人教版数学七年级下册：《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固(提高)知识讲解 (含答案)

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《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组
　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式 1. （2020春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；　  　（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；　  　（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；　   　（4）若ac2＞bc2，则a＞b；　  　（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．　   　（6）若a＞b＞0，则＜．　  　．【答案与解析】解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误； （3）若a＞b，当c=0时则 ac2＞bc2错误，故错误； （4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确； （5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确． （6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．2. 设x>y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x或y的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。【答案与解析】解：可利用作差比较法比较大小．      -(8-l0x)-[ -(8-l0y)]    =-8+10x+8-10y    =10x -10y．    ∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0    ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)．    按题意-(8-l0x)>0，则10x>8．    ∴．    ∴x的最小正整数值是1．【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：①②③举一反三：【变式】己知：x<0.5，比较2-4x和18x-9的大小.【答案】解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x而又∵x<0.5，∴-22x>-11即11-22x>0∴2-4x>18x-9类型二、一元一次不等式    3. 已知关于x的不等式的解集是，求a的取值范围.  【答案与解析】解：法一：，，∵它的解集为，，  .  法二：是关于x方程 的解，，解得.  【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解.  举一反三：【变式1】如果关于ｘ的不等式正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样的值?【答案】解不等式得：　　　　∵ｋ为正整数且中的正整数解为1，2，3　　　　∴　　　　∴．【变式2】（2015•江都）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是　    　．【答案】解：∵（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，∴a+1＜0，∴a＜﹣1．类型三、一元一次不等式组4. 求不等式组的整数解.  【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分.【答案与解析】解：解不等式①得：x＜2解不等式②得：x≥－1解不等式③得：x＞-2∴不等式组的解集为－1≤x＜2故不等式组的整数解为－1，0,1【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合要求的特殊解． 举一反三：【变式】若关于不等式组只有四个整数解，求a的取值范围.【答案】解：由，得，   由，得，   ∴不等式组的解集为，   ∵只有四个整数解，∴，即，   ∴a的取值范围：.5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示：             价格种类进价（元/台）售价（元/台）电视机20002100冰  箱24002500洗衣机16001700  (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴．【答案与解析】解：(1)设购进电视机、冰箱各x台．依题意，得解这个不等式组得，6≤x≤7∵  x为正整数．∴  x＝6或7．方案一：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；方案二：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．(2)方案1需补贴：(6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)．方案二需补贴：(7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)．    ∴  国家财政最多需补贴农民4407元．【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案．类型四、综合应用6.已知不等式组的解集为，试求m，n的值．【答案与解析】解：解不等式，得．解不等式  n-4(x-1)＜1，得．因为不等式组的解集为，所以有，  ∴  ．答：m、n的值分别1和3．【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解．7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户种植A类蔬菜面积(单位：亩)种植B类蔬菜面积(单位：亩)总收入(单位：元)甲3112500乙2316500    说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．    (1)求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?    (2)某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案．【答案与解析】 解：(1)设A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是x元，y元．    由题意得： 解得    答：A、B两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．    (2)设用来种植A类蔬菜的面积a亩，则用来种植B类蔬菜的面积为(20-a)亩．    由题意得：    解得：10＜a≤14．∵  a取整数为：11、12、13、14．∴  租地方案为：类别种植面积单位：（亩）A11121314B9876 【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表，能够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键．举一反三：【变式】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元， 1株乙种花木售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？【答案】解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．  由题意得：，  解得： ．        （2）设种植甲种花木为a株，则种植乙种花木为（3a+10）株． 则有：      解得：                 由于a为整数，∴a可取18或19或20，所以有三种具体方案：①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株；②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株；③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株.