2023年上海市浦东新区九年级上学期数学期末（中考一模）考试含详解

这是一份2023年上海市浦东新区九年级上学期数学期末（中考一模）考试含详解，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共6题）
1. 下列图形，一定相似的是（ ）
A. 两个直角三角形B. 两个等腰三角形C. 两个等边三角形D. 两个菱形
2. 己知抛物线，那么它顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 在Rt中，，如果，，那么AC的长是（ ）
A. B. C. D.
4. 小杰在一个高为的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为，旗杆与地面接触点的俯角为，那么该旗杆的高度是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知二次函数的图像如图所示，那么点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6. 如图，，，下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共12题）
7 如果，那么__________．
8. 如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是________
9. 已知点P是线段的黄金分割点，，如果，那么的长是 _____．
10. 如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 _____千米．
11. 两个相似三角形的对应边上中线之比为，周长之和为，则较小的三角形的周长为__________．
12. 将抛物线向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．
13. 如图，已知ADBECF．如果，，，那么AC的长是 _____．
14. 已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．
（备用数据tan31° = ct59°≈0.6， sin37° = cs 53°≈0.6)
15 在中，，已知，，是的平分线，那么的长是 _____．
16. 如图，点E、F分别在边长为1的正方形的边、上，、，正方形的四边分别经过正方形的四个顶点，已知，那么正方形的边长是 _____．
17. 在中，，如果，，那么的长是 _____．
18. 如图，正方形的边长为5，点E是边上的一点，将正方形沿直线翻折后，点D的对应点是点，联结交正方形的边于点F，如果，那么的长是______________．
三、解答题：（本大题共7题）
19. 计算：
20. 如图，中，平分，，，．
（1）求的值；
（2）设，求向量（用向量表示）．
21. 如图，在中，，，点B在边上，，垂足为D，点F在延长线上，，．求：
（1）的长；
（2）的值．
22. 某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面是等腰梯形（如图所示），坝顶宽为8米，坝高为4米，斜坡的坡度为．
（1）求横断面的面积；
（2）为了提高堤坝防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）
23. 如图，在中，点D、F分别是边、上的点，和交于点E．
（1）如果，求证：；
（2）如果，求证：是的中线．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
（3）在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
25. 如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，连接，垂直平分交射线于点F，交边于点E．
（1）如图，当点D是斜边上的中点时，求的长；
（2）连接，如果和相似，求的长；
（3）当点F在边的延长线上，且时，求的长．
初三数学期末测试卷
（时间100分钟）
一、选择题：（本大题共6题）
1. 下列图形，一定相似的是（ ）
A. 两个直角三角形B. 两个等腰三角形C. 两个等边三角形D. 两个菱形
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．
【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；
D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故选C．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
2. 己知抛物线，那么它的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可得出答案．
【详解】解：由抛物线的顶点式可得：
该抛物线的顶点坐标为，
故选：B ．
【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，关键是要牢记抛物线的顶点式的特点．
3. 在Rt中，，如果，，那么AC的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】如图：
在Rt中，AC．
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．
4. 小杰在一个高为的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为，旗杆与地面接触点的俯角为，那么该旗杆的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；从而可得答案．
【详解】解：如图，过A作于E，则四边形是矩形，．
∵在中，，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴． 即旗杆的高度为．
故选C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．
5. 已知二次函数的图像如图所示，那么点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【分析】根据对称轴的位置、开口方向、即可判断出a、b符号，进而求出的位置．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
又∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴在第二象限
故选：B
【点睛】本题考查的是二次函数系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．
6. 如图，，，下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由平行线分线段成比例可判断A，B，D，证明四边形是平行四边形，，可得，再利用等线段代换也不能证明，可判断C，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，，
