高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业

这是一份高中人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB＝BC＝BD＝2，E，F分别是BC，AD的中点，则直线AE与CF所成角的余弦值为（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
2．已知直线、、与平面、，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
其中假命题是
A．①B．②C．③D．③④
3．设是两个不同平面，是两条直线，下列命题中正确的是（ ）
A．如果，，，那么
B．如果，，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，与所成的角和与所成的角相等，那么
4．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则（ ）
A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉αD．Q∈α
5．如果直线l，m与平面满足和，那么必有（ ）
A．且B．且
C．且D．且
6．若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则
A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
8．已知是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
9．已知三条不同的直线和两个不同的平面，，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
10．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
①；
②；
③；
④.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①③④
11．在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．在直三棱柱中，点M是侧棱中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．给出下列命题：
①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.
其中所有正确命题的序号为___________.
14．不重合的两个平面最多有_____________条公共直线
15．《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，．若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为_________．
16．在棱长为的正方体中，分别是和的中点，经过点的平面把正方体截成两部分，则截面与的交线段长为________.
17．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点A，，的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）．
①当时，S为四边形；
②当时，S为等腰梯形；
③当时，S与的交点满足；
④当时，S为六边形
三、解答题
18．正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：
(1)异面直线与所成角的余弦值；
(2)二面角的余弦值；
(3)点到平面的距离．
19．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
20．如图，已知直三棱柱，，，，，E，F是和上的两点，且，.
(1)证明：B，C，E，F四点共面；
(2)求点A到平面BCE的距离.
21．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E､F､G､H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
参考答案：
1．B
取CE，AF，AC的中点分别为M，N，G，作NO⊥BD于O，连接MG，GN，MN，MO，由直线AE与CF所成角即为GM与GN所成角，利用余弦定理求解cs∠MGN即可
【详解】
取CE，AF，AC的中点分别为M，N，G，作NO⊥BD于O，
连接MG，GN，MN，MO，如图，
由中位线性质可得GM∥AE，GN∥CF，得直线AE与CF所成角即为GM与GN所成角，
根据题意得：
GM＝AE＝＝，
GN＝＝＝，
MN＝＝＝＝，
∴cs∠MGN＝＝，
∴直线AE与CF所成角的余弦值为.
故选：B
2．D
根据空间直线和平面平行或垂直的性质分别进行判断即可．
【详解】
①若，，则根据公理4可知成立；
②若，，则成立；
③若，，则可能平行、相交或异面，故③错误；
④若，，则或，故④错误；
故③④是假命题．
故选：D．
本题主要考查命题的真假判断，根据空间直线和平面之间的位置关系是解决本题的关键．
3．C
A.由，，得到或，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由，，得到或，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由，，得到，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．
【详解】
A.因为，，所以或，又，则位置不确定，故错误；
B.因为，，所以或，又，所以，故错误；
C. 因为，，所以，又，所以，故正确；
D.如果，与所成的角和与所成的角相等，那么，相交或异面，故错误．
故选：C
4．D
根据点、线、面之间的位置关系直接进行判断.
【详解】
根据题意知Q∈α，点P可能在平面内也可能在平面外.
故选：D
本题考查点、线、面之间的位置关系，属于基础题.
5．A
根据题设线面关系，结合平面的基本性质判断线线、线面、面面的位置关系.
【详解】
由，则；由，则；由上条件，m与可能平行、相交，与有可能平行、相交.
综上，A正确；B，C错误，m与有可能相交；D错误，与有可能相交．
故选：A
6．B
利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.
【详解】
因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以.
又因为直线b(集合)在平面(集合)内,
所以.所以.
故选：B
7．B
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】
如图所示， 作于，连接，过作于．
连，平面平面．
平面，平面，平面，
与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，
．，故选B．
本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形．
8．C
根据平面与平面的位置关系，即可判断A、C是否正确；根面面平行的判定定理，即可判断B是否正确；根据面面垂直和线面垂直的关系和线面的位置关系，即可判断D是否正确.
【详解】
对于A，，则，故A错误；
对于B，若，且，相交，，则，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则或，故D错误．
本题主要考查了线面、面面位置关系以及面面平行判定定理的应用，属于基础题.
9．D
根据线面关系和面面关系的性质可依次判断.
【详解】
对A，若，，则和可能平行、相交或异面，故A错误；
对B，若，，则或，故B错误；
对C，若，，则和可能平行，也可能相交，故C错误；
对D，若，则存在，满足，若，则，所以，故D正确.
故选：D.
