人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10题）
在 △ABC 中，AB=3，AC=5，点 N 满足 BN=2NC，点 O 为 △ABC 的外心，则 AN⋅AO 的值为
A． 596 B． 172 C． 10 D． 17
设 a，b 是非零向量，则“a⊥b”是“∣a+2b∣=∣a−2b∣”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
如图，在矩形 ABCD 中，O 是对角线 AC 和 BD 的交点，则 AO+OD−DC=
A． AB B． AC C． AD D． BD
设 e1，e2 是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是
A． e1+e2 和 e1−e2 B． 3e1−2e2 和 −6e1+4e2
C． e1+3e2 和 3e1+e2 D． e1+e2 和 e2
如图，菱形 ABCD 中，下列结论中正确的是
A． AB=CD
B． AB−AD=BD
C． AB+AD⊥AB−AD
D． AB+AD=AB−AD
已知 a，b 是两个不共线的向量，若向量 a−tb 与向量 2a+b 共线，则实数 t 等于
A． −12 B． −1 C． 0 D． −2
已知向量 a，b 的夹角为 π3，a=1，b=−3,4，则 4a+b=
A． 5 B． 6 C． 7 D． 61
下列命题正确的是
A． a⋅b=0⇔a=0 或 b=0
B． a⋅bc=b⋅ca
C． a⋅b+c=a⋅b+a⋅c
D． ∣a∣=∣c∣⇔∣a⋅b∣=∣b⋅c∣
如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120∘，AB=AD=1，若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE，BE 的最小值为
A． 2116 B． 32 C． 2516 D． 3
设向量 a，b 均为单位向量，则“a−3b=3a+b”是“a⊥b”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
二、填空题（共4题）
已知向量 a 与 b 的夹角为 120∘，且 a=b=4，那么 b⋅3a+b 的值为 ．
如图，已知半径为 4 的扇形 AOB，∠AOB=60∘，P 为弧 AB 上的一个动点，则 OP⋅AB 的取值范围是 ．
已知向量 a 和 b 的夹角为 120∘，∣a∣=1，∣b∣=3，则 ∣3a−2b∣= ．
已知向量 a，b，c 是单位向量，且 a⋅b=12，则 c−a⋅c−b 的最小值是 ．
三、解答题（共5题）
已知平面向量 a，b，∣a∣=2，∣b∣=1，且 a 与 b 的夹角为 π3．
(1) 求 a⋅b；
(2) 求 ∣a+2b∣；
(3) 若 a+2b 与 2a+λb（λ∈R）垂直，求 λ 的值．
已知 △ABC 是边长为 2 的等边三角形，D，E 分别是 AC，AB 上的两点，且 AE=EB，AD=2DC，BD 与 CE 交于点 P．求：
(1) ED 在 BC 方向上的投影和数量投影；
(2) 求 ∣PA+PB+PC∣．
设向量 a，b 满足 a=b=1 及 3a−2b=7．
（1）求 a，b 夹角的大小；
（2）求 3a+2b 的值．
已知向量 a=3，b=2，a 与 b 的夹角为 π3．
(1) 求 a⋅b 及 a+b；
(2) 求 a+2b⋅a−3b．
在 Rt△ABC 中，斜边 BC=a，PQ 是以点 A 为圆心，a 为半径的圆上的一条直径，向量 PQ 与 BC 的夹角为 θ．当 θ 取何值时，BP⋅CQ 有最大值，并求此最大值．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】A
2. 【答案】C
【解析】 ∣a+2b∣=∣a−2b∣
∣a∣2+4∣b∣2+4a⋅b=∣a∣2+4∣b∣2−4a⋅b，
即 4a⋅b=−4a⋅b，
得 a⋅b=0，
即 a⊥b，
则“a⊥b”是“∣a+2b∣=∣a−2b∣”的充要条件．
3. 【答案】D
【解析】 AO+OD−DC=AD−AB=BD．
4. 【答案】B
5. 【答案】C
【解析】A：由图形可知，AB=DC，故A错误；
B：由平面向量的减法法则可知，AB−AD=DB，故B错误；
C：由平面向量的加、减法法则可知，
AB+AD=AC，AB−AD=DB，
又菱形的对角线互相垂直，所以 AC⊥DB，
即 AB+AD⊥AB−AD，故C正确；
D：根据选项C的分析可知，
AB+AD=AC，AB−AD=DB，
菱形 ABCD 中，AC≠DB，所以 AB+AD≠AB−AD，故D错误．
6. 【答案】A
【解析】依题意 a−tb=k2a+bk∈R．
则 1=2k,−t=k, 解之得 k=12,t=−12.
7. 【答案】D
【解析】因为 a⋅b=abcsπ3=1×5×12=52，
所以 4a+b=4a+b2=16a2+8a⋅b+b2=16×12+8×52+52=61．
故选：D．
8. 【答案】C
9. 【答案】A
10. 【答案】C
【解析】因为向量 a，b 均为单位向量，
所以
a−3b=3a+b⇔a−3b2=3a+b2⇔a2−6a⋅b+9b2=9a2+6a⋅b+b2⇔1−6a⋅b+9=9+6a⋅b+1⇔a⋅b=0⇔a⊥b,
所以“a−3b=3a+b”是“a⊥b”的充要条件．
二、填空题（共4题）
11. 【答案】 −8
12. 【答案】 [−8,8]
13. 【答案】 37
14. 【答案】 32−3
三、解答题（共5题）
15. 【答案】
(1) 1；
(2) 23；
(3) −4．
16. 【答案】
(1) 76．
(2) 32．
17. 【答案】（1）因为 a=b=1，3a−2b=7，
所以 3a−2b2=3a−2b2=9a2−12a⋅b+4b2=7，
即 9a2−12a⋅b+4b2=7，
可得 13−12a⋅b=7，
解之得 a⋅b=12．
设 a，b 夹角等于 α，
则 csα=a⋅ba⋅b=12，
因为 α∈0,π，
所以 α=π3，即 a，b 夹角的大小等于 π3；
（2）因为 a=b=1，a⋅b=12，
3a+2b2=9a2+12a⋅b+4b2=9+12×12+4=19，
所以 3a+2b=19．
18. 【答案】
(1) a⋅b=abcsa,b=3×2×csπ3=3.
a+b=a+b2=a2+2a⋅b+b2=32+2×3+22=19.
(2) a+2b⋅a−3b=a2−a⋅b−6b2=32−3−6×22=−18.
19. 【答案】 BP⋅CQ=BA+AP⋅CA+AQ=BA−12PQ⋅CA+12PQ=BA⋅CA+12BA−CA⋅PQ−14PQ⋅PQ=0+12BC⋅PQ−a2=12BC⋅PQcsθ−a2=a2csθ−1,
当 θ=0∘，即 PQ 和 BC 同方向时，BP⋅CQ 有最大值 0．