2022-2023学年江苏省苏州市吴江汾湖高级中学高二上学期9月教学调研测试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市吴江汾湖高级中学高二上学期9月教学调研测试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了09， 已知数列满足，且，，则等内容，欢迎下载使用。

2022.09
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2. 在等差数列中，，，则值是（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 15
3. 记为等差数列的前n项和．已知，则
A B. C. D.
4. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 若是等比数列中的项，且不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
6. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，且，，则（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选题）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A. 1B. 0C. 2D. -1
10. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（ ）．
A. B. C. D.
11. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A.
B. 数列是等比数列
C.
D. 数列是公差为2的等差数列
12. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是（ ）
A B.
C. 当时最小D. 时的最小值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在等比数列中，若，，则数列的公比为___________.
14. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差__________．
15. 若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
16. 已知数列满足：，，，，则______．
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知点，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.
18. 在递增的等比数列中，已知，.
（1）求等比数列的前和；
（2）若数列满足：，求数列的前和.
19. 已知直线经过点、，直线经过点､，
（1）若，求的值；
（2）若的倾斜角为锐角，求的取值范围.
20. 已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2） 求数列的前n项和.
21. 已知数列的各项均为正数，其前项和，．
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项的和．
22. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.
2022-2023学年第一学期汾湖高级中学九月教学调研测试
高二数学试卷
2022.09
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】求得倾斜角的正切值即得．
【详解】k=tan120°=.
故选：B．
2. 在等差数列中，，，则的值是（ ）
A. 9B. 11C. 13D. 15
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算．
【详解】∵是等差数列，∴，，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的性质，利用等差数列的性质解题方便快捷．本题也可利用等差数列的基本量法求解．
3. 记为等差数列的前n项和．已知，则
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】由题知，，解得，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
4. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用等比数列片段和性质可求得的值.
【详解】由等比数列片段和的性质可知，、、成等比数列，
所以，，即，解得.
故选：C.
5. 若是等比数列中的项，且不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据给定的条件，结合韦达定理求出，再利用等比数列的性质计算作答.
【详解】因不等式的解集是，则是方程的两根，
有，即有，
而是等比数列中的项，则，且，
所以.
故选：C
6. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】计算出的取值范围，结合角的取值范围可求得结果.
【详解】由题意可得，又因为，故.
故选：C.
7. 三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】设原来的三个数为、、，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得解.
【详解】设原来的三个数为、、，
由题意可知，，，，且，
所以，，即，解得或.
则的所有取值中的最小值是.
故选：D.
8. 已知数列满足，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由可得，从而得数列以为首项，2为公比等比数列，根据，可化为，从而即可求得答案.
【详解】由可得，
若，则，与题中条件矛盾，故，
所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以
，所以，
故选：A．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选题）已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A. 1B. 0C. 2D. -1
【答案】AB
【分析】先分析直线斜率不存在时，即时，直线与直线是否平行，再分析当，两直线的斜率相等，求出，得到答案.
【详解】（1）当时，直线，，故直线AB与直线CD平行；
（2）当时，直线的斜率为，的斜率为，
则，得，此时直线的方程为：，的方程为，
直线AB与直线CD平行.
故选：AB.
【点睛】本题考查了已知两点求直线的斜率，两直线平行的应用，注意分类讨论直线斜率是否存在，属于基础题.
10. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】BD
【分析】根据等差数列的性质可求公差和，从而可判断ABCD的正误.
【详解】因为，，故，故A错误，B正确.
而，故C错误，D正确.
故选：BD.
11. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A.
B. 数列是等比数列
C.
D. 数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【分析】由，，，，公比为整数．解得，．可得，，进而判断出结论．
【详解】解：，，，，公比为整数．
解得．
，．
，数列是公比为2的等比数列．
．
．数列是公差为的等差数列．
综上可得：只有ABC正确．
故选：ABC．
12. 等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 当时最小D. 时的最小值为
【答案】ABD
【分析】设等差数列的公差为，因为，求得，根据数列是递增数列，得到A、B正确；再由前项和公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．
【详解】解：由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A、B正确；
因为，
由可知，当或4时最小，故C错误，
令，解得或，即时的最小值为8，故D正确．
故选：ABD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在等比数列中，若，，则数列的公比为___________.
