《切线长定理》示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

《切线长定理》教学设计一、教学目标1.了解切线长的概念.2.理解切线长定理并熟练掌握它的应用.3.通过操作、观察两条切线长，提高学生的合情推理能力和演绎推理能力.4.培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性.二、教学重难点重点：探究并理解切线长定理.难点：运用切线长定理解决简单的计算和证明问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【复习回顾】教师活动：提出问题，学生思考，并积极回答问题.问题：过圆内一点能做几条圆的切线？过圆上一点呢？预设：小结：过圆内一点所作的直线必与圆相交，无法作出圆的切线；过圆上一点能且只能作出一条圆的切线.那么过圆外一点能做几条圆的切线呢？这节课就让我们一起探究吧！         学生回忆后，回答问题            通过复习旧知，为新知的学习做知识铺垫.  环节二探究新知教师活动：引导学生通过作图引出切线长的定义，再探索证明切线长定理.【思考】如图，点P在圆外，过点P你能画出几条圆的切线呢？预设：过圆外一点能且只能画圆的两条切线【归纳】切线长的定义过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.注意：①切线是直线，不能度量.②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.【议一议】如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？预设：这个图形是轴对称图形，它的对称轴是OP所在的直线.(2)在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.预设：由轴对称的性质可知，PA=PB.提问：连接OA，OB，OP你还能找到哪些相等的量呢？预设：△AOP≌△BOP，OA=OB，∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP.【思考】由此你能得到什么猜想？预设：猜想：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.提问：你能证明你的猜想吗？已知：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点.求证：PA=PB.证明:连接OA，OB.∵PA，PB是⊙O的切线∴∠PAO =∠PBO = 90°在Rt△POA和Rt△POB中∵OA = OB，OP=OP，∴Rt△POA≌Rt△POB.∴PA= PB【归纳】切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．符号语言：∵PA，PB是⊙O的切线∴ PA=PB.【想一想】 如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴交流.预设：由切线长定理有：AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH，∴AE+BE=AH+BF，CG+DG=CF+DH∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH即AB + CD = BC + DA.          动手操作，自主画一画并说一说        学生了解，并区分切线和切线长            观察、组内交流并反馈           自由说一说，得到猜想，并尝试说出已知求证，写出证明过程                     理解并掌握             独立解答，并组内交流反馈              引导学生动手操作、观察、归纳引出过圆外一点有且只能画圆的两条切线，为引出切线长的定义打下基础.       明确切线长的定义，并引导学生区分切线与切线长.       经历用轴对称性来探究切线长定理的过程，引导学生进行组内合作，交流讨论并反馈，培养学生动手操作、观察与思考、总结归纳的能力.     得到猜想之后，引导学生用三角形的全等的方法对切线长定理进行证明，培养学生的逻辑思维能力和语言概括能力.                   明确切线长定理，并学会将文字语言转化为符号语言.         通过对切线长定理的应用，培养学生的应用意识. 环节三应用新知【典型例题】教师活动：学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求 ⊙O的半径.分析：设 ⊙O的半径为r，连接OD，OE，OF，由切线的性质及切线长定理可得四边形OECF为正方形.从而CF=CE=OE=OF=r，所以AF=10-r，BE=24-r，再由切线长定理可得，AD=AF=10-r，BD=BE=24-r，所以AB=AD+BD=34-2r，另一方面由勾股定理可得AB=26，从而由34-2r=26，即可求r.解：设 ⊙O的半径为r，连接OD，OE，OF在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，∵⊙O分别与AB，BC，CA相切于点D，E，F，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BE= BD，AF =AD，CE= CF.又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.∴EC=FC=r∴BE=24- r，AF=10- r，∴AB=BD+AD=BE+AF=34-2r，∴34-2r=26，∴r=4，即⊙O的半径为4.              学生认真思考并作答.                 通过例题，让学生学会运用圆的切线长定理及勾股定理解决问题，培养学生的应用意识，提高学生解决问题的能力.  环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过点P作⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.解：如图，连接OA，PO∵PA，PB是圆的切线∴PA=PB，∠PAO=90°又∵OA=3cm，PO=6cm∴在Rt△AMO中，PA²=PO ²-OA ²∴PB=PA=cm∴这两条切线的切线长为cm.2.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点.C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于D，E两点，若PA = PB =5 cm，求△PDE的周长.解：∵PA，PB，DE是圆的切线∴PA=PB，DC=DA，CE=BE，又∵PA = PB =5 cm∴△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE            =PD+DA+BE+PE                    =PA+PB           =10(cm)3.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9 cm，BC = 14 cm，CA = 13 cm，求AF，BD，CE的长.     解：∵AB，BC，CA是圆的切线∴AF=AE，BF=BD，CD=CE，又∵AB=9 cm，BC = 14 cm，CA = 13 cm，设AF=x，BD=y，CE=z，∴x+y=9，y+z=14，x+z=13∴x=4，y=5，z=9∴AF，BD，CE的长分别为4cm，5cm，9cm.                  自主完成练习，然后集体交流评价.               通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.环节五课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：   回顾本节课所讲的内容通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.环节六布置作业教科书习题3.9  第3、4题   课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.