《二次函数的图象与性质》第1课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

《二次函数的图象与性质》教学设计第1课时一、教学目标1.会用描点法画出二次函数y=ax²(a＞0)的图象，并能根据图形认识、理解和掌握二次函数y=ax²(a＞0)的性质．2.能作出二次函数y=ax²(a＜0)的图象，并能够比较与二次函数y=x²(a＞0)的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．3.经历画二次函数y=ax²的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．4.培养数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.
二、教学重难点重点：会画二次函数y=ax²的图象，理解和掌握二次函数y=ax²的性质.难点：经历画二次函数y=ax²的图象探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．三、教学用具    多媒体等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一 创设情境【回顾反思】问题1：我们已经初步认识了二次函数，你记得它的一般形式吗？
    预设答案：y = ax² + bx + c（a，b，c 是常数，a ≠ 0）.追问1：下列函数中（x是自变量），哪些是二次函数？
    ①y = 5x﹣4；      ②y = x²﹣6x；③y = 2x³﹣8x² + 3； ④y = 3x²﹣7x + 4；⑤y = x² + 1；      ⑥y = 4x；⑦y = - ；        ⑧y = x².追问2：一次函数的图象是什么形状？反比例函数的图象是什么形状？预设答案：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线.教师活动：带领学生复习二次函数的相关知识，最终引导学生思考：二次函数的图象是什么形状？我们一起来画一画二次函数的图象，就知道答案了，这就是这节课我们要研究的内容.    回顾有关二次函数的知识.     通过问题引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望，同时“温故”有利于“知新”.环节二 探究新知【思考】问题2：回想一下，通常怎样画一个函数的图象？预设答案：通常用描点法画一个函数的图象.追问：用描点法画图象的步骤是什么，每一步需要注意什么？预设答案：列表、描点、连线. 1.列表时自变量的取值要有代表性、不应使函数值太小或太大、尽量使横纵坐标都是整数、点数一般以5到7个为宜.
    2.描点时位置要准确.
    3.连线时用平滑的线依次连接各点.【探究】接下来我们用描点法来画二次函数y = x²的图象：
    1.列表.观察y = x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：注意：自变量的取值要有代表性、不应使函数值太小或太大、尽量横纵坐标都为整数，点数一般以5到7个为宜.
    预设答案：2.描点.在直角坐标系中描点：预设答案：3.连线.用平滑的曲线连接各点，得到函数y=x² 的图象.预设答案： 接下来我们探究二次函数y = x²图象的性质：问题2：y = x²图象是什么形状？预设答案：与抛出物品时，物品走过的轨迹形状类似．由此可见，二次函数y = x²的图象是一条开口向上的抛物线，我们把二次函数y = x²的图象叫做抛物线y = x².
    【交流】你能举出生活中常见的抛物线形状的例子吗？预设答案：拱形桥洞、喷泉的水流的形状、海豚跃出水面时的行动轨迹……【合作探究】问题3：y = x²图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
    预设答案：观察发现，此图象经过原点，而且，因为x轴上的点纵坐标为0，所以令y = 0，发现x = 0.由此可见，二次函数y = x²的图象与x轴有交点，交点坐标为原点，即点（0，0）.
    追问1：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
    预设答案：方法一：观察发现，当x＜0时，随着x值的增大，图象呈下降趋势；当x＞0时，随着x值的增大，图象呈上升趋势.
    方法二：在图象上选几个点，对比可以发现，当x<0时，y随着x的增大而减小.当x>0时，y随着x的增大而增大.
    方法三：通过赋值计算或观察表格，也可以发现当x＜0时，随着x值的增大， y的值减小；当x＞0时，随着x值的增大， y的值也增大.
    追问2：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？为什么？
    预设答案：观察图象直接可以得出：当x=0时，y的值最小，最小值是0.教师活动：教师还可以引导学生从另一个角度思考，y = x²，其中x²为非负数，即x²≥0，当且仅当x=0时，x²=0，从而也可以得出，当x=0时，y的值最小，最小值是0.师补充：这也说明原点（0，0）是此图象的最低点.
    追问3：那么，在此图象中y有最大值吗？预设答案：没有最大值，因为此图象是向上无限伸展的.
    追问4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点.预设答案：因为到y轴的距离相等的点，到x轴的距离也相等，说明这样的两个点关于y轴对称.由此可见，y = x²的图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴.
     对称点有：（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）等等．
    追问5：请找出对称轴与抛物线的交点，有什么特点？预设答案：是原点（0，0），这个点是此抛物线的顶点，也是此图象的最低点.【归纳】二次函数y = x²的图象与性质：【做一做】类比二次函数y = x²图象的画法，画出二次函数y = - x²的图象.