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，利用等比通项公式得到公比，从而得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，
则，
∴，
∴数列的公比为，
故答案为：
14. 已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差__________．
【答案】
【详解】由题意得
15. 若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
【答案】
【分析】由斜率相等得的关系．
【详解】解析：由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
16. 已知数列满足：，，，，则______．
【答案】81
【分析】根据给定条件构造新数列使，计算并探求函数的性质即可得解.
【详解】因当时，，则，
令，，于是有，且，，
因此，，
从而得数列是周期数列，周期为6，而，则，即，
所以.
故答案为：81
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知点，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.
【答案】或.
【分析】分类讨论，当点P在x轴上时，设点，利于斜率即可求出，当点P在y轴上时，设点，利用斜率公式可求.
【详解】①当点P在x轴上时，设点.
又，
∴直线PA的斜率又直线PA的倾斜角为，
∴，解得，
∴点P的坐标为.
②当点P在y轴上时，设点，同理可得，
∴点P的坐标为.
故所求点P的坐标为或.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，涉及分类讨论思想，属于中档题.
18. 在递增的等比数列中，已知，.
（1）求等比数列的前和；
（2）若数列满足：，求数列的前和.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出等比数列的公比和首项，再利用等比数列的求和公式可求得；
（2）求得，利用裂项相消法可求得.
【小问1详解】
解：设等比数列的公比为，则，
由题意可得，则，则，
所以，，.
【小问2详解】
解：由（1），所以，
所以，
所以：.
19. 已知直线经过点、，直线经过点､，
（1）若，求的值；
（2）若的倾斜角为锐角，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【分析】（1）分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证，在第二种情况下，利用斜率关系可得出关于实数等式，解之即可；
（2）由题意可知，直线的斜率为正数，可得出关于实数的不等式，解之即可.
小问1详解】
解：当时，直线的斜率不存在，此时直线的斜率为，满足；
当时，由，设直线、的斜率分别为、，
可得，即，解得，
所以当时，的值是或.
【小问2详解】
解：因为直线经过点､，所以直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，所以，即，
即，解得，故的取值范围是.
20. 已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2） 求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）利用求解数列通项公式；
（2）由（1）由得，然后分和两种情况对化简求解即可
【详解】解：（1）当时，，即，
当时，，
时，满足上式，
所以
（2）由得，而，
所以当时，，当时，，
当时，，
当时，
，
所以
【点睛】此题考查的关系，考查数列求和的方法，考查分类思想，属于基础题
21. 已知数列的各项均为正数，其前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1），先求出，利用和的关系，化简可得出，再根据等差数列的定义可证明数列为等差数列，从而可求数列的通项公式；
（2）数列的前项的和，又，，，是首项为3，公差为2的等差数列，再运用等差数列的前项和公式，即可求得数列的前项的和.
【详解】解：（1）当时，，即或，
因为，所以，
当时，，，
两式相减得：，
又因为，所以，所以，
则数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以.
（2）
，
又，，...，是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，
故．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式的应用，考查和的关系的应用，以及利用等差数列的定义证明等差数列，考查化简运算能力.
22. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）；（2）①；②.
【分析】（1）由可得，再由，，成等比数列可得，解出即可求出通项公式；
（2）①可得，利用错位相减法即可求出；
②不等式对一切恒成立，等价于对一切恒成立，利用单调性求出的最小值即可得出.
【详解】（1），，
，，成等比数列，，即，
联立方程解得，
；
（2）①， ，
，
，
两式相减得
，
.
②由（1），
不等式对一切恒成立，等价于对一切恒成立，
令，则，
是单调递增数列，，
.
【点睛】结论点睛：解决数列问题的常用方法：
（1）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和.
（2）对于数列不等式的恒成立问题，常常构造数列，利用数列的单调性求最值.