初中数学第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数课时训练

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考点突破训练：与反比例函数有关的综合问题
1．（2021·辽宁·沈阳市实验学校九年级期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象与y轴交于点B（0，2），与x轴交于点E（﹣，0）与反比例函数（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边）．
（1）求一次函数的解析式．
（2）求点C和点D的坐标以及反比例函数的解析式．
（3）直接写出在第三象限内，x取何值时＜ax+b．

【答案】（1）；（2），，；（3）
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）证明，则，故，然后利用射影定理的进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（3）由图观察到反比例函数图象在一次函数图象下方即可．
【详解】
解：（1）一次函数的图象与轴交于点，
与轴交于点，，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）作轴于，

，点坐标，，
，，
四边形是矩形，
，
轴，轴，
，
，
，
，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式，
，
且，
，
，
，
，
设，
四边形是矩形，
，
在和，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍去），
，
；
（3）由图象可知在第三象限内，使＜ax+b成立的取值范围，

即反比例函数图象在一次函数图象下方，
，
故取值范围为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形全等、矩形的判定及性质，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，解题的关键是利用数形结合的思想来解决，综合性较强．
2．（2021·山东招远·九年级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且与轴交于点，点的坐标为．

（1）求及的值；
（2）求的面积；
（3）结合图象直接写出不等式组的解集．
【答案】（1）-1；2；（2）；（3）.
【分析】
（1）已知点A（2，1）在函数和反比例函数的图象上，代入即可求得m和k的值；
（2）根据一次函数的解析式可得点的坐标，联立一次函数和反比例函数解方程组即可得点的坐标，连接OA、OB，将三角形分成同底的两个三角形，高为点A、点B的纵坐标绝对值，计算面积即可；
（3）由（2）得点C的坐标，根据图象直接判定不等式组的解集即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：点在函数的图象上，
即，
在反比例函数的图象上，
，；
（2）一次函数解析式为，令，得，
点的坐标是，

解之得 ，
由图象可得：点的坐标为，
连接OA、OB如图所示：

，
（3）由图象可知不等式组的解集为．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法一次函数的解析式，不等式与函数的关系，解题的关键是求出反比例函数、一次函数的解析式，利用数形结合解决问题．
3．（2021·安徽·合肥市五十中学东校九年级月考）如图，在直角坐标系中，点A（3，a）和点B是一次函数y＝x﹣2和反比例函数y＝图象的交点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．
（2）利用图象，直接写出当x﹣2＞时x的取值范围．
（3）C为线段AB上一点，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，求△BCD面积的表达式．

【答案】（1），B (-1，-3)；（2）或；（3）．
【分析】
（1）根据一次函数上的点的坐标满足其解析式可求出a的值，再利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两个函数解析式即可求出B点坐标；
（2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方时的x的取值范围即可；
（3）根据题意可设C点坐标为，即可写出D点坐标为，分类讨论①当和②当两种情况，作出图形，结合三角形面积公式即可求答案．
【详解】
（1）根据题意可知点A在一次函数上，
∴，
∴A点坐标为(3，1)．
又∵点A在反比例函数上，
∴，解得：，
∴反比例函数解析式为：．
联立：，
解得：，．
∴B点坐标为(-1，-3)．
（2）根据题意可知只要一次函数图象在反比例函数图象上方即有，
根据图象当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方．
故此时x的取值范围是或．
（3）如图，根据题意可设C点坐标为 ，则D点坐标为，
①当时，如图，

设边CD上的高为，则，
∵
∴．
②当时，如图，

设边CD上的高为，则，
∵
∴．
综上△BCD面积的表达式为．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合、求反比例函数的解析式，解题的关键是利用数形结合的思想进行求解．
4．（2021·吉林·长春市第八十七中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与函数y（m＞0，x＞0）的图象交于A（3，a）、B（14﹣2a，2）两点．
（1）求a、m的值．
（2）求一次函数y＝kx+b所对应的函数表达式．

