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数学（杭州卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷
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2023年中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
A
C
C
A
D
B
C
A
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿．5000亿用科学记数法表示为（ ）
A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×1012
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，先将5000亿转化成数字，然后按要求表示即可．
【详解】解：5000亿，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为，故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
2．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
3．如图，已知AB // CD，∠A = 24°，∠C = 28°，则∠APC的度数为（ ）
A．52° B．50° C．48° D．45°
【答案】A
【分析】如图，过点P作PE // AB，则AB // CD // PE，根据平行线的性质求出∠APE＝∠A＝24°，∠CPE＝∠C＝28°即可解决问题．
【详解】解：如图，过点P作PE // AB，
∵AB // CD，
∴AB // CD // PE，
∴∠APE＝∠A＝24°，∠CPE＝∠C＝28°，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝24°＋28°＝52°，故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
解①得，
解②得，
不等式组的解集为，在数轴上表示为：
，故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF // AC，GF // AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【分析】根据EF // AC，GF // AB，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由EF // AC，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形AEFG的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】解∶∵EF // AC，GF // AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵EF // AC，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形AEFG的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
6．已知关于的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1) = 3，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系以及求解即可．
【详解】解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，故选：A
【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．
7．某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．
【详解】解：设规定日期为x天，
由题意可得，，
整理得，或或．
则ABC选项均正确，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．如图，直线AB与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线AF，BE，垂足分别为点F，E，连接AE，BF，若S△ADE + S△BDF = 32k−3 ，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．3−3 D．62
【答案】B
【分析】根据点A，B在双曲线上，设，，设直线AB解析式为，将，代入，计算得，则直线AB的解析式为，当时，，则，计算得，
，，根据三角形的面积公式得S△ADE+S△BDF = 12∙DE∙AF+12∙DF∙BE=32k−3，则12∙m∙km+12∙(−n)∙(−kn)=32k−3 ，进行计算即可得．
【详解】解：∵点A，B在双曲线上，∴设，，
设直线AB解析式为，将，代入，得
，解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，∴，
∴，
∴，，
∴S△ADE+S△BDF = 12∙DE∙AF+12∙DF∙BE=32k−3
即 12∙m∙km+12∙(−n)∙(−kn)=32k−3
∴ 12k=3
∴ k = 6，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数与依次函数，并正确计算．
9．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
则②③④正确，故选C．
【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．
10．如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为与相交于点G，的延长线过点C．若，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．
【答案】A
【分析】令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证，得出，进而得出y=3x，则AE=4x，AD=8x，过点E作EH⊥BC于点H，根据勾股定理得出EH=x，最后求出的值．
【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，
又四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，
∴AB=EH，ED=CH，
∵，
∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在Rt△EGH中EH2+HG2=EG2，
则EH2+x2=(3x)2，
解得EH=x， EH=-x(舍)，
∴AB=x，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算：_________．
【答案】5
【分析】根据绝对值和零指数幂进行计算即可．
【详解】解：，故答案为：5．
【点睛】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
12．今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分．
【答案】87.4
【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
【详解】解：根据题意得
她的最后得分是为： （分）；故答案为：87.4．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
【答案】5
【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b=c，
∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，
∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
14．如图，已知F是△ABC内的一点，FD // BC，FE // AB，若BDFE的面积为2，，，则△ABC的面积是________．
【答案】12
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、CN之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．
【详解】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
，，，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
求出,
，故答案为：12．
【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
15．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
【详解】解：抛物线过，两点，且，
，
，
，即，
抛物线开口向下，，
，故①正确；
若，则，
，
，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，
，，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）________°；
（2）若，，则________．
【答案】 45
【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数．
