数学（湖南株洲卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷

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2023年中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
D
A
B
D
B
C
C
A
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．的倒数是（    ）
A．2023 B． C． D．
【答案】D
【分析】先去绝对值求出的值，再根据倒数的定义求解．
【详解】解：，
因此的倒数是，
故选D．
【点睛】本题考查绝对值和倒数，解题的关键是牢记：负数的绝对值等于它的相反数；乘积为1的两个数互为倒数．
2．在0、、－1、这四个数中，最小的数是（    ）
A．0 B． C．－1 D．
【答案】C
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：，
∴在0、、－1、这四个数中，最小的数是－1．
故选C．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法．解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
3．不等式的解集是（　　　   ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接移项、合并同类项、不等号两边同时除以4即可求解．
【详解】解：4x−1<0
移项、合并同类项得：4x<1
不等号两边同时除以4，得：x<
故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
4．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．某校6名学生参加课外实践活动的时间分别为：3，3，6，4，3，7（单位：小时），这组数据的众数和中位数分别为（    ）
A．6和7 B．3和3.5 C．3和3 D．3和5
【答案】B
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【详解】解：将数据从小到大排列：3、3、3、4、6、7，
出现次数最多的是3，
因此众数为3，
3处在第3位，4处在第4位，该数据的平均数为，
因此中位数为：3.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，是解题的关键．
6．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ）
A．抛物线开口向下 B．y的最大值是4
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，函数值
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、C，令解关于的一元二次方程则可求得答案．
【详解】解：
抛物线开口向下
故A正确，不符合题意；

对称轴为，顶点坐标为
当时，有最大值，最大值为4；
故B正确，不符合题意；
时，随的增大而增大；
时，随的增大而增大；
故C正确，不符合题意；
令可得
解得
抛物线与轴的交点坐标为和
当时，函数值，当时，函数值，
故D不正确，符合题意．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
7．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别计算的值，并判断结果与0的关系，即可得到答案．
【详解】解：A．∵，
∴没有实数根，故选项不符合题意；
B．∵，
∴有两个相等实数根，故选项符合题意；
C．∵，
∴有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
D．∵，
∴有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，准确计算并作出判断是解题的关键．
8．如图，是的外接圆弧的中点，连接，，若，则(　　)

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出，根据圆周角定理得出，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】如图，连接，

则，
是弧中点，
∴，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
9．如图，在中，的平分线交于点D，过C点作于G，交于点E，过点D作于点F．下列结论：
①；②；③．其中一定正确的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，可证明；根据角平分线的性质，过点作于，可计算出，，并证明；根据题目给定的条件，无法证明；根据结论①，角平分线的性质可证，由此即可求解．
【详解】解：结论①，
，，平分，
，，
，
，
，故结论①正确；
结论②，如图所示，过点作于，

平方，，
，
，，
，故结论②正确；
结论③，
，，平分，
，，，
，
，
，，
，
，且由结论①正确得，，
在中，，即，
，
条件不足，无法证明，故结论③错误；
综上所述，正确的有①②．
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质的综合，掌握直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角的判定和性质是解题的关键．
10．如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则，正确的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据函数的图像即可得，，，即可判断①；根据抛物线对称轴，得，，即可得点，，根据当时，，即，得，即可判断②；根据，当时，，即，即可得，即可判断③；当时，函数有最小值，由和对称性质变形可得，即可得若为任意实数，则，即可判断④，综上即可得．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，①正确；
∵抛物线对称轴，，
∴，，
∴点，，
∵当时，，即，
∴，故②正确；
∵，当时，，即
∴，故③正确；
当时，函数有最小值，
则，







∴若为任意实数，则，故④正确；
综上，①②③④正确，正确的个数有4个；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算：_____．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的定义，结合有理数加法运算法则解答即可得到答案．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题考查负整数指数幂、零指数幂及有理数加法运算，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
12．因式分解：x2-25=_____________．
【答案】
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握 是解题的关键．
13．2022年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”，在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为公里．数字用科学记数法表示为___________．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
14．某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是_________．（用最简分数表示）
【答案】
【分析】根据题意计算中奖概率即可；
【详解】解：∵每一箱都有6件产品，且每箱中都有2件能中奖，
∴P（从其中一箱中随机抽取1件产品中奖）=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查简单概率的计算，正确理解题意是解本题的关键．
15．市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：
人员
领队
心理医生
专业医生
专业护士
占总人数的百分比