【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）把点A、B的坐标代入反比例函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）可得A、B坐标，然后代入一次函数解析式进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意把点A（3，a）、B（14﹣2a，2）代入函数y得：
，解得：；
（2）由（1）可知点，则代入一次函数解析式得：
，解得：，
∴一次函数解析式为．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2021·北京市第十三中学分校九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，定义形如y＝（k≠0）的函数，叫做反比例函数，它的图象是双曲线（同学们可以借助列表、描点的方法，画出此类函数的图象）．当k＞0时，图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．下面，试着解决以下问题：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点P(1，a)
（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；
（2）点Q(n，0)是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．

【答案】（1）点的坐标为，反比例函数的解析式为；（2）
【分析】
（1）先将点代入，可求得点P的坐标，再将点P的坐标代入反比例函数即可求得反比例函数的解析式；
（2）先根据勾股定理求出当时的n的值，进而即可得到当时的的取值范围．
【详解】
解：（1）将点代入，
得：，
点的坐标为，
将点代入，
得：，
反比例函数的解析式为．
（2）当时，
，，
∴由勾股定理可得：，
解得：
又∵，
的取值范围为．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，勾股定理，用待定系数法求反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
6．（2021·湖南·武冈市第二中学九年级月考）如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小时，求出此时P的坐标．

【答案】（1）y1＝（x＞0），y2＝﹣2x+12；（2）点P的坐标为（0，）．
【分析】
（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（2，8），利用待定系数法求函数的解析式；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为，于是得到结论．
【详解】
解：（1）∵点D是边AB的中点，AB＝4，
∴AD＝2，
∵四边形OABC是矩形，BC＝8，
∴D（2，8），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y1＝（x＞0），
当x＝4时，y＝4，
∴E（4，4），
把D（2，8）和E（4，4）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，
∴，
∴直线DE的解析式为y2＝﹣2x+12；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵点D的坐标为（2，8），
∴点D′的坐标为（﹣2，8），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴，
解得：，
∴直线D′E的解析式为，
令x＝0，得，
∴点P的坐标为（0，）．

【点睛】
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．
7．（2021·江苏射阳·九年级月考）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象相交于点A（，6），B（n，1）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）若一次函数的图象与x轴交于点C，点M在反比例函数y＝的图象上．当S△OCM：S△ACO＝1：3时，请求出点M的坐标．

【答案】（1）；（2），或，
【分析】
（1）把点，代入得到反比例函数的解析式为；进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可得到一次函数的解析式；
（2）先求出点C的坐标，由此可求ACO的面积，设，根据三角形的面积公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）把点，代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点，，代入，
得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）当时，，
解得：，
，，
，
，
，
，
设，
，
解得：，
，或，．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
8．（2021·山东广饶·九年级期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）若点是轴上一点，且满足的面积是，请求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）或；（3）点坐标为或．
【分析】
（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式．
（2）通过观察图象交点求解．
（3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）将代入得，
解得，反比例函数解析式为．，解得，
所以点坐标为，把，代入得：
，解得，一次函数解析式为．
（2）由图象可得当或时式．
故答案为：或．
（3）设点坐标为，一次函数与轴交点为，


把代入得，解得，点坐标为．
，
，即，
解得或．点坐标为或．
【点睛】
本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与不等式的关系．
9．（2021·辽宁于洪·九年级期中）如图，一次函数y＝x＋1的图象与轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求出点D的坐标，并直接写出当＞x＋1时，x的取值范围；
（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）A（-2，0），B（2，2）；（2）D（-4，-1）；0＜x＜2或x＜-4；（3）P（-2，0）或P（2，0）或P（-2+2，0）或P（-2-2，0）．
【分析】
（1）令y=0，得到A的横坐标，令x=0，得到C的纵坐标，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，利用三角形中位线定理可得B的坐标；
（2）联立两个函数解析式，整理得到一元二次方程，求解即可求出点D的坐标，运用交点的横坐标，结合图像的增减性写出即可；
（3）设P（a，0），则M（a，a+1），点N（a，），根据题意，得|a+1-|=1，解绝对值方程即可．
【详解】
（1）令y=0，得到x＋1=0，
解得x=-2，
∴A（-2，0）；
令x=0，得y=1，
∴C（0，1）；
∵AC＝BC，
∴点B在第一象限，
过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则CO是△AEB的中位线，
∴BE=2OC=2，AO=0E=2，
∴B的坐标为（2，2）；

