《垂径定理》示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】
展开《垂径定理》教学设计一、教学目标1.探索并证明垂径定理,激发学生的求知欲;2.理解垂径定理及其逆定理,能够利用垂径定理及其逆定理进行简单的计算;3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题;4.通过学习垂径定理及其逆定理的证明,发展学生的推理能力.二、教学重难点重点:理解垂径定理及其逆定理,能够利用垂径定理及其逆定理进行简单的计算.难点:灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【情境导入】教师活动:教师出示问题,引导学生回顾旧知.问题1:圆是轴对称图形,还记得它的对称轴是什么吗?预设答案:任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.它有无数条对称轴.追问:它是轴对称轴图形吗?这节课我们一起来探究一下吧! 学生思考,然后交流反馈. 通过复习圆的对称性,为学习本节课的垂径定理奠定基础.环节二探究新知【做一做】问题2:如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD, 使得CD⊥AB,垂足为M.它是轴对称图形吗?预设答案:是轴对称图形.追问1:它的对称轴是什么?你能试着证明吗?预设答案:CD所在的直线是对称轴证明:连接OA、OB,则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点,在圆上都有关于直线CD的对称点,即⊙O关于直线CD对称.追问2:图中有哪些等量关系呢? 预设答案:线段:AM=BM,弧:,追问3:你能证明上面的结论吗?如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD, 使得CD⊥AB,垂足为M.求证:,,证明:连接OA、OB,则OA=OB.在等腰三角形OAB中,∵OM⊥AB,∴AM=BM.∴点A和点B关于直线CD对称,∵⊙O关于直线CD对称.∴当圆沿着直径CD折叠时,点A与点B重合,和重合,与重合.∴,【归纳】垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式:∵ CD是直径,CD⊥AB∴,,【思考】问题3:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明理由.预设答案:第1幅图和第3幅图是,第2幅图两条线没有垂直;第4幅图CD没有过圆心【归纳】垂径定理的几个基本图形:【想一想】问题4:如图,AB是⊙O的弦 (不是直径) ,作一条平分AB的直径CD, 交AB于点M.合作探究:(1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说理由.预设答案:(1)这个图形是轴对称图形,它的对称轴是CD所在的直线.证明:如图,连接AO,BO,则AO=BO,由题知AM=BM,又∵ OM=OM∴△AOM≌△BOM(SSS)∴∠AMO=∠BMO=90°∴CD⊥AB. 即CD垂直平分AB. CD所在的直线是⊙O的对称轴.(2)根据图形的对称性可知,,.【归纳】垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.追问:“不是直径”这个条件能去掉吗?预设答案:不能,因为圆的任意两条直径都是互相平分的,但不一定相互垂直,因此“不是直径”这个条件不能省去. 学生思考并反馈. 学生思考并在教师的引导下证明. 学生思考并回答. 学生思考并证明. 学生在老师的引导下总结归纳. 学生思考并回答. 学生思考,并小组合作探究. 学生思考并反馈. 让学生观察与思考,通过圆的对称性证明垂径定理并小结,让学生在理解的基础上学习垂径定理,加强学生对知识的理解与掌握. 让学生总结归纳垂径定理及其推导格式,培养学生认真总结思考的学习习惯,培养学生利用垂径定理解决问题的能力 学习垂径定理的几种基本图形,让学生在变换的图形中也能学会应用所学知识,培养学生灵活应用所学知识的能力. 在学习垂径定理的基础上进一步探究,让学生通过小组合作的方式,不仅培养了学生间的团结合作能力,也更深刻地理解垂径定理的推论及其注意事项,进一步培养学生的推理能力. 环节三应用新知教师提出问题,学生先独立思考,解答.然后再小组交流探讨,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答题过程. 【典型例题】例1 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中,点O是的圆心),其中CD=600 m,点E为上一点,且OE⊥CD,垂足为点F,EF=90 m. 求这段弯路的半径.解:设弯路的半径为R m,则OF=(R-90)m. ∵OE⊥CD ∴CF=CD=×600=300(m) 根据勾股定理,得OC2=CF2+OF2 即R2=3002+(R-90)2 解这个方程,得R=545 所以,这段弯路的半径为545 m.例2 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么?分析:如图,已知⊙O中弦AB∥CD,求证:证明:作直径MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.则,,(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)∴ 学生认真思考并作答. 学生思考并作答. 通过练习,让学生进一步巩固垂径定理的知识,并能利用垂径定理及其推论解决实际问题. 环节四巩固新知教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,最后给出答案,根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1.如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10 cm,OE=6cm,则AB= cm.答案:16解:连接OA,∵ OE⊥AB,∴ AB=2AE=16cm.2.如图,两个圆都以点O为圆心,小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上,你认为AC和BD有什么关系?为什么?答案:AC=BD.证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE.∴ AE-CE=BE-DE.即AC=BD.3.1400多年前,我国隋朝建造了赵州石拱桥(如图),它的桥拱是圆弧形,它的跨度(即弧所对的弦长)为37.4 m,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2m,求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1 m)解:由图可知,AB=37.4m,CD=7.2m.∴ AD=AB=18.7m ,OD=OC-CD=R-7.2OA2=AD2+OD2R2=18.72+(R-7.2)2 解得R≈27.9即主桥拱半径约为27.9 m. 先自主完成练习,然后再集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养学生独立完成练习的习惯. 环节五课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容: 回顾本节课所讲的内容通过小结总结回顾本节课学习内容,帮助学生归纳、巩固所学知识.环节六布置作业教科书第76页习题3.3第1、2、4题 课后自主完成练习通过课后作业,教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况,以便对教学进度和方法进行适当的调整.