则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为_________．
【答案】40%
【分析】根据图表数据进行求解即可；
【详解】解：该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为：；
故答案为：40%
【点睛】本题主要考查统计表，从图表里获取信息并准确计算是解题的关键
16．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若，则AB的长为______．

【答案】8
【分析】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：△ABE≌△ECF（AAS），得出：AB=CE，BE=CF，由点F是CD的中点，进而根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE和△ECF中，

∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴AB=CE，BE=CF，
∵点F是CD的中点，
∴CF=CD，
∴BE=CF=AB，
∵BE+CE=BC=12，
∴AB+AB=12，
∴AB=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
17．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图像上的任意一点，过点A作垂直x轴交反比例函数y＝（x＞0）的图像于点B，连接AO，BO，若ΔABO的面积为1.5，则k的值为____________

【答案】-2
【分析】设AB交x轴于点C，然后根据反比例函数系数的几何意义求解即可．
【详解】解：设AB交x轴于点C，如图，

根据题意得：，，
∵ΔABO的面积为1.5，
∴，
∴，
解得：，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图像位于第四象限，
∴，
∴．
故答案为：-2
【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的关键．
18．斛是中国古代的一种量器．据《汉书，律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的四个顶点都在一个圆上，此圆外有一个同心圆”．如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径为五尺（即5尺），“庣旁”为五寸（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺），则此斛底面的正方形的边长为_____________尺．

【答案】
【分析】根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．
【详解】解∶如图，

∵四边形CDEF为正方形，
∴， CD=DE，
∴CE为直径，∠ECD=45°，
∵AB=5，两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺，
∴CE=5-0.5×2=4，
∵，∠ECD=45°，
∴cos∠ECD=，
∴（尺），
故答案为∶．
【点睛】本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．
三、解答题：本题共8小题，第19小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23、24小题每小题10分，第25、26小题每小题13分，共78分，需要有必要的解答过程与步骤。
19．计算：
【答案】4
【分析】原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】原式

．
【点睛】本题考查了二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值，掌握运算法则是解题关键．
20．先化简，再求值，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式

，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．
21．如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)．

(1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？
(2)坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
【答案】(1)7米
(2)建筑物高约为米．

【分析】（1）根据题意解直角三角形即可得出答案；
（2）过点D作，垂足为P，再解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：∵坡的坡度为，坡面长26米，D为的中点，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，，
∴（米）；
则平台的长为7米；
（2）过点D作，垂足为P．

在中，，
同理可得：，
在矩形中，，，
在中， ，
∴，
∵，
∴ ，
解得：，
∴（米），
答：建筑物高约为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中坡角问题，仰角问题，根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出答案是解题关键．
22．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且．

(1)求证：；
(2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)补充：，证明见解析

【分析】（1）由平行四边形的性质知，，，得到，又有，故由证得；
（2）平行四边形的性质知，，，由可求得，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，由可得平行四边形是菱形．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）补充的条件是：．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定，证得四边形是平行四边形是解决问题的关键．
23．神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)________，________；并补全条形统计图：
(2)根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
(3)在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
【答案】(1)100，35，见解析
(2)720名
(3)

【分析】（1）根据A：航模制作的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值；根据题意和m的值可以求得B：航天资料收集；C：航天知识竞赛人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
（3）利用列表或树状图求概率即可
【详解】（1）由题意可得，m＝10÷10%＝100，n%＝100%-15%-10%-＝35%，
故答案为：100，35；
由题意可得：B：航天资料收集有：100×35%＝35（人）
C：航天知识竞赛有：100×15%＝15（人）
补全条形统计图如图所示：

（2）（名），
答：估计该校大约有720名学生选择参观科学馆．
（3）解法一  列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）


如上表，共有12种等可能的结果．其中恰好选中甲、乙两名同学的结果为2种：（甲，乙），（乙，甲）．
甲、乙恰好被分在一组的概率为．
解法二  画树状图为：

共有12种等可能的结果：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）．
甲、乙恰好被分在一组的结果为2种：（甲，乙），（乙，甲）．
甲、乙恰好被分在一组的概率为．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，利用列表或树状图求概率．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．已知一次函数和反比例函数经过点和点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)如图，点是线段AB下方反比例函数图象上的一动点，过点M作x轴的垂线与一次函数的图象交于点P，连接OP，OM．
①设POM的面积为S，求S关于m的函数解析式并指出m的求值范围；
②求S的最大值．
【答案】(1)；
(2)①；②2