（2）∵点B（2，2）在y＝上，
∴k=4，
∴y＝，
∴x＋1＝，
整理，得，
解得，
当x=-4时，y=-1，
∴D（-4，-1）；
根据图像可得，＞x＋1时，x的取值范围是0＜x＜2或x＜-4；
（3）设P（a，0），则M（a，a+1），点N（a，），OC=1，
∵O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴CO∥MN，且CO=MN，
∴|a+1-|=1，
当a+1-=1时，整理，得，
解得a=，
当a+1-= -1时，整理，得，
解得a=，
∴点P的坐标为P（-2，0）或P（2，0）或P（-2+2，0）或P（-2-2，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数的解析式，反比例函数的解析式，不等式的解集，一元二次方程的解法，平行四边形的判定，熟练掌握待定系数法，灵活运用平行四边形的判定，准确求解一元二次方程的根是解题的关键．
10．（2021·广东·深圳市海滨中学九年级期中）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．
（1）如图，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证．此时，＝　 　．
（2）将三角板DEF由图所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设2＜x＜4，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．

【答案】（1）8；（2）不会改变，理由见解析；（3）．
【分析】
（1）由题意易证得，然后由相似三角形的性质即可求得答案；
（2）不会改变，关键还是证，已知一组角，再证明，由此可证得两三角形相似，因此结论不变；
（3）首先可得当，即时，，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，再根据即可求得答案．
【详解】
解：（1），，
．
．
，
，斜边中点为，
，
；
故答案为：8；
（2）的值不会改变，理由如下：
在与中，，
∴，
∵，
∴，
，
．
．
；
∴的值不会改变；
（3）当，即时，，
此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于，
，
由（2）知：，
∴，
则
，
与的函数关系式为：．

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及反比例函数等知识的综合应用．此题难度较大，注意数形结合思想与函数思想的应用．
11．（2021·辽宁沈北新区·九年级期中）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．
（1）求k的值；
（2）连接CD，求△ACD的面积；
（3）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．

【答案】（1）8；（2）4；（3）6
【分析】
（1）根据题意直接用待定系数法将A点代入即可得出答案；
（2）由题意先求出AC和DF，进而根据三角形面积公式进行计算即可得出答案；
（3）由题意求出直线BC的解析式，可得E点的坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
【详解】
解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），
∴2＝，
∴k＝8；
（2）如图，连接CD，

∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，A（4，2），
∴AC＝4，DF＝OC＝2，
∴S△ACD＝ ，
（3）反比例函数的解析式为：y＝（x＞0），
∵BD＝3OC，
∴BD＝3×2＝6，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y＝，得：6＝，
解得：x＝，
∵B（），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝mx+b，
则 ，
解得： ,
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，令y＝0，得：3x+2＝0，
解得：x＝﹣，
∴E（﹣ ），
∴DE＝ ＝2，
∵ACDE，
∴S四边形ACED＝ ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法，一次函数与坐标轴的交点特征，三角形和梯形面积计算等知识，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题的关键．
12．（2021·湖南·岳阳市第十九中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请写出理由