（2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD
∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如图，作FH⊥CD于H，
∴∠FHD=90°
又∵∠G=∠GDH=90°，
∴四边形DGFH是矩形，
又∵DG=FG，
∴四边形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴
∴，
∴DM=，MH=，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP=，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，
∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF,
∴，即，
∴NH=，
∴MN=MH+NH=+=．故填： ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）-2.4；（3）．
【分析】（1）先乘方，再乘除，最后加减，注意负号的作用；
（2）利用乘法分配律的逆运算解题；
（3）先计算小括号，再计算中括号，注意负号的作用
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t ≤45”，B组“45＜t ≤60”，C组“60＜t ≤75”，D组“75＜t ≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
(3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】(1)100，图形见解析 (2)72，C； (3)估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【详解】（1）这次调查的样本容量是：25÷25%=100，D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
（3）1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
(1)求∠BAD的度数．
(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【答案】(1)47° (2)3.3米
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可．
【解析】（1）解：，，
，
答：的度数是．
（2）解：在Rt△ABC中，，
∴．
同理，在Rt△ADC中，有．
∵，
∴．
∴，
∴（米）．
答：表AC的长是3.3米．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的A、B两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在轴上是否存在一点，使△AOP是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)6 (3)点的坐标为：或或或
【分析】（1）把点代入得到，把代入，求得，即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）解方程组得到，根据勾股定理得到 ，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵交轴于点，∴，
∵与交于点，∴，
∴S△AOB = S△AOC +S△BOC =6；
（3）∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键．
21．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，平分交⊙O于点，交于点，过点作⊙O的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）连接OD，由CD平分∠ACB，可知AD=BD，得∠AOD=∠BOD=90°，由DF是切线可知∠ODF=90°=∠AOD，可证结论；
（2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得，代入可求．
【解析】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ODF=90°
∴∠ODF=∠BOD，
∴DF∥AB．
（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=．
∴12AB∙CM=12AC∙BC，
即12×5∙CM=12×25∙5，
∴CM=2，
∴，
∴OM=OB-BM = 12×5−1=32，
∵DF∥AB，
∴∠OFD=∠COM，
又∵∠ODF=∠CMO=90°，
∴△DOF∽△MCO，
∴，
即，
∴FD=．
【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解．
22．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，．
(1)求抛物线的对称轴；（用含的式子表示）
(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象（包括A，B两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；
(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象（包括M，A两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，求的取值范围．
【答案】(1) (2)或 (3)或
【分析】（1）将一般式转化为顶点式即可得解；
（2）将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可；
（3）分点在点的左侧；点的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．
【解析】（1）解：，
∴对称轴为：；
（2）解：由可知：
抛物线的顶点坐标为：，
当时：，
当时：，
∴，
∵，
∴过点垂直于轴的直线：，如图：
由图象可知：当或时，直线与有且仅有一个交点，
∴的取值范围为：或；
（3）解：∵，
∴，
当时，，
∴
①当在点的左侧，即：，时：
在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，
解得：或（舍掉）；
②当在点的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意；
③当对称轴的右侧，即时，当时，
此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意；
③当对称轴的右侧，即时，当时，
此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴，
解得：（舍），或；
∴；
综上： 或．
23．（1）如图1，⊙A的半径为2，，点为⊙A上任意一点，则的最小值为________．
（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点P是的内心，求角的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值．
【答案】3；；．
【分析】（1）当三点共线，且点P在线段上时，有最小值；
（2）点是的内心，故有，利用三角形内角和定理即可求解；
（3）如图，作的外接圆⊙Q，连接，过Q作，交的延长线于M，设⊙Q的半径为r，由（1）可知的最小值为：，由（2）易证优弧 AB 所对的圆周角为，即，结合已知解直角三角形 △QAB得；同理求出和即可解决．
【解析】解：（1）当三点共线，且点P在线段上时，有最小值，
最小值为：，
故答案为：3；
（2），
，
，
点是的内心，
，
，
，
；
（3）如图，作的外接圆⊙Q，连接，
过Q作，交的延长线于M，
设⊙Q的半径为r，
由（1）可知的最小值为：，
点是的内心，
，
，
∴△PBE≌△PBA，
，
优弧AB所对的圆周角为，
，
又，
∴△QAB是等腰直角三角形，
，
，
，
由作图可知，，
，
，
，
，
故的最小值为：．
【点睛】本题考查了线段的加减、三角形内角和、内心及角平分线的性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形；解题的关键掌握内心的概念，构造三角形外接圆模型．
2023年中考数学第一次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
A
C
C
A
D
B
C
A
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿．5000亿用科学记数法表示为（ ）
A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×1012
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，先将5000亿转化成数字，然后按要求表示即可．
【详解】解：5000亿，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为，故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
2．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
3．如图，已知AB // CD，∠A = 24°，∠C = 28°，则∠APC的度数为（ ）
A．52° B．50° C．48° D．45°
【答案】A