【分析】（1）由已知的点A坐标求得反比例函数解析式y=5x，由解析式确定点B的坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）①根据解析式分别写出M、P的纵坐标，从而表示出POM的底，高即是m，因此可以写出面积的表达式，并指出m的求值范围；
②把面积的表达式化为顶点式，再计算最值．
【详解】（1）解：由已知可得：
k=1×5，
，
由，
，
，
∴，
∴所求表达式为：
，
（2）①解：由点及已知可得．
∴，
∴，
即S=，
∵点是线段AB下方反比例函数图象上的一动点，
∴m的取值范围为：．
②解：由①得，
又∵，
∴当m=3时，S的最大值为2．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式以及与二次函数的结合的面积的最值问题，解题的关键是数形结合．
25．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，CFBD．
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝6，AD＝10，求CD的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）
【分析】（1）首先利用HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD，则有∠BAD＝∠CAD，然后再利用等腰三角形三线合一即可证明结论；
（2）首先根据等腰三角形三线合一得出AD⊥BC，然后进一步可证明△BED≌△CEF，则有CF＝BD，利用一组对边平行且相等可证明四边形BFCD是平行四边形，再利用Rt△ABD≌Rt△ACD证明BD＝CD即可证明四边形BFCD是菱形；
（3）首先证明△AEC∽△CED，则有，设DE＝x，建立一个关于x的方程，解方程即可求出DE的值，最后再利用勾股定理即可求出CD的长度．
【详解】解（1）证明：∵AD是直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，，    
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；   
（2）四边形BFCD是菱形．  
证明：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AD⊥BC，
∵CFBD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中
，
∴△BED≌△CEF，
∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，    
∵Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；         
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，且∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，
∴△AEC∽△CED，        
∴，
∴CE2＝DE•AE，
设DE＝x，
∵BC＝6，AD＝10，
，
∴32＝x（10﹣x），
解得：x＝1或x＝9（舍去）      
在Rt△CED中，
CD＝＝．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定及性质，勾股定理和菱形的判定是解题的关键．
26．如图，抛物线与x轴交于A、B(1,0)两点，与y轴交于，直线与抛物线交于B、C两点，其中

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作，抛物线上是否存在一点P使得线段PE最大，若存在，请求出点P的坐标和线段PE的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，P点坐标，PE最大值为

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）连接PC、PB，过P点作PN⊥x轴于N点，交BC于M点，过C点作CG⊥PN于G点，先求出直线BC的解析式，再根据B、C的坐标求出BC，设P点坐标为，则可得N点坐标为(m,0)，G点坐标为(m,3)，M点坐标为，G点坐标为(m,3)，则有CG=m+2，BN=1-m，，根据PE⊥BC，可得，即有，当△BPC的面积最大时，即有PE最大值，再根据， ，即有当时，△BPC的面积最大为，则P点坐标可求，再根据，即可求出最长的PE．
（1）∵抛物线过点B(1,0)、C(-2,3)、D(0,3)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）存在，理由如下，连接PC、PB，过P点作PN⊥x轴于N点，交BC于M点，过C点作CG⊥PN于G点，如图，设直线BC的解析式是为，∵B(1,0)、C(-2,3)，∴，解得，∴直线BC的解析式是为，∵B(1,0)、C(-2,3)，∴，∵P点在直线BC上方的抛物线上，则设P点坐标为，∵PN⊥x轴，CG⊥PN于G点，M点是PN与BC的交点， ∴N点、G点、M点的横坐标均于P点相等，均为m，∴N点坐标为(m,0)，∵C(-2,3)，CG⊥PN，∴G点坐标为(m,3)，∵M点在直线BC：上，∴M点的纵坐标为，∴M点坐标为，∵C(-2,3)，G点坐标为(m,3)，∴CG=m+2，∵N点坐标为(m,0)，B(1,0)，∴BN=1-m，∵P点坐标为，M点坐标为，∴，∵PE⊥BC，∴，∵，∴，∴当△BPC的面积最大时，即有PE最大值，∵，∴，∵，BN=1-m，CG=m+2，∴，即，∴当时，△BPC的面积最大为，即P点坐标为：，∵，∴，∴，当P点在时，PE有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解抛物线解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识，求PE最大值转为为求△BPC面积最大值，并得到是解答本题的关键．