《直线和圆的位置关系》第2课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

《直线和圆的位置关系》教学设计第2课时一、教学目标1.理解并掌握圆的切线的判定定理，并会运用切线的判定定理解决问题.2.理解三角形内切圆的相关概念及性质，并能灵活应用解决问题.3.探索圆的切线相关知识，并能应用其作出三角形的内切圆.4.从生活中抽象出数学知识，并加以研究，再应用到数学中去，让学生体会到数学的应用价值.二、教学重难点重点：探索圆的切线的判定方法并能运用其解决问题.难点：探索圆的切线的判定方法.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【复习回顾】教师活动：教师出示实际问题情境，引导学生结合已学知识思考.问题1：直线与圆的位置关系有哪些？预设：问题2：切线的性质定理是怎样的呢？预设：定理 圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：如图，∵CD是⊙O的切线，A是切点，OA是⊙O的半径，∴CD⊥OA.【情境导入】转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？    预设：都是沿切线方向飞出的.提问：如何判断一条直线是否为切线呢？        学生思考并回答.              通过复习旧知，为新知的学习做知识铺垫.            通过生活情境引入，激发学生的好奇心与求知欲，让学生感受数学来源于生活，服务于生活. 环节二探究新知【议一议】教师活动：引导学生通过旋转实验探索切线的判定条件，并通过观察、归纳得出切线的判定定理.如图所示，OA是⊙O的半径，直线l经过点A，l与OA的夹角为∠α，当l绕点A旋转时:  (1) 随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？预设：随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大；当∠α=90°时，d达到最大，此时d=r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小.直线l与⊙O的位置关系由相交到相切再到相交.(2) 当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么?预设：当∠α=90°时，d=r；直线l与⊙O相切.【归纳】切线的判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．如图，∵OA是⊙O的半径，直线l经过A点，且l⊥OA，∴ l是⊙O的切线.【试一试】下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？预设：（1）不是，因为没有垂直.(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.小结：在此定理中，“过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.【归纳】判断一条直线是一个圆的切线的方法：1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r.3.判定定理：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【做一做】 经过⊙O上的一点A，你能用三角尺画出⊙O的切线吗？你是怎样画的？能画出几条？与同伴进行交流.预设：画法：连接OA；过点A作OA的垂线l.l即所要画的切线.小结：过圆上任意一点，能且只能画一条圆的切线.【探究】如图，△ABC是一张三角形纸片，你能从它上面剪出一张面积最大的圆形纸片吗？     教师活动：引导学生从实际问题中抽象出数学问题，并通过追问，一步步引导学生思考，最终解决问题.追问1：什么时候圆的面积最大？预设答案：当圆与△ABC的三边都相切时，圆的面积最大.追问2：作圆的关键是什么？预设答案：确定圆心和半径．追问3：圆的面积最大时，圆心应满足什么条件？预设答案：到三角形三边的距离相等．追问4：怎样确定圆心的位置？预设答案：设这个圆为 ⊙I，为使圆的面积最大，则⊙I 应当与△ABC 的三边都相切， 所以点 I 到三角形三边的距离相等.  因此，点I在这个三角形三个内角的角平分线上.  追问5：圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？预设答案：过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径．【操作】已知△ABC（如下图），求作一个圆，使它与△ABC的各边相切 . 作法：　1．作∠ABC、∠ACB的平分线BE和CF，交点为I；2．过点I作ID⊥BC，垂足为D；3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，则⊙I就是所求．追问：按照上述作法，能作出几个符合要求的⊙I ？预设答案：只有一个，理由如下：∵点I是∠ABC，∠ACB 的平分线 BE和CF的交点， ∴点I到△ABC三边的距离相等，∴点I也在∠A的平分线上.  ∵BE和CF有且只有一个交点 I，∴与△ABC三边都相切的圆能且只能作出一个. 【归纳】与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．注意：一个三角形只有一个内切圆.【做一做】如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆.  三角形的内心是否都在三角形的内部？ 预设答案：三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.