【答案】（1）y1=-x-2，；（2）6；（3）（,0）或（-8,0）或（-2.5,0）．
【分析】
（Ⅰ）将点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；再将点B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，然后运用待定系数法确定一次函数解析即可；
（2）先求出直线AB与x轴的交点坐标，再运用三角形的面积公式求解即可；
（3）分PA=PO、PA=AO、PO=OA三种情况，分别建立方程分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵A（-4,2），
∴将点A坐标代入反比例函数解析式可得：m=-8
∴该反比例函数的解析式为，
将点B的坐标代入，可得n=-4
∴点B的坐标（2，-4）
将A与B坐标代入一次函数解析式中，可得：
，解得：
∴一次函数解析式为y1=-x-2；
（2）当-x-2=0时，解得x=-2，
∴直线AB与x轴的交点为（-2,0）
∵点A（-4,2）、点B（2，-4），
∴△AOB的面积为：；
（3）设点P（m，0），
∵点A、O的坐标分别为：（-4,2）、（0，0）
∴AO2= =20, PO2== m2，
PA2==m2+20+8m，
当AO=PO时，有20=m2，解得：m=；
当PA=OA时，m2+20+8m=20，解得：m=-8或m=0（不合题图舍去）
当PA=PO时，有m2+20+8m= m2，解得：m=-2.5，
综上点P的坐标为：（,0）或（-8,0）或（-2.5,0）时，△PAO为等腰三角形
【点睛】
本题主要考查了待走系数法求函数解析式、两点间的距离公式、三角形的面积公式、等腰三角形的定义等知识点，掌握数形结合思想和待定系数法成为解答本题的关键．
13．（2021·辽宁省实验学校九年级月考）如图，矩形OABC的两边OA，OC分别在坐标轴上，OA＝3，AB＝4，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象与矩形的两边AB，BC分别交于点D，E，且BD＝2AD．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若连接OD，OE，DE，则△DOE的面积为 　 　．
（3）若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】（1）y＝，E（4，1）；（2）；（3）（1，0）或（3，0）．
【分析】
（1）由矩形OABC中，AB＝4，BD＝2AD，可得3AD＝4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；
（2）利用△DOE的面积=矩形面积--，即可求解；
（3）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4−m，由∠APE＝90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵AB＝4，BD＝2AD，
∴AB＝AD＋BD＝AD＋2AD＝3AD＝4，
∴AD＝，
又∵OA＝3，
∴D（，3），
∵点D在双曲线y＝上，
∴k＝×3＝4，即y＝；
∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC＝4，
∴点E的横坐标为4．
把x＝4代入y＝中，得y＝1，
∴E（4，1）；
（2）∵，，
∴△DOE的面积=3×4-2-2-=，
故答案是：；

（3）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP＝m，CP＝4−m．
∵∠APE＝90°，
∴∠APO＋∠EPC＝90°，
又∵∠APO＋∠OAP＝90°，
∴∠EPC＝∠OAP，
又∵∠AOP＝∠PCE＝90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴，
∴，
解得：m＝1或m＝3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】
此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点D的坐标与证得△AOP∽△PCE是解此题的关键．
14．（2020·全国·九年级单元测试）如图，点、在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，．

（1）求、的值并写出该反比例函数的解析式．
（2）点在线段上，，求点的坐标．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据题意列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，确定出与坐标，设出反比例函数解析式，将坐标代入即可确定出解析式；
（2）设，表示出与，连接，，三角形面积四边形面积三角形面积三角形面积，求出即可．
【详解】
解：（1）由题意得：，
解得：，
∴ ，，

设反比例函数解析式为，
将代入得：，
则反比例解析式为；
（2）设，则，，
∵ 轴，轴，
∴ ，
连接，，则


∴，
解得：，
则．
【点睛】
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
15．（2021·广东·佛山市实验学校九年级月考）已知一次函数的图象与x轴和y抽分別交于A、B两点，与反比例函数的图象分别交于C、D两点．
（1）如图1，当k＝1，点P在线段AB上（不与点A、B重合）时，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足为M、N．当矩形OMPN的面积为2时，求出点P的位置．
（2）如图2，当k＝1时，在x轴上是否存在点E，使得以A、B、E为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．


（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k的值．
【答案】（1）点或；（2）存在，或；（3）
【分析】
（1）求得一次函数和反比例函数的解析式，设，由矩形面积公式求解即可；
（2）先求出点的坐标，由相似三角形的性质即可求解；
（3）先求出两个函数图像交点的横坐标，由等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）当时，则一次函数的解析式为：，反比例函数解析式为：


∵点在线段上，
∴设点，，即
∴，
∵矩形的面积为2
∴，即
解得或
点或
（2）由（1）得，一次函数的解析式为：，反比例函数解析式为：


一次函数的图象与x轴和y抽分別交于A、B两点
∴，
∴
∴，
联立一次函数与反比例函数得，，即
解得或
即，
∴
设，
以A、B、E为顶点的三角形与BOC相似，且
∴或
∴或
解得：或
∴或
（3）联立一次函数与反比例函数得，，即
解得：或
由题意得：或
解得
【点睛】
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．（2021·江苏·泰兴市西城初级中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b(k>0，b>0)的图象与x轴交于A，与y轴交于C．双曲线y＝（x＞0）的图象交一次函数的图像于第一象限内的点B，BD⊥x轴于D． E是AB中点，直线DE交y轴于F，连接AF．
（1）若k=1， 点B(2，6)时．
①求一次函数和反比例函数的解析式；
②求AFD的面积．
（2）当 k=2， a=12时， 求AFD的面积．
（3）求证：当k，b，a为任意常数时，AFD的面积恒等于