   （1）列表.观察y = - x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表： （2）描点.在直角坐标系中描点：（3）连线.用光滑曲线连接各点，得到函数y=-x² 的图象.预设答案：问题4：类比二次函数y = x² 图象的性质，二次函数y = - x² 的图象有哪些性质？
    预设答案：(1)二次函数y = -x2的图象是一条抛物线.
    (2)图象与x轴交于原点(0，0).
    (3)当x <0时，y随x的增大而增大；当x >0时，y随x的增大而减小.
    (4)当x=0时，y最大值 =0，没有最小值.
    (5)图象关于 y 轴对称.(6)图象的顶点是原点，它是图象的最高点.追问：它们的图象有什么关系呢？预设：①它们的开口大小相等；②它们的开口大小方向相反；③二次函数y = x² 有最小值，二次函数y = - x² 有最大值；④两个二次函数的图象关于x轴对称；……【归纳】二次函数y =ax²的图象及其性质有哪些？    一般地，二次函数 的图象是抛物线. 我们把二次函数 的图象叫做抛物线 .         观察并进行填写.            根据上表中的数据进行猜想，同桌之间进行交流.      作图、计算并进行验证.                认真思考，积极证明.          通过回忆画图象的常用方法，并让学生经历探究画二次函数y = x²的图象的过程，有利于学生对理解掌握二次函数y = x²的图象的画法.              二次函数y = x²的图象的性质是本节课的重点之一，以提问的形式引导学生观察图象探究性质，有利于学生直观的得到结论，利于理解和掌握．                                        以表格的形式及时对二次函数y = x²的图象与性质进行归纳，很直观醒目，能帮助学生梳理清楚知识点有哪些，同时，梳理的过程也能加深理解和记忆.      类比二次函数y = x² 图象的画法，画出二次函数y = - x² 的图象，能培养学生的类推能力，同时也有利于学生掌握对二次函数y =a x² 图象的画法，还能感受二次函数y = x²与二次函数y = - x² 的图象的异同．          以表格的形式及时对二次函数y = x²与二次函数y = - x²的图象与性质进行对比归纳，能更加强化对学生对两个函数图象及性质的理解和掌握，且有利于对比记忆. 环节三应用新知【典型例题】例1：在同一直角坐标系中画出函数y = x² 与y = - x²的图象，并根据图象回答下列问题：（1）y = x²的图象与y = - x²的图象关于哪条直线对称？
（2）这两个图象关于哪个点对称？
（3）由y = x²的图象如何得到y = - x²的图象？    解：画出图象，根据图象可得出结论，也可以通过表格数据验证结论的正确性．（1）y =x²的图象与y = - x²的图象关于直线x轴对称.
（2）这两个图象关于原点（0，0）对称.
（3）由y = - x²的图象沿x轴翻折或绕原点旋转180°得到y = - x²的图象.
    例2：已知点（1，y1）、 （2，y2）在二次函数y = - x²的图象上，则（       ）. A.y1＜y2                                    B. y1＞y2
C. y1＝y2                                                     D. y1，y2大小不确定.解：方法一：代入求值．y1 =-12=1，y2 = -22 =-4，因为-1＞-4，所以y1 ＞ y2 .方法二：根据增减性比较．因为当x＞0时，y随x的增大而减小，所以当x1 =1， x1 =2时， y1 ＞ y2.方法三：观察图象．          明确例题的做法           让学生在探究过程中进一步加深对二次函数y=x²和y=-x²的图象与性质的认识和理解，培养学生的应用意识. 环节四巩固新知  教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.下列图象中，是二次函数y=x²的图象的是（   ）.
解：根据画或者回忆二次函数y=x²的图象与性质得出答案，A选项正确．2.对于抛物线y = x²与y = - x²，下列命题中错误的是（   ）.A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线格子关于y轴对称
D.两条抛物线没有公共点解：画出这两个函数的图象，即可得出答案，是D选项的说法错误，有公共点，公共点是原点，故正确答案是D项.3. 已知点（-1，y1）、（2，y2）在二次函数y = x²的图象上，则y1_____y2 （＞或＜或＝）. 解：因为y1 =（-1）2=1， y2 = 22 =4，1＜4，所以y1 ＜y2，故答案是：＜.     自主完成练习，然后集体交流评价.   通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容： 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.环节六布置作业 教科书第34页习题2.2第1题、第2题. 课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.