【分析】如图，过点P作PE // AB，则AB // CD // PE，根据平行线的性质求出∠APE＝∠A＝24°，∠CPE＝∠C＝28°即可解决问题．
【详解】解：如图，过点P作PE // AB，
∵AB // CD，
∴AB // CD // PE，
∴∠APE＝∠A＝24°，∠CPE＝∠C＝28°，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝24°＋28°＝52°，故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
解①得，
解②得，
不等式组的解集为，在数轴上表示为：
，故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB=AC=8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF // AC，GF // AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【分析】根据EF // AC，GF // AB，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由EF // AC，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形AEFG的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】解∶∵EF // AC，GF // AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵EF // AC，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形AEFG的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
6．已知关于的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1) = 3，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．-3或3 D．-1或3
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系以及求解即可．
【详解】解：由题意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，故选：A
【点睛】本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围，解题的关键是求出，再利用根与系数的关系求出或（舍去）．
7．某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．
【详解】解：设规定日期为x天，
由题意可得，，
整理得，或或．
则ABC选项均正确，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．如图，直线AB与双曲线交于点A，B，与y轴交于点C，与x轴交于点D，过A，B分别作x轴的垂线AF，BE，垂足分别为点F，E，连接AE，BF，若S△ADE + S△BDF = 32k−3 ，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C．3−3 D．62
【答案】B
【分析】根据点A，B在双曲线上，设，，设直线AB解析式为，将，代入，计算得，则直线AB的解析式为，当时，，则，计算得，
，，根据三角形的面积公式得S△ADE+S△BDF = 12∙DE∙AF+12∙DF∙BE=32k−3，则12∙m∙km+12∙(−n)∙(−kn)=32k−3 ，进行计算即可得．
【详解】解：∵点A，B在双曲线上，∴设，，
设直线AB解析式为，将，代入，得
，解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，∴，
∴，
∴，，
∴S△ADE+S△BDF = 12∙DE∙AF+12∙DF∙BE=32k−3
即 12∙m∙km+12∙(−n)∙(−kn)=32k−3
∴ 12k=3
∴ k = 6，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数与依次函数，并正确计算．
9．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项．
【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
故化简得：，
将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，
则②③④正确，故选C．
【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．
10．如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为与相交于点G，的延长线过点C．若，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．
【答案】A
【分析】令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证，得出，进而得出y=3x，则AE=4x，AD=8x，过点E作EH⊥BC于点H，根据勾股定理得出EH=x，最后求出的值．
【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，
又四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，
∴AB=EH，ED=CH，
∵，
∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，，，
由题意，得，
又为公共角，
∴，
∴，
则，
整理，得，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在Rt△EGH中EH2+HG2=EG2，
则EH2+x2=(3x)2，
解得EH=x， EH=-x(舍)，
∴AB=x，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算：_________．
【答案】5
【分析】根据绝对值和零指数幂进行计算即可．
【详解】解：，故答案为：5．
【点睛】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
12．今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分．
【答案】87.4
【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
【详解】解：根据题意得
她的最后得分是为： （分）；故答案为：87.4．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
【答案】5
【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b=c，
∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，
∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
14．如图，已知F是△ABC内的一点，FD // BC，FE // AB，若BDFE的面积为2，，，则△ABC的面积是________．
【答案】12
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、CN之间的关系，从而得到三角形的面积关系即可求解．
【详解】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N，
，，，，
，
，
令，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
求出,
，故答案为：12．
【点睛】本题考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
15．已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若点，在抛物线上，，且，则；
④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
其中正确的是_________（填写序号）．
【答案】①③④
【分析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③；将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．
【详解】解：抛物线过，两点，且，
，
，
，即，
抛物线开口向下，，
，故①正确；
若，则，
，
，故②不正确；
抛物线，点，在抛物线上，
∴，，把两个等式相减，整理得，
，，，
，
，
，故③正确；
依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，
，
，，
，，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．故答案为；①③④．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：
（1）________°；
（2）若，，则________．
【答案】 45
【分析】（1）先证△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知度数．
