第22讲 相似三角形（练透）-【讲通练透】中考数学二轮（全国通用）

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【2022讲通练透】二轮
第二十二讲 相似三角形
考点一 平行线分线段成比例定理 2
考点二 相似三角形的性质与判定 7
考点三 相似三角形的应用 15
考点四 图形的位似 20















考点一 平行线分线段成比例定理

1．如图，若AB∥CD∥EF，则下列线段的比中，与相等的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，
故选：B．
2．如图△ACB，∠ACB＝90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E．记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当＝时，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T．

∵AO＝OB，
∴S△AOG＝S△OBG，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵OT∥AE，AO＝OB，
∴ET＝TB，
∴OT＝AE，
∴＝，
∵AE⊥CD，CD平分∠BCO，
∴∠DCG＝∠DCE，
∴∠CGE+∠DCG＝90°，∠CEG+∠DCB＝90°，
∴∠CGE＝∠CEG，
∴CG＝CE，
∵∠CGE＝∠COT，∠CEG＝∠CTD，
∴∠COT＝∠CTD，
∴CO＝CT，
∴OG＝ET，
∵GE∥OT，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF＝2FC，AD与EF交于点G，则＝（　　）

A．3：7 B．4：9 C．5：11 D．6：13
【解答】解：连接DE，如图，AF＝2FC，则AF＝AC，
∵D、E分别为BC，AB中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵DE∥AF，
∴＝＝＝＝，
设S△DEG＝3x，则S△AEG＝4x，
∵＝＝，
∴S△AGF＝x，
∵AE＝BE，
∴S△ABD＝2S△ADE＝2（3x+4x）＝14x，
∵BD＝CD，
∴S△ADC＝S△ABD＝14x，
∴S四边形CDGF＝14x﹣x＝x，
∴＝＝．
故选：D．

4．如图，平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BF＝AF，BD与EF交于G，则BG：BD＝（　　）

A．1：5 B．2：3 C．2：5 D．1：4
【解答】解：延长FE，DC相交于H，

∵E是中点，
∴BE＝CE，
∵AB∥DC，
∴∠FBE＝∠HCE，
∵在△EBF与△ECH中，
，
∴△EBF≌△ECH（ASA），
∴BF＝CH，
∵BF＝AF，
∴BF＝AB＝DC，
∵AB∥CD，
∴△BFG∽△HDG，
∴＝＝，
则BG：BD＝1：5．
故选：A．
5．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，且BD：DE：EC＝3：2：1，P是AC边上的点，且AP：PC＝2：1，BP分别交AD、AE于M、N，则BM：MN：NP等于（　　）

A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
【解答】解：作PF∥BC交AE于点F，作DG∥AC交BP于点G．
∵BD：DE：EC＝3：2：1，
∴设EC＝a，则BD＝3a，DE＝2a．
同理，设PC＝b，则AP＝2b．
∵NP∥BC，
∴＝＝＝，＝，
∴PF＝a，则＝＝，
∴＝，即NP＝BP，
∵DG∥AC，BD＝DC＝3a，
∴BG＝BP，DG＝PC＝b．
∵DG∥AC，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴GM＝GP＝BP，
∴MN＝BP﹣BG﹣GM﹣NP＝BP﹣BP﹣BP﹣BP＝BP，BM＝BG+DM＝BP+BP＝BP．
∴BM：MN：NP＝：：＝51：24：10．
故选：D．


考点二 相似三角形的性质与判定

6．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：＝；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得＝成立？并证明你的结论．
【解答】（1）证明：如图（1），∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴；