∴四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴ ，，
∴，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练的利用平行线与相似三角形的性质证明成比例的线段是解本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题）
7. 如果，那么__________．
【答案】
【分析】设a=2k，得到b=3k，代入化简即可求解．
【详解】解：设a=2k，
∵，
∴b=3k，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了比例化简求值，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键．
8. 如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是________
【答案】2：3##
【详解】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
两个相似三角形的相似比是2：3，
∴它们对应高的比是2：3．
故答案为：2：3．
9. 已知点P是线段黄金分割点，，如果，那么的长是 _____．
【答案】##
【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
10. 如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是 _____千米．
【答案】
【分析】根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解．
【详解】解：设A、B两地的实际距离为
则：
解得千米
A、B两地的实际距离为千米
故答案为：
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键．
11. 两个相似三角形的对应边上中线之比为，周长之和为，则较小的三角形的周长为__________．
【答案】
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比来解答．
【详解】解：因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20×=8cm，
故答案为：8cm
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12. 将抛物线向右平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．
【答案】
【分析】利用二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案．
【详解】解：由题意可知，将抛物线向右平移3个单位后得：
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，掌握函数的平移规律是解题的关键．
13. 如图，已知ADBECF．如果，，，那么AC的长是 _____．
【答案】6.4##
【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2，
∴，
解得，
∴．
故答案为：6.4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式．
14. 已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．
（备用数据tan31° = ct59°≈0.6， sin37° = cs 53°≈0.6)
【答案】37°．
【分析】画出图形，设坡角为α，根据sinα=，可求得α的度数．
【详解】由题意，作出图形，设坡角为α，
∵sina=
即sina= 0.6
∴a= 37°
故答案为: 37°.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形.
15. 在中，，已知，，是的平分线，那么的长是 _____．
【答案】##
【分析】过B作交的延长线于E，先证是等腰直角三角形，推出，，再证，推出，代入数值即可求解．
【详解】解：过B作交的延长线于E，
，是的平分线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是正确添加辅助线，构造相似三角形．
16. 如图，点E、F分别在边长为1的正方形的边、上，、，正方形的四边分别经过正方形的四个顶点，已知，那么正方形的边长是 _____．
【答案】
【分析】根据边长为1正方形中，、，得到，，根据勾股定理得到，根据，得到，结合，推出，得到，求出，同理求出：，推出．
【详解】解：∵、，，
∴，，，，
∴ ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
同理可求： ，
∴ ，
∴正方形的边长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形，相似三角形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握正方形性质，相似三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形．
17. 在中，，如果，，那么的长是 _____．
【答案】6
【分析】过C作，垂足为H，在上取点D，连接，使，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得出的值，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】过C作，垂足为H，在上取点D，连接，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质和勾股定理，画出图形，合理构建辅助线是解题的关键．
18. 如图，正方形的边长为5，点E是边上的一点，将正方形沿直线翻折后，点D的对应点是点，联结交正方形的边于点F，如果，那么的长是______________．
【答案】##
【分析】连接，由折叠的性质及直角三角形的性质可得，再可证明，则可得点是的中点，设，则可得，再可证明，由相似三角形的性质建立关于x的方程，解方程即可求得x，从而求得结果．
【详解】解：连接，如图，
四边形是正方形，
，，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，即，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
即点是的中点，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即
解得：，（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，直角三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质建立一元二次方程是本题的关键与难点．
三、解答题：（本大题共7题）
19. 计算：
【答案】
【详解】试题分析：将特殊三角函数的值代入，利用实数的混合运算计算即可.