三角形的内心都在三角形的内部.             动手操作，观察旋转的过程，交流讨论                  与教师一起归纳总结            自主判断，并说一说理由        学生交流讨论，先归纳再与教师一起纠正                    动手画图，交流展示，尝试回答.           认真思考老师提出的几个问题，并回答.                        学生动手画图，然后交流展示，并尝试归纳作图步骤.                   学生组织语言，尝试总结，并熟悉概念.      动手画图，交流展示，并尝试归纳结论.       经历旋转实验探究切线的判定条件的过程，引导学生进行组内合作，交流讨论并反馈，培养学生动手操作、观察与思考、总结归纳的能力.                 明确切线的判定定理，并学会将文字语言转化为符号语言.         巩固切线的判定定理，明确使用此定理的前提是：两个条件必须同时具备，缺一不可.       总结归纳判断一条直线是一个圆的切线的三种方法，培养学生的语言概括能力.           这是切线判定定理的直接应用，一方面巩固切线的判定定理，另一方面培养学生的动手操作能力.         以“问题分析”的形式引导学生探究出“如何在三角形内画一个面积最大的圆”，培养学生从数学的角度解决问题，同时为引出三角形的内切圆作铺垫.             经历动手操作画三角形的内切圆的过程，让学生发现：三角形的内切圆有且仅有一个，培养学生运用已学知识解决问题的能力，同时为后面引出三角形的内切圆、内心的概念作铺垫.            总结归纳，形成概念，培养学生归纳总结、语言组织能力.      通过画锐角、直角、钝角三角形的内心，得出结论：三角形的内心都在三角形的内部. 环节三应用新知【典型例题】教师活动：学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1  如图，△ABC内接于⊙O，CD与AB的延长线相交于点D，且∠BCD=∠BAC.CD是⊙O的切线吗？为什么？ 分析：连接OC，只要证明OC⊥CD，即∠OCD = 90°即可.由∠OCD =∠OCB + ∠BCD，已知∠BCD =∠BAC，故只要证明∠OCB +∠BAC = 90°.延长CO交⊙O于点E，连接EB，由圆周角定理的推论，可得∠BAC =∠BEC.由直径所对的圆周角为90°，可得∠CBE=90°，所以∠BEC+∠OCB=90°，即∠OCB +∠BAC = 90°，即可求证.解：CD是⊙O的切线.理由如下：连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接EB， 则∠CBE = 90°.∴∠BEC+∠BCE= 90°.∵∠BEC =∠BAC，∠BAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCE= 90°.∴EC⊥CD.∴CD是⊙O的切线.例2  如图，在△ABC中，∠A = 68°，点 I 是△ABC的内心，求 ∠BIC的度数. 解：∵ 点I是△ABC的内心， ∴ ∠1∠ABC，∠2∠ACB. ∴ ∠1 + ∠2                              56° . ∴ ∠BIC180°           180°56°124°              学生认真思考并作答.                 通过例1，让学生运用圆的切线的判定定理解决有关的证明问题，提升学生的应用意识.                   通过例2让学生进一步巩固三角形的内切圆的知识，并能利用其知识解决实际问题，提升学生的应用意识.环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点解析：根据三角形的内心的定义可知：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，故选B.2.如图，⊙O的半径OC=5 cm，直线l⊥OC，垂足为点M，且l与⊙O相交于A，B两点，AB= 8 cm.如何沿OC所在的直线平移直线l，使l与⊙O相切？解：连接OA，∵l⊥OC∴∠AMO=90°，AM=AB=4cm∴在Rt△AMO中，AO²=AM ²+OM ²∴OM=3cm∴CM=OC- OM=2cm∴向下平移2 cm或向上平移8 cm.3.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：如图，连接OC.∵ OA＝OB，CA＝CB，   ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径，∴ AB是⊙O的切线.4.如图，以点O为圆心的圆与△ABC的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：点O是△ABC的内心．证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.∵EF=GH=MN，OE=OF=OG=OH=OM=ON，∴△OEF≌△OGH≌△OMN.∴OD=OP=OQ.∴点O是△ABC的内心．                  自主完成练习，然后集体交流评价.               通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯. 环节五课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：   回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.环节六布置作业 教科书习题3.8  第1、2题   课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.