10．B
利用面面平行、线面垂直的性质可判断①；直接根据已知条件判断线线位置关系，可判断②；利用线面平行、垂直的性质可判断③；根据已知条件直接判断面面位置关系，可判断④.
【详解】
因为直线平面，直线平面.
对于①，若，则，从而，①对；
对于②，若，则或，则与的位置关系不确定，②错；
对于③，若，则，因为，则，③对；
对于④，因为，，则或，则或、相交、重合，④错.
故选：B.
11．A
如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小.
【详解】
设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
12．B
可以取的中点，连接，将异面直线与转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解.
【详解】
如图所示，取的中点，连接，分别为、的中点，所以为的中位线，所以，所以异面直线与就是直线与所成的角，即或其补角，因为，所以，，，在中，，，，所以.
故选：B.
13．②③
由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②；由空间中直线与平面的位置关系判断③．
【详解】
对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故①错误；
对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；
对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．
其中所有正确命题的序号为②③．
故答案为：②③．
14．1
由平面的基本性质可求解.
【详解】
根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，
当相交时，有且只有一条公共直线.
故答案为：1
15．##
在上取点，满足，可得即为异面直线AE与CF所成角（或补角），设出边长，可得，即可求出.
【详解】
如图，在上取点，满足，
因为，，四边形为矩形，
所以，且，则四边形为平行四边形，则，
所以即为异面直线AE与CF所成角（或补角），
设，则，，
因为和都是正三角形，所以，，
由，所以，
满足，所以，即异面直线AE与CF所成角的大小为.
故答案为：.
16．
如图，先作出截面，然后利用三角形相似和勾股定理可求得答案
【详解】
解：如图，连接并延长交延长线于，连接交于，连接并延长交延长线于，连接并延长交于，连接，则五边形为经过点的正方体的截面，
因为为的中点，所以，
因为∥，所以∽，
所以，所以,
因为∥，所以∽，
所以，所以,
所以，
所以截面与的交线段长为，
故答案为：
17．①②③
分情况和两种情况作出截面，并判断②③，再通过平移交点，即可判断①④.
【详解】
如图1，当时，，这时过A，，三点的截面与交于点，，且，截面为等腰梯形；
当时，过A，，三点的截面与的交点在棱上，截面S为四边形，故①②正确．
如图2，当时，设截面S交的延长线于点，连接交于点，连接交于点，连接，取的中点，作交于点，则，且，即为的中点，∴，，，可得，故③正确．
易知当时，只需上移即可，此时S仍如图2所示的五边形，故④错误．
故答案为：①②③
18．(1)
(2)
(3)
（1）用平移直线法，转化为解直角三角形问题；
（2）作二面角的平面角，转化为解直角三角形问题；
（3）用等体积法求解．
(1)
取中点，连接，，，
因为是正四棱柱，为下底面正方形的中心，
所以，
所以为异面直线与所成角，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
(2)
取中点，取上底面正方形的中心，连接，，，
由正四棱锥特性知平面，，，，
所以为二面角的平面角，
，所以，
所以二面角的余弦值为．
(3)
设点到平面的距离为，
由（1）知，平面，所以点到平面的距离也为，
，
因为，所以，
所以，
所以点到平面的距离为．
19．.
取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，
所以∠BEF或其补角为异面直线BE与CD所成的角，利用余弦定理即可求出.
【详解】
如图，取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，
EF∥CD，
∠BEF或其补角为异面直线BE与CD所成的角，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，
BE＝，
在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝，AE＝，
EF＝，
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，BF＝，
在等腰三角形EBF中，cs∠FEB＝＝＝，
所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
本题主要考查异面直线所成角，主要是找平行线，将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，利用解三角形的知识求出角.
20．(1)证明见解析
(2)
（1）由已知得到，即证明四点共面；
（2）先转化顶点求出四面体的体积，再通过余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式求出，再利用体积公式进行求解.
(1)
证明：因为，所以，
又因为，所以，即B，C，E，F四点共面.
(2)
解：因为，
又因为，点到平面的距离为，所以；
在中，，，，则，，
所以，
设A到平面BCE的距离为，则，解得，
即点A到平面BCE的距离为.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）证明出即可；（2）证明出EFHG为梯形，得到EG与FH必相交，设交点为M，再结合点，线与面的关系进行证明.
(1)
∵，
∴.
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴，且
∴，
∴E，F，G，H四点共面.
(2)
∵G，H不是BC，CD的中点，
∴
∴由（1）知，故EFHG为梯形.
∴EG与FH必相交，设交点为M，
∴平面ABC，平面ACD，
∴平面ABC，且平面ACD，
∴，即GE与HF的交点在直线AC上.