【答案】（1）①y=x+4，； ②6；（2）6；（3）见解析
【分析】
（1）①把点B（2，6）分别代入y＝x＋b和y＝kx（x＞0），根据待定系数法即可求得；
②求出D，E的坐标，求出直线DE的解析式，得到F点坐标，故可求出△ADF的面积；
（2）联立两函数求出B点坐标，再得到E点坐标，求出直线DE的解析式，从而得到F点坐标，根据三角形的面积公式即可求出AFD的面积
（3）与（2）同理即可求解．
【详解】
解：（1）①∵一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B，B（2，6），
∴6＝2＋b，6＝，
∴b＝4，a＝12，
∴一次函数解析式为y＝x＋4，反比例函数解析式为；
②令一次函数y＝x＋4=0
解得x=-4
∴A（-4，0）
∵E是AB中点，B（2，6）
∴E（-1，3）
∵BD⊥x轴于D
∴D（2，0）
设直线DE的解析式为y=mx+n，代入E（-1，3）、D（2，0）得
解得
∴直线DE的解析式为y=-x+2，
令x=0，得y=2
∴F（0，2）
∴OF=2
∴AFD的面积为；
（2）∵一次函数y＝2x＋b，反比例函数
联立得2x＋b=
∴2x2+bx-12=0
解得x=，（x=舍去）
∴B（，）
由A（，0）得到E（，）
∵D（，0）
设直线DE的解析式为y=mx+n，代入E（，）、D（，0）得
解得
∴直线DE的解析式为y=-2x+，
令x=0，y=
∴F（0，）
∴OF=
∵A（，0），D（，0）
∴AD=+=
∴AFD的面积为；
（3）∵一次函数y＝kx＋b，反比例函数
联立得kx2+bx-a=0
解得x=，（x=舍去）
∴B（，）
由A（，0）得到E（，）
∵D（，0）
设直线DE的解析式为y=mx+n，代入E（，）、D（，0）得
解得
∴直线DE的解析式为y=-kx+，
令x=0，y=
∴F（0，）
∴OF=
∵A（，0），D（，0）
∴AD=+=
∴AFD的面积为．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟知待定系数法求函数的解析式，三角形的面积及一元二次方程的解法．
17．（2021·浙江嘉兴·八年级期末）如图1，在直角坐标系中，点在函数（）图象上，点在轴的正半轴上，轴于点．已知△的面积为．
（1）求点的坐标与的值．
（2）如图2，设点是线段的中点，点在函数（）图象上，当四边形是平行四边形时，求点的坐标．
（3）如图3，设点在直线上，点在函数（）图象上，若四边形是平行四边形，设该四边形的面积为，△的面积为，求与的数量关系式．


【答案】（1）P（4，2），k=8；（2）D（2，4）；（3）S1+S2=4
【分析】
（1）根据，列方程求解即可得出答案；
（2）根据平行四边形性质和平移规律可得出，由点在函数图象上，建立方程求解即可；
（3）连接，运用平行四边形性质可得，再利用，利用三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）轴于点．，，
，，
，
的面积为4，
，
，
，
，
；
（2），，点是线段的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
根据平移规律可得：，
点在函数图象上，
，
解得：，
；

（3）如图3，当点在线段上时，
四边形是平行四边形，
，，，，
连接，

，
，
．
如图4，当点在延长线上时，连接，

四边形是平行四边形，
则，
，
．
如图5，当点在延长线上时，

四边形是平行四边形，
，
点在第二象限，不成立；
综上所述，或．
【点睛】
本题是关于反比例函数综合题，考查了待定系数法，求一次函数与反比例函数图像交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行四边形和三角形面积等，解题关键是熟练掌握平行四边形性质及反比例函数性质．