数学（广州卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

2023年中考数学第一次模拟考试卷

数学·参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

第Ⅱ卷

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．2．   12．2x（x+2）（x﹣2）．   13．2020.    14．6．   15．4．   16．①②③．

三．解答题（共9小题，满分72分）

17．解：，

解不等式①得：x≤1，·····1分

解不等式②得：x＞﹣1，·····2分

∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1．·····4分

18．证明：∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，

∴∠ABC﹣∠1＝∠DCB﹣∠2，·····1分

∴∠DBC＝∠ACB，·····2分

在△ABC与△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB（ASA）．·····4分

19．解：（1）4÷10%＝40（人），

10÷40×100%＝25%，即m＝25，

故答案为：40，25；·····2分

（2）样本中睡眠时间为7h的学生人数为：40﹣4﹣8﹣10﹣3＝15（人），

补全条形统计图如下：

·····3分

（3）样本平均数为：＝7（h），

所以方差为：S2＝[（5﹣7）2×4+（6﹣7）2×8+（7﹣7）2×15+（8﹣7）2×10+（9﹣7）2×3]

＝1.15，·····5分

答：方差为1.15；

（4）1000＝300（名），

答：全校1000名学生中，睡眠时间不足7h，即每天睡眠时间不足的大约有300名．·····6分

20．解：（1）设排球的进价为每个x元，则篮球的进价为每个1.5x元，·····1分

依题意得：﹣＝10，·····2分

解得：x＝80，·····3分

经检验，x＝80是方程的解，

1.5x＝1.5×80＝120．·····4分

答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元；

（2）设购买m个篮球，则购买（300﹣m）个排球，

依题意得：120m+80（300﹣m）≤28000，·····5分

解得：m≤100，

答：最多可以购买100个篮球．·····6分

21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，

∴▱ABCD是菱形，

∴AC⊥BD；·····3分

（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，

∴EF是△AOD的中位线，·····4分

∴OD＝2EF＝3，·····5分

由（1）可知，四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，·····6分

在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，

∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4．·····8分

22．解：（1）A＝×

＝．·····2分

（2）∵A＝，A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，

∴B＝，·····3分

∴A﹣B＝﹣

＝

＝

＝．·····6分

∵a＞2，

∴A﹣B＞0，

∴A＞B．

答：分式B的值较原来分式A的值是变小了．·····7分

（3）A＝＝1+，是整数，a也是整数，

所以a﹣2是4的因数，

所以a﹣2＝±1，±2，±4，·····8分

∴a＝3，1，4，0，6，﹣2．

因为a＝1，不符合题意，

所以所有符合条件的a的值为0、3、4、6、﹣2．·····10分

23．解：（1）当PA＝45cm时，连接PO．·····1分

∵D为AO的中点，PD⊥AO，

∴PO＝PA＝45cm．·····2分

∵BO＝24cm，BC＝12cm，∠C＝90°，

∴OC＝OB+BC＝36cm，PC＝＝27（cm）；·····4分

（2）当∠AOC＝120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．·····5分

在Rt△DOE中，∵∠DOE＝60°，DO＝AO＝12，

∴DE＝DO•sin60°＝6，EO＝DO＝6，·····6分

∴FC＝DE＝6，DF＝EC＝EO+OB+BC＝6+24+12＝42．·····7分

在Rt△PDF中，∵∠PDF＝30°，

∴PF＝DF•tan30°＝42×＝14，·····8分

∴PC＝PF+FC＝14+6＝20≈34.6（cm），·····9分

∵34.6＞27，

∴点P在直线PC上的位置上升了，此时PC的长约是34.6cm．·····10分

24．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0），

∴a+2a﹣3＝0，

∴a＝1；·····3分

（2）∵a＝1，

∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，·····4分

∵点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，

∴n＝m2﹣2m﹣3①，n+1＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣3，即n＝m2﹣5②，·····5分

②﹣①得2m﹣2＝0，解得m＝1，

∴n＝m2﹣5＝﹣4，·····7分

∴m+n＝1﹣4＝﹣3；·····8分

（3）∵y＝（k+1）x+k+1＝（k+1）（x+1），

∴直线数y＝（k+1）x+k+1经过定点（﹣1，0），·····9分

∵x＝﹣1时，y＝x2﹣2x﹣3＝0，

∴一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的一个交点为（﹣1，0），

∵x1＜0＜x2，

∴x1＝﹣1，y1＝0，·····10分

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），

∴y2≥﹣4，

∴y1+y2≥﹣4，

∴w＝y1+y2的最小值为﹣4．·····12分

25．（1）解：∵∠AOB＝90°，

∴∠APB＝∠AOB＝45°，·····2分

（2）证明：过点O作OC⊥PA于C，在CA上截取CD＝OC，如图①所示：

∵，

∴，·····3分

即AC＝OC，

∵CD＝OC，

∴AD＝AC﹣CD＝（+1）OC﹣OC＝OC·····4分

∵∠OCD＝90°，OC＝CD，

∴OD＝OC，∠CDO＝45°，·····5分

∴AD＝OD，

∴∠A＝∠DOA，·····6分

∵∠A+∠DOA＝∠CDO＝45°，

∴∠A＝22.5°，

∵OP＝OA，

∴∠APO＝∠A＝22.5°，·····7分

∵∠APB＝45°，

∴∠BPO＝∠APB﹣∠APO＝22.5°，

∴∠APO＝∠BPO；·····8分

（3）解：连接AB，连接PO并延长交AB于E，则PE⊥AB，把△PBQ沿着PQ翻折得△PB′Q，如图②所示：

则PB′＝PB＝PA，∠PQB＝∠PQB′，S2＝S△QPB＝S△QB'P，

∵∠AQP＝∠ABP，∠ABP＝∠PAB，

∴∠AQP＝∠PAB，·····9分

∵四边形PABQ内接于⊙O，

∴∠PAB+∠PQB＝180°，

∴∠AQP+∠PQB′＝180°，·····10分

∴点A、Q、B′三点共线，

∵S1+S2＝S△QPA+S△QB'P＝S△PAB'，

∴S1+S2＞0当且仅当PA⊥PB′时，S1+S2有最大值，·····11分

在Rt△PAE中，AE＝1，PE＝，PA2＝AE2+PE2＝4+2，

∴，

∴0＜S1+S2≤．·····12分