（2）先作FH⊥CD于H，利用平行线分线段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，证△MPF∽△NHF,即可求得NH的长度，MN=MH+NH即可得解．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵FG⊥AG，
∴∠G=∠A=90°，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=FE，∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠EBA，
在△ABE和△GEF中，
，
∴△ABE≌△GEF（AAS），
∴AE=FG，AB=GE，
在正方形ABCD中，AB=AD
∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，
∴AE=DG=FG，
∴∠FDG=∠DFG=45°．
故填：45°．
（2）如图，作FH⊥CD于H，
∴∠FHD=90°
又∵∠G=∠GDH=90°，
∴四边形DGFH是矩形，
又∵DG=FG，
∴四边形DGFH是正方形，
∴DH=FH=DG=2，
∴
∴，
∴DM=，MH=，
作MP⊥DF于P，
∵∠MDP=∠DMP=45°，
∴DP=MP，
∵DP2+MP2=DM2，
∴DP=MP=，
∴PF=
∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，
∴∠MFP=∠NFH，
∵∠MPF=∠NHF=90°，
∴△MPF∽△NHF,
∴，即，
∴NH=，
∴MN=MH+NH=+=．故填： ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）-2.4；（3）．
【分析】（1）先乘方，再乘除，最后加减，注意负号的作用；
（2）利用乘法分配律的逆运算解题；
（3）先计算小括号，再计算中括号，注意负号的作用
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t ≤45”，B组“45＜t ≤60”，C组“60＜t ≤75”，D组“75＜t ≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内；
(3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【答案】(1)100，图形见解析 (2)72，C； (3)估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
【详解】（1）这次调查的样本容量是：25÷25%=100，D组的人数为：100-10-20-25-5=40，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72，C；
（3）1800×=1710（人），
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
(1)求∠BAD的度数．
(2)求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【答案】(1)47° (2)3.3米
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可．
【解析】（1）解：，，
，
答：的度数是．
（2）解：在Rt△ABC中，，
∴．
同理，在Rt△ADC中，有．
∵，
∴．
∴，
∴（米）．
答：表AC的长是3.3米．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的A、B两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在轴上是否存在一点，使△AOP是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)6 (3)点的坐标为：或或或
【分析】（1）把点代入得到，把代入，求得，即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）解方程组得到，根据勾股定理得到 ，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）∵交轴于点，∴，
∵与交于点，∴，
∴S△AOB = S△AOC +S△BOC =6；
（3）∵，
∴，
当时，或，
当时，如图1，过作于，
∵，
∴，∴，
时，如图2，过作于，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
综上所述：点的坐标为：或或或
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键．
21．（10分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，平分交⊙O于点，交于点，过点作⊙O的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）连接OD，由CD平分∠ACB，可知AD=BD，得∠AOD=∠BOD=90°，由DF是切线可知∠ODF=90°=∠AOD，可证结论；
（2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得，代入可求．
【解析】（1）证明：连接OD，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD=90°，
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ODF=90°
∴∠ODF=∠BOD，
∴DF∥AB．
（2）解：过C作CM⊥AB于M，如图，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=．
∴12AB∙CM=12AC∙BC，
即12×5∙CM=12×25∙5，
∴CM=2，
∴，
∴OM=OB-BM = 12×5−1=32，
∵DF∥AB，
∴∠OFD=∠COM，
又∵∠ODF=∠CMO=90°，
∴△DOF∽△MCO，
∴，
即，
∴FD=．
【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解．
22．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，．
(1)求抛物线的对称轴；（用含的式子表示）
(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象（包括A，B两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；
(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象（包括M，A两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，求的取值范围．
【答案】(1) (2)或 (3)或
【分析】（1）将一般式转化为顶点式即可得解；
（2）将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可；
（3）分点在点的左侧；点的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．
【解析】（1）解：，
∴对称轴为：；
（2）解：由可知：
抛物线的顶点坐标为：，
当时：，
当时：，
∴，
∵，
∴过点垂直于轴的直线：，如图：
由图象可知：当或时，直线与有且仅有一个交点，
∴的取值范围为：或；
（3）解：∵，
∴，
当时，，
∴
①当在点的左侧，即：，时：
在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，
解得：或（舍掉）；
②当在点的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意；
③当对称轴的右侧，即时，当时，
此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意；
③当对称轴的右侧，即时，当时，
此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴，
解得：（舍），或；
∴；
综上： 或．
23．（1）如图1，⊙A的半径为2，，点为⊙A上任意一点，则的最小值为________．
（2）如图2，已知矩形，点为上方一点，连接，，作于点，点P是的内心，求角的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，若矩形的边长，，，求此时的最小值．
【答案】3；；．
【分析】（1）当三点共线，且点P在线段上时，有最小值；
（2）点是的内心，故有，利用三角形内角和定理即可求解；
（3）如图，作的外接圆⊙Q，连接，过Q作，交的延长线于M，设⊙Q的半径为r，由（1）可知的最小值为：，由（2）易证优弧 AB 所对的圆周角为，即，结合已知解直角三角形 △QAB得；同理求出和即可解决．
【解析】解：（1）当三点共线，且点P在线段上时，有最小值，
最小值为：，
故答案为：3；
（2），
，
，
点是的内心，
，
，
，
；
（3）如图，作的外接圆⊙Q，连接，
过Q作，交的延长线于M，
设⊙Q的半径为r，
由（1）可知的最小值为：，
点是的内心，
，
，
∴△PBE≌△PBA，
，
优弧AB所对的圆周角为，
，
又，
∴△QAB是等腰直角三角形，
，
，
，
由作图可知，，
，
，
，
，
故的最小值为：．
【点睛】本题考查了线段的加减、三角形内角和、内心及角平分线的性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形；解题的关键掌握内心的概念，构造三角形外接圆模型．
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