解：原式=4×-2××+
=2-1+2
=2
20. 如图，在中，平分，，，．
（1）求的值；
（2）设，求向量（用向量表示）．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先证明，，结合角平分线的定义可得，证明，结合相似三角形的性质可得答案；
（2）先求解，结合（1）可得，可得，再利用，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，而，
∴，而，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平面向量、相似三角形的判定与性质，注意熟练掌握相似三角形判定的方法，难度一般．
21. 如图，在中，，，点B在边上，，垂足为D，点F在延长线上，，．求：
（1）的长；
（2）的值．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由各角之间的关系得出，再由正切函数及勾股定理求解得出，最后利用三角形等面积法求解即可；
（2）由等面积法得出，结合图形得出，再由余切函数的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
令，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角函数解三角形及勾股定理解三角形，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
22. 某地一段长为50米的混泥土堤坝，堤坝的横断面是等腰梯形（如图所示），坝顶宽为8米，坝高为4米，斜坡的坡度为．
（1）求横断面的面积；
（2）为了提高堤坝的防洪能力，现需将原堤坝按原堤坝要求和坡度加高1米，求加高堤坝需要多少立方米的混泥土？（堤坝的体积=横断面的面积×堤坝的长度）
【答案】（1）横断面的面积为．
（2）加高堤坝需要的混泥土为：．
【分析】（1）如图，过作于，过作于，再证明，，再利用梯形面积公式进行计算即可；
（2）先画出图形，如图，过作于，过作于，结合题意可得：，斜坡的坡度是，四边形，四边形都是等腰梯形，同理可得：，，再求解，，可得四边形的面积为：，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，过作于，过作于，
由等腰梯形是轴对称图形可得：，，四边形是矩形，
∴，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∴，
∴，
∴横断面的面积为．
【小问2详解】
如图，过作于，过作于，
结合题意可得：，斜坡的坡度是，
四边形，四边形都是等腰梯形，
同理可得：，，
由斜坡坡度是，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：，
∴加高堤坝需要的混泥土为：．
【点睛】本题考查的是等腰梯形的性质，坡度的应用，堤坝体积的计算，理解题意，作出符合题意的图形，利用数形结合的方法解题是关键．
23. 如图，在中，点D、F分别是边、上的点，和交于点E．
（1）如果，求证：；
（2）如果，求证：是的中线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）先将等式化为比例式，可得到，再根据角相等，证得、
，从而能证得；
（2）过D作交于G，则，再根据比例式的代换得到，从而得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴ ,
∴；
【小问2详解】
过D作交于G，则，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
即，
∵，
∴ ，
∴D为的中点，是的中线．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握其判定定理及性质是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
（3）在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
【答案】（1）
（2）
（3）P的坐标为：或．
【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C的坐标，再求解B的坐标，A的坐标，设设抛物线为，把代入即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为直线，再求解直线为，可得F的坐标，从而可得答案；
（3）如图，过作于，证明，可得，而，可得，则，当和相似时，显然与对称轴没有交点，不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，再分两种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
当，则，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
设抛物线为，把代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，即，
∴．
【小问3详解】
如图，过作于，
∵，，，
∴，，，，
∴，则，
∴，而，
∴，
而，
∴，
∴，
当和相似时，显然与对称轴没有交点，
∴不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，
当时，
∴，
∴，
∴，
当，
∴，
∴，解得：，
∴．
综上：P的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明与是对应角是解（3）的关键．
25. 如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，连接，垂直平分交射线于点F，交边于点E．
（1）如图，当点D是斜边上的中点时，求的长；
（2）连接，如果和相似，求的长；
（3）当点F在边的延长线上，且时，求的长．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】（1）如图，记，的交点为，证明，，再利用锐角三角函数分别求解，即可；
（2）先求解，，由和相似，分两种情况讨论即可；
（3）如图，连接，过作交的延长线于，由，可得，求解 ，，结合垂直平分线的性质可得：，由勾股定理可得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，记，的交点为，
∵，点D是斜边上的中点，，
∴，
∴，
∵ 垂直平分
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
【小问2详解】
∵，，，
∴，设，则，
∴，解得：，
∴，，
∵和相似，如图，当时，
∴，
由垂直平分线的性质可得：，
∴，解得：，
如图，当时，
∴，
∴，解得：．
【小问3详解】
如图，连接，过作交的延长线于，
∵，
∴，而，
同理可得：，，
由垂直平分线的性质可得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，作出适当的辅助线构建相似三角形与直角三角形都是解本题的关键．