（2）当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，
∵∠FDG＝∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠DGC＝180°，
∴∠CGD＝∠CDF，
∵∠GCD＝∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴＝，
∴，
∴＝
即当∠B+∠EGC＝180°时，＝成立．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD交于点O．动点P从点B出发沿BC方向，以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CD方向，以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点后即都停止运动，过点Q作QM∥AC交AD于点M，连接PM，PQ．设点P的运动时间为t秒，四边形APQM的面积为S．（0＜t＜6）
（1）求S与t之间的函数关系式；
（2）在运动过程中是否存在某一时刻t，使S四边形APQM：S矩形ABCD＝51：96，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵MQ∥AC，
∴△ACD∽△MQD，
∴，即，
解得，AM＝t，
∴DM＝8﹣t，
由题意，S＝矩形ABCD的面积﹣△ABP的面积﹣△DMQ的面积﹣△PCQ的面积
∴S＝6×8﹣﹣（8﹣t）t﹣×（6﹣t）（8﹣t）＝﹣t2+t+24
自变量t的取值范围是0≤t≤6；
（2）存在
理由如下：∵S四边形APQM：S矩形ABCD＝51：96，
∴﹣t2+t+24＝
∴t＝3
∴当t＝3时，S四边形APQM：S矩形ABCD＝51：96．
8．已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点P在AC上，且∠MPN＝90°．

（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．证明：△PME∽△PNF，PN＝PM．
（2）当PC＝PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请分别写出线段PN、PM之间的数量关系（不用证明）．
【解答】解：（1）如图1，作PF⊥BC，
∵∠ABC＝90°，PE⊥AB，
∴PE∥BC，PF∥AB，
∴四边形PFBE是矩形，
∴∠EPF＝90°
∴P是AC的中点，
∴PE＝BC，PF＝AB，
∵∠MPN＝90°，∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠NPF，
∴△MPE∽△NPF，
∴＝＝，
∵∠A＝30°，
在RT△ABC中，cot30°＝＝，
∴＝，
即PN＝PM；


（2）如图2，PN＝PM，
如图2 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
∴四边形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM，
∴＝，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A＝30°，∠ACB＝60°，
∴PF＝PC，PE＝PA，
∴＝＝，
∵PC＝PA
∴＝，
即：PN＝PM，
如图3，在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
∴四边形BFPE是矩形，
∴△PFN∽△PEM，
∴＝，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A＝30°，∠ACB＝60°，
∴PF＝PC，PE＝PA，
∴＝＝，
∵PC＝PA
∴＝，
即：PN＝PM．



9．如图1，ABCD是边长为1的正方形，O是正方形的中心，Q是边CD上一个动点（点Q不与点C、D重合），直线AQ与BC的延长线交于点E，AE交BD于点P．设DQ＝x．

（1）填空：当时，的值为　　；
（2）如图2，直线EO交AB于点G，若BG＝y，求y关于x之间的函数关系式；
（3）在第（2）小题的条件下，是否存在点Q，使得PG∥BC？若存在，求x的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵ABCD是边长为1的正方形，
∴AD∥BE，
∴＝＝，＝，
∵AD＝BC＝DC＝1，DQ＝，
∴QC＝，
∴＝，
∴CE＝，＝，
∴BE＝，QE＝AE，
∴＝，即＝，
∴AP＝AE，
∴＝＝；

（2）过O作OM⊥AB，ON⊥BC，
∵O是正方形的中心，
∴OM＝MB＝BN＝ON＝，
∵＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴BE＝BC+EC＝，
∵OM∥BE，
∴△GMO∽△GBE，
∴＝，
即＝，整理得：（2﹣x）y＝1，
∴y＝，
∴y关于x之间的函数关系式为y＝；

（3）存在；
理由：∵PG∥BC，
∴＝＝，
∵AG＝1﹣y，GB＝y，AD＝1，BE＝，
∴＝，整理得：y＝，
解得x＝，
所以当x＝时，使得PG∥BC．


10．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

【解答】（1）证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD．
∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB．
∴△ABC∽△FCD；

（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝．
∵S△FCD＝5，
∴S△ABC＝20．
又∵S△ABC＝×BC×AM，BC＝10，
∴AM＝4．
又DM＝CM＝CD，DE∥AM，
∴DE：AM＝BD：BM＝，
∴DE＝．







考点三 相似三角形的应用

11．某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板CDE，保持斜边CE与地面BF平行，延长CE交AB于点G，如图，并沿着射线CD的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高CF为1.6米，点F到旗杆底端的距离BF为12米，CE＝50cm，CD＝40cm，求旗杆AB的高度．

