数学（河北卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

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2023年中考数学第一次模拟考试卷数学·参考答案 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共16个小题。1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678910111213141516ADBBBBDCDCBDDCCA第Ⅱ卷二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）17．覆盖5点的圆的最小半径（答案不唯一）18．2；     100819．3     三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（4分）（2）解：由题意得原不等式可以化成，∴当，即时，原不等式有解，当，即时，原不等式的解集为；当，即时，原不等式的解集为．（9分）21．（9分）小红、小明、小亮要参加某电视台组织的主持人演讲比赛，按程序分别进行答辩、笔试和网络投票，(1)在进行答辩之前，需要抽签决定答辩次序，直接写出小红抽到第一个答辩的概率；(2)答辩、笔试成绩如下表，网络投票每张选票只限填写小红、小明、小亮其中的一人，且每张得票记1分，统计选票后，绘出不完整的统计图．答辩、笔试成绩统计表              姓名成绩小红小明小亮答辩成绩（分）928990笔试成绩（分）858889 根据以上信息，请解答：①网络选票总数是________；补全条形统计图：②比赛组委会将答辩、笔试和网络投票三项得分按5∶4∶1的比例确定每人的总成绩，分数最高者为冠军，请你通过计算说明谁是冠军．（1）解：∵三人抽到第一个答辩的概率相等，∴小红抽到第一个答辩的概率为．（2分）（2）解：①由小红的得票数和百分比可得：总票数=102÷0.34=300（张）；小亮的票数=300-102-108=90（张）；∴完整条形图为：（6分）②由答辩、笔试和网络投票三项得分按5∶4∶1的比例确定每人的总成绩，可得：小红得分=92×0.5+85×0.4+102×0.1=90.2（分）；小明得分=89×0.5+88×0.4+108×0.1=90.5（分）；小亮得分=90×0.5+89×0.4+90×0.1=89.6（分）；小明分数最高，故：小明是冠军．（9分）22．（1）解：，当时，原式 ；故答案为：；（3分）（2） ；（6分）（3）嘉淇的发现正确，理由如下： ，，当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．（9分）23．解：（1）y=（x-m）2-（x-m）=x2-（2m+1）x+m2+m，∵△=（2m+1）2-4（m2+m）=1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（4分）（2）①∵x=-，∴m=2，∴抛物线解析式为y=x2-5x+6；（6分）②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k，∵抛物线y=x2-5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△=52-4（6+k）=0，∴k=，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．（10分）24．（1）证明：∵于点C， ，∴是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（4分）（2）如图，连接，∵为直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵直线l与相切于点P，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．（6分）25．(1)解：由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，线段的长度是点到线段AB的距离．故答案为：；（1分）(2)① 设直线AB的解析式为，将点A（2，1）、B（3，2）代入，可得 ，解得，∴直线AB的解析式为，令，则，解得，∴C（1，0），∴，过点A作AE⊥CD于点E，如图1，则E（2，0），∴，，∴，∴，∴．故答案为：45；（3分）②若，点P与点E重合，∴线段AE的长度为点P到线段AB的距离d，∴；(3)①当点P在点E的左侧时，PA的长为P到线段AB的距离d，∵ ，d = ，∴点P与点C重合，∴；（5分）②当点P在点E的右侧时，点P到线段AB的垂线段的长度为P到线段AB的距离d，过点A作AF⊥AB交x轴于点F，如图2，∵，∴，，∴点P与点F重合，∵，∴P（3，0），即a＝3．综上所述，若，a的值为1或3；（7分）（4）①当点P在点E的左侧时，PA的长为点P到线段AB的距离d，∵，d为整数，∴当时，即，如图3，∴，∴，∴P（，0），即；②当点P与点E重合时，，符合题意，∴P（2，0），即a＝2；③当点P在点E的右侧时，点P到线段AB的垂线段的长度为P到线段AB的距离d，过点P作PH⊥AB于点H，如图4，当时，即，∵，∴，∴，∴，当时，即，∵，∴，∴，不合题意．综上所述，若点P在线段OD上运动，且d为整数，则a的值为或2或．（10分）26．（12分）如图，在矩形中，，，点E从点B出发，沿折线段以每秒1个单位的速度向点D（不与D点重合）运动，与此同时，以为直径且在的右侧作半圆O．设点E的运动时间为．(1)发现：当点D开始落在半圆O上时，_________；此时半圆O的半径为________；(2)探究：当秒时，①连接、，判断是否垂直；②求半圆O与矩形重叠部分的面积；(3)拓展：若半圆O与矩形的边相切时，求点E到的距离．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°．∵AE是半圆O的直径，∴当A，D，E组成直角三角形时，且AE是斜边时，点D在半圆O上．∴当点E与点C重合时，点D开始落在半圆O上．∵AB=3，BC=4，点E的运动速度是每秒1个单位，∴（秒），．∵AE是半圆O的直径，∴．∴此时半圆O的半径为．故答案为：4；．（4分）（2）解：①如下图所示，取BE的中点为P，连接OP，OB，OC．∵秒，∴．∵点P是BE中点，∴．∵BC=4，∴，．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∵AE是半圆O的直径，∴点O是AE中点．∴OP是△ABE的中位线．∴，．∴∠OPE=∠ABC=90°．∴∠OPB=180°-∠OPE=90°．∵AB=3，∴．∴，．∵，∴．∴．∴OB与OC不垂直．（7分）②如下图所示，设半圆O与AD的另一交点为M，过点O作ON⊥AM于N．∵，AB=3，∴．∴∠AEB=60°．∵四边形ABCD是矩形，∴，∠ABC=90°．∴∠OAM=∠AEB=60°，．∴．∵ON⊥AM，∴．∵OA=OM，∴△OAM是等边三角形．∴∠AOM=60°，．∴，∠EOM=180°-∠AOM=120°．∴．∴半圆O与矩形重叠部分的面积为．（10分）（3）解：如图1所示，当t=0时，点E与点B重合，此时半圆O与BC相切于点B，与AD相切于点A，连接AC，过点B作BF⊥AC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∵AB=3，BC=4，∴，．∴．∴此时点E到的距离是．如图2所示，当半圆O与CD相切于点F时，连接FO并延长交AB于G，连接AC，过点E作EQ⊥AC于Q，设半圆O的半径为x．∴OA=OE=OF=x．∵AE是半圆O的直径，∴．∵半圆O与CD相切于点F，∴∠OFC=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴，∠ABE=∠BCD=90°．∴∠OGA=∠OFC=90°，四边形BGFC是矩形．∴，∠OGA=∠ABE，GF=BC．∴．∴．∵AB=3，BC=4，∴，GF=BC=4．∴OG=GF-OF=4-x．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∵AC=5，∴．∴此时点E到的距离是．∴若半圆O与矩形的边相切时，点E到的距离是或．（12分）            图1                             图2