79°，
故选：D．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝25°，则∠CDE的度数是（　　）

A．45° B．65° C．70° D．80°
【解答】解：由折叠可得∠ACD＝∠BCD，∠BDC＝∠CDE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵∠A＝25°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝25°+45°＝70°，
∴∠CDE＝70°，
故选：C．
7．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝∠C
【解答】解：A、设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴最大角∠C＝3×30°＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项A不符合题意；
B、∵∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°÷2＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项B不符合题意；
C、设∠C＝y，则∠A＝2y，∠B＝2y，
∴y+2y+2y＝180°，
解得：y＝36°，
∴最大角∠B＝2×36°＝72°，
∴三角形不是直角三角形，选项C符合题意；
D、设∠A＝z，则∠B＝z，∠C＝2z，
∴z+z+2z＝180°，
解得：z＝45°，
∴最大角∠C＝2×45°＝90°，
∴三角形是直角三角形，选项D不符合题意．
故选：C．
8．如图，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分线，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，则∠E的度数是（　　）

A．26° B．22° C．34° D．30°
【解答】解：∵∠D＝22°，∠CGD＝92°，
∴∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠CGD＝66°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠DCG＝132°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝132°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝26°，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC＝80°，∠C＝60°，则∠M的大小为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，
∴∠ABM＝20°，∠CAM＝，
∴∠M＝180°﹣20°﹣50°﹣80°＝30°，
故选：C．


考点三 三角形的中线

10．如图，在△ABC中，已知S△ABD：S△ACD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为9cm2，则△AED的面积为（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【解答】解：∵点E是AB的中点，
∴△AED的面积＝△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD＝2：1，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积×，
∴△AED的面积＝△ABC的面积××＝9×＝3（cm2），
故选：C．
11．如图，△ABF的面积是2，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABC的面积是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．16
【解答】解：连接AE，如图．
∵F为BE中点，S△ABF＝2，
∴S△ABE＝2S△ABF＝2×2＝4，
又E为CD中点，
∴S△ADE＝，S△BDE＝，
∴S△ABE＝S△ADE+S△BDE
＝+
＝（S△ADC+S△BDC）
＝S△ABC
＝4，
故S△ABC＝8．
故选：C．

12．如图，在△ABC中，已知点D，E分别为BC，AD的中点，EF＝2FC，且△ABC的面积12，则△BEF的面积为（　　）

A．5 B． C．4 D．
【解答】解：∵点D是BC的中点，△ABC的面积12，
∴△ABD的面积＝△ACD的面积＝S△ABC＝6，
∵E是AD的中点，
∴△ABE的面积＝△DBE的面积＝△ABC的面积＝3，
△ACE的面积＝△DCE的面积＝△ABC的面积＝3，
∴△BCE的面积＝△ABC的面积＝6，
∵EF＝2FC，
∴△BEF的面积＝×6＝4，
故选：C．

13．如图所示是一块面积为28的三角形纸板，其中AD＝DF，BE＝ED，EF＝FC，则阴影部分的面积为（　　）

A．5.6 B．4 C．3.5 D．2.8
【解答】解：连接AE，BF，CD，如图所示，
∵AD＝DF，BE＝ED，EF＝FC，
则AE、BF、CD分别为△ABD、△BCE、△ACF的中线，
DE、EF、DF分别为△AEF、△BDF、△CDE的中线，
由三角形中线的性质可得：
S△ADC＝S△CDF，S△AED＝S△ABE，
S△BEF＝S△DEF，S△EBF＝S△BFC，
S△ABD＝S△BDF，S△AEF＝S△AFC，
∴△ABC被分为7个面积相等的三角形，中间阴影部分的面积为△ABC面积的，即为28×＝4．
故选：B．

14．如图，D、E分别在△ABC的边BC、AC上，CD＝BC，CE＝AC，AD与BE交于点O，已知△ABC的面积为12，则△ABO的面积为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：连接OC，
∵CD＝BC，CE＝AC，
∴S△ACD＝S△BCE＝S△ABC＝＝4，
又∵S△ACD﹣S四边形ODCE＝S△BCE﹣S四边形ODCE，
即S△AOE＝S△BOD，
又∵AE：EC＝2：1＝BD：DC，
S△OEC＝S△AOE，S△ODC＝S△BOD，
∴S△OEC＝S△ODC，
∴S△BCE＝S△BOD+S△ODC+S△OEC＝4S△ODC＝4，
故S△ODC＝1，
∴S△AOE＝S△BOD＝2，
∴S△ABO＝S△ABC﹣S△ADC﹣S△BOD＝12﹣4﹣2＝6．
故选：C．

15．如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线，CE是△ADC的边AD上的中线，若△ABD的面积为16cm2，则△CDE的面积为（　　）

A．32 cm2 B．16cm2 C．8cm2 D．4cm2
【解答】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为16cm2，
∴△ADC的面积为16cm2，
∵CE是△ADC的边AD上的中线，
∴△CDE的面积为8cm2，
故选：C．



考点四 三角形的角平分线

16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．

A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【解答】解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明AF＝FB，故④错误，
故选：C．
17．下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到该直线的距离；故原命题错误；
②两直线平行，同旁内角互补；故原命题错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题错误；
④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；故原命题正确；
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故原命题错误；
⑥三角形的角平分线是线段．故原命题正确；
其中说法正确的有2个，
故选：A．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE．
同理可得：AD＝AC，
∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14．
故选：A．
19．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　）

A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
【解答】解：满足条件的点有一个，
三角形内部：三个内角平分线交点一个．
三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．
故选：A．
20．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O做EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；③∠BOC＝90°+∠A；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：过O作OQ⊥AB于Q，OR⊥BC于R，如图1，
∵BN平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴OE＝BE，
同理CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O，OQ⊥AB，OD⊥AC，OR⊥BC，
∴OQ＝OR，OD＝OR，
∴OD＝OQ＝OR，
即点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣A）＝90°+A，故③正确；
连接AO，如图2，
∵OD＝OQ＝m，AE+AF＝n，
∴S△AEF＝S△AEO+S△AFO
＝
＝
＝m（AE+AF）
＝mn，故④正确；
即正确的是①②③④，
故选：D．
21．如图所示，点D在∠BAC的角平分线上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF，BC⊥AD于点D，则下列结论中①DE＝DF；②AE＝AF；③∠ABD＝∠ACD；④∠EDB＝∠FDC，其中正确的序号是（　　）

A．② B．①② C．①②③ D．①②③④
【解答】解：∵点D在∠BAC的角平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，故①正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，故②正确；
∵BC⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADB﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠ADF，
即∠EDB＝∠FDC，故④正确；
∵∠ABD+∠EDB＝90°，∠ACD+∠FDC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACD，故③正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故选：D．
22．如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）

A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，
又∵BP＝BP，∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝×16＝8（cm2），
故选：B．

23．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：（1）∠EFD＝∠BCD；（2）AD＝CD；（3）CG＝EG；（4）BF＝BC中，一定成立的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵EF∥AC，∠BCA＝90°，
∴∠CGE＝∠BCA＝90°，
∴∠BCD+∠CEG＝90°，
又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED＝90°，
∵∠CEG＝∠FED（对顶角相等），
∴∠EFD＝∠BCD，故（1）正确；
只有∠A＝45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD＝CD，CG＝EG，故（2）（3）错误；
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠EBF，
在△BCE和△BFE中，，
∴△BCE≌△BFE（AAS），
∴BF＝BC，故（4）正确，
综上所述，正确的有（1）（4）共2个．
故选：B．