【解答】解：由题意得：CF⊥BF，AB⊥BF，CG⊥AB，
∴∠BFC＝∠ABF＝BGC＝90°，
∴四边形CFBG是矩形，
∴CG＝FB＝12m，CF＝GB＝1.6m，
∵∠CDE＝90°，CE＝50cm，CD＝40cm，
∴DE＝＝＝30cm，
∵∠CDE＝∠CGA＝90°，∠DCE＝∠ACG，
∴△CDE∽△CGA，
∴＝，
∴＝，
∴GA＝9m，
∴AB＝AG+BG＝9+1.6＝10.6m，
答：旗杆AB的高度为10.6米．
12．揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点A为揽月阁的顶部，点B为揽月阁的底部，小明在点C处放一水平的平面镜，然后沿着BC方向向前走0.5米，到达点D处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端A的像．接下来小明不动，小丽在C处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端P、揽月阁的顶端A、小明的眼睛E在一条直线上，此时测得测量杆的高度CF＝1.98米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离DE＝1米，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，求揽月阁的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）

【解答】解：延长AE交BC的延长线于H，由题意知∠ACF＝∠ECF，
∵AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，
∴∠BCF＝∠DCF＝∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∵CD＝0.5，DE＝1，
∴＝，
∴AB＝2BC，
∵AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，
∴ED∥FC∥AB，
∴△HFC∽△HAB，△HED∽△HFC，
∴＝，＝，
设BC＝x，HD＝y，则AB＝2x，HB＝x+y+0.5，HC＝y+0.5，
，
解得：x＝49.5，
∴AB＝99（米）
答：揽月阁的高度AB为99米．

13．学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．
（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

【解答】解：（1）如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH都是矩形．

∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，
∵AB＝2.5米．
∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝12.5（米），
∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．

（2）如图2中，过点E作ET⊥CD于点T交AB于点R．设BF＝x米，

∵AR∥GT，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2.5，
∵2.5﹣2＝0.5（米），
∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米．



考点四 图形的位似

14．如图，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△B′O′C′与△BOC是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，则点B′的坐标为 　（﹣9，﹣2）或（3，2）　．

【解答】解：对于y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣3，
则点B的坐标为（0，1），点A的坐标为：（﹣3，0），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，
∴＝＝，
∴O′B′＝2，AO′＝6，
∴当点B'在第一象限时，B′的坐标为（3，2）；
当点B'在第三象限时，B′的坐标为（﹣9，﹣2）．
∴B′的坐标为（﹣9，﹣2）或（3，2）．
故答案为：（﹣9，﹣2）或（3，2）．
15．如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，将△AOB放大2倍，则点B的对应点B'的坐标为 　（6，2）或（﹣6，﹣2）　．

【解答】解：作BE⊥OA于E，
则∠BEO＝90°，
∵∠ABO＝90°，∠BOA＝30°，
∴OB＝OA•cos30°＝4×＝2，
∴BE＝OB＝，OE＝OB•cos30°＝2×＝3，
∴点B的坐标为：（3，），
∵以点O为位似中心，将△AOB放大2倍，
∴点B的对应点B'的坐标为：（3×2，×2）或（3×（﹣2），×（﹣2）），即（6，2）或（﹣6，﹣2），
故答案为：（6，2）或（﹣6，﹣2）．

16．如图，已知△DEF与△ABC位似，位似中心为点O，且△DEF与△ABC面积之比为5：2，则的值为 　　．

【解答】解：∵△DEF与△ABC位似，
∴△DEF∽△ABC，AC∥DF，
∵△DEF与△ABC面积之比为5：2，
∴△DEF与△ABC相似比为：，即＝＝，
∵AC∥DF，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝，
故答案为：．
17．如田，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O为位似中心，若△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，则CO：C′O的值为 　1：2　．

【解答】解：如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，O是位似中心，
∵△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：4，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2．
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△BCO∽△B′C′O′．
∴CO：C′O＝BC：B′C′＝1：2．
故答案为：1：2．