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第17讲 三角形全等(练透)-【讲通练透】中考数学二轮(全国通用)
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【2022讲通练透】二轮第十七讲 三角形全等考点一 手拉手模型证全等考点二 倍长中线证全等考点三 手拉手+倍长中线模型考点四 半角模型证全等考点五 三垂直模型证全等考点六 对角互补模型证全等
考点一 手拉手模型证全等 1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,点E、F分别在直线BC、CD上,且∠EAF=∠BAD.(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1),请说明EF=BE+FD的理由;(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2),(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出EF、BE、FD之间的数量关系,并说明理由.2.如图,已知∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.(1)△ABC与△ADE全等吗?请说明理由;(2)若AF⊥CB,垂足为F,请说明线段2CF=CE;(3)在(2)的基础上,猜想线段BF,DE,CD存在的数量关系,并直接写出结论.3.如图,等边△ABC中,点E、F分别是AB、AC的中点,P为BC上一点,连接EP,作等边△EPQ,连接FQ,EF.(1)若等边△ABC的边长为20,且∠BPE=45°,求等边△EPQ的边长;(2)求证:BP=EF+FQ. 考点二 倍长中线证全等 1.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点F为BE中点,连接DF、CF.(1)如图1,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系(不用证明);(2)如图2,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时,请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;(3)如图3,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时,若AD=1,AC=,求此时线段CF的长(直接写出结果).2.在△ABC中,点D是BC的上一点,点E是△ABC外一点,且∠AEB=90°,过点C作CF⊥AF,垂足为F,连接DE,DF.(1)如图1,点D在AE上,D是BC中点,∠BAE=30°,∠CAE=45°,AB=2,求AC的长;(2)如图2,点D不在AE上,连接AD,延长CF至点G,连接GD且GD=AD.若BC平分∠ABE,∠G=∠DAB,求证:DE=DF. 3..在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D与点B在AC同侧,∠DAC>∠BAC,且DA=DC,过点B作BE∥DA交DC于点E,M为AB的中点,连接MD,ME.(1)如图1,当∠ADC=90°时,线段MD与ME的数量关系是 ;(2)如图2,当∠ADC=60°时,试探究线段MD与ME的数量关系,并证明你的结论;(3)如图3,当∠ADC=α时,求的值. 考点三 手拉手+倍长中线模型 1.△ABC中,点D为BC上一点,E为AC上一点,连接AD,BE,DE,已知BD=DE,AD=DC,∠ADB=∠EDC.(1)如图1,若∠ACB=40°,求∠BAC的度数;(2)如图2,F是BE的中点,过点F作AD的垂线,分别交AD、AC于点G、H.求证:AH=CH.2.如图1,等边△ABC中,CE平分∠ACB,D为BC边上一点,且DE=CD,连接BE.(1)若CE=4,BC=,求线段BE的长;(2)如图2,取BE中点P,连接AP,PD,AD,求证:AP⊥PD且AP=PD;(3)如图3,把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度,然后连接BE,点P为BE中点,连接AP,PD,AD,问第(2)问中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.3.在菱形ABCD和正三角形BGF中,∠ABC=60°,P是DF的中点,连接PG、PC.(1)如图1,当点G在BC边上时,若AB=10,BF=4,求PG的长;(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想;并给予证明.(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,(2)问中关系还成立吗?写出你的猜想,并给予证明. 考点四 半角模型证全等 1.如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:①BG=GC:②△ABG≌△AFG;③S△FGC=3;④AG∥CF.其中正确结论是 ①②④ .2.如图,正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD边上的点,且∠EAF=45°,对角线BD交AE于点M,交AF于点N.若AB=4,BM=2,则MN的长为 . 3.如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:EF=BE+FD.(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系,并证明.(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系,并证明. 考点五 三垂直模型证全等 1.已知,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.(1)如图1,若AB=8,点D是AC边上的中点,求S△BCD;(2)如图2,若BD是△ABC的角平分线,请写出线段AB、AD、BC三者之间的数量关系,并说明理由;(3)如图3,若D、E是AC边上两点,且AD=CE,AF⊥BD交BD、BC于F、G,连接BE、GE,求证:∠ADB=∠CEG.2.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为CB上一点,且满足CD=CA,连接AD.过点C作CE⊥AB于点E.(1)若AB=10,BD=2,求CE的长;(2)如图2,若点F是线段CE延长线上一点,连接FD,若∠F=30°,求证:CF=AE+DF;(3)如图3,设D为BC延长线上一点,其它条件不变,直线CE与直线AD交于点F,若∠F=30°,请直接写出线段CF,AE,DF之间的关系,不需要说明理由. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是△ABC内一点,AD=BD,且AD⊥BD,连接CD.过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E,连接BE.过点D作DF⊥CD交BC于点F.(1)若BD=DE=,CE=,求BC的长;(2)若BD=DE,求证:BF=CF. 考点六 对角互补模型证全等 1.菱形ABCD中,∠B=60°,∠MAN=60°,射线AM交直线BC于点E,射线AN交直线CD于点F,连接EF,请解答下列问题:(1)如图1,求证:EC+FC=AC;(2)将∠MAN绕点A旋转,如图2,如图3,请直接写出线段EC,FC,AC之间的数量关系,不需要证明;(3)若S菱形ABCD=18,∠CAE=30°,则CF= 3或12 .2.(1)如图1,四边形ABCD是边长为5 cm的正方形,E,F分别在AD,CD边上,∠EBF=45°.为了求出△DEF的周长.小南同学的探究方法是:如图2,延长EA到H,使AH=CF,连接BH,先证△ABH≌△CBF,再证△EBH≌△EBF,得EF=EH,从而得到△DEF的周长= 10 cm;(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=100°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是线段BC,CD上的点.且∠EAF=50°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系;(3)如图4,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是线段BC,CD上的点,且2∠EAF=∠BAD,(2)中的结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由;(4)若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在CB、DC的延长线上,且2∠EAF=∠BAD,请画出图形,并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系. 3.(2018•阜新中考真题)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.(1)如图1,点E,F在AB,AC上,且∠EDF=90°.求证:BE=AF;(2)点M,N分别在直线AD,AC上,且∠BMN=90°.①如图2,当点M在AD的延长线上时,求证:AB+AN=AM;②当点M在点A,D之间,且∠AMN=30°时,已知AB=2,直接写出线段AM的长.
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