初中数学北师大版九年级下册4 二次函数的应用第1课时教案及反思

这是一份初中数学北师大版九年级下册4 二次函数的应用第1课时教案及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系．
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．
4.掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活．
二、教学重难点
重点：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
难点：掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活．
三、教学用具
多媒体
四、教学过程设计
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
知识回顾
【复习导入】
1.二次函数y=-3x²+6x-5的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，﹣2），当x= 1 时，y有最大值，是 ﹣2．
2.二次函数y=2(x-2)2-1的开口方向、顶点坐标、最值分别是什么？
解： a=2＞0，抛物线开口向上，
顶点坐标为（2，﹣1），
最小值为﹣1．
教师提问，学生集体回答
教师提问旧知，为本节课新知识的学习做铺垫．
环节
典例探究
【探究新知】
例1. 求下列函数的最大值与最小值．
（1）y=x²+3x-2（﹣3≤x ≤ 1）
分析：当 时，y随x增大而减小；
当 时，y随x增大而增大．

解：
∴当 x＝﹣23时，y最小值＝﹣174
当x＝1时，y最大值＝2．
（2）y＝ ﹣15x²－2x＋1（－3≤x≤1）
分析：因为－5＜－3，所以当－3≤x≤1 时，函数图象在对称轴右侧，此时函数的值随着x的增大而减小．
解： y＝﹣15 (x ＋ 5)2＋6
∵当－3≤x≤1时，函数的值随着x的增大而减小．
∴当x＝－3时，y最大值＝265 ，
当x＝1时，y最小值＝﹣65．
例２.如图，在一个直角三角形的内部制作一个矩形ABCD，其中AB和CD分别在两直角边上．
（1）如果设矩形的一边AB= xm,那么AD边的长度如何表示？

分析：(1)矩形的面积＝长×宽
(2)相似三角形的对应边成比例
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB=CD，CD∥AF，
∵ AF=40 m，AE=30m，AB=xm，∴ CD= xm
∵CD∥AF ∴ △EDC ∽△EAF
∴ ，∴ ，．
∴．
（2）设矩形的面积为y m²，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
分析：注意自变量的取值范围
解：矩形铁皮的面积：
y＝AD × AB＝x(30－ 34 x)
＝﹣34 (x-20)2＋300 （0＜x＜40）
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300 m².
议一议：
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎么知道的？
解：设AB＝CD＝x，作OH⊥EF于点H，交AD于点G．
GH＝AB＝ x，OG＝OH－x．
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB，BC＝AD，
∴ △AOD ∽△FOE ∴
在Rt△EOF中,由勾股定理得EF＝50，
∵ ,∴OH=24.
∴ ,∴


∴x＝12时，y有最大值300．
例3 某建筑物的窗户如所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和)为15 m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01 m)?此时，窗户的面积是多少?
分析：（1）窗户的面积＝矩形＋半圆
（2）矩形的一边长＝半圆的直径
解：根据题意，得 ：7x＋4y＋πx＝15，∴
∵ ，且 ，∴ ．
设窗户的面积为Sm²，则
∴当 m 时, , S最大 ≈4.02．
当 时，S最大 ≈4.02m².此时窗户通过光线最多
引导学生自主分析，尝试写出解题过程．
条件不足时，引导学生做辅助线
通过画图总结函数图象的增减性，启发学生深入思考并引出本节重点
根据题目，强调自变量在实际应用中的取值范围．
通过设置新的实际问题，使学生感受到函数与实际生活的联系，同时注意自变量的取值范围
环节三
方法归纳
【归纳小结】
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax²＋bx＋c的最值该如何确定
(1)配方----求二次函数的顶点坐标及对称轴；
(2)画图----画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围；
(3)判断----判断x的取值范围与对称轴的位置关系．根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值，然后根据x的值，求出函数的最值.
教师引导学生回忆前面的解题步骤，试着作出总结
给出规范解题步骤，让学生养成规范答题的习惯，培养学生做题习惯
环节四
巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【随堂练习】
3
1.如图，在△ABC中， ∠B=90 °，AB=12cm，BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向以4cm/s的速度移动（不与点C重合）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小．
分析：利用转换思想，将求不规则的四边形面积转化为求规则的直角三角形面积
解：设运动时间为t秒时，四边形APQC的面积为S．
∴经过3秒四边形APQC的面积最小．
2.小亮父亲用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m².
（1）写出S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
分析：矩形ABCD的边AD不需要用到栅栏
（1）写出S与x之间的函数关系式，并指出x的取值
范围．
分析：矩形ABCD的边AD不需要用到栅栏．
解：∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（80－2x）m
∴S＝x（ 80－2x ）＝﹣2x²＋80x
∵AB＞0, 0＜BC≤50
∴x＞0，0＜ 80－2x ≤50
∴S=﹣2x²＋80x(15≤x＜40)
（2）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大?最大面积是多少？
解：由（1）得S=﹣2x²＋80x
∴S=﹣2(x －20)2 ＋800
∵15≤x＜40
∴当x＝20时，S有大值800，
此时BC＝80－2x＝40．
答：当羊圈的长为40 m，宽为20 m时，羊圈的面积最大，最大面积为800 m².
3.某广告设计公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1200元，设矩形的一边长为xm,面积为Sm²．
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：设矩形的一边长为x m，则另一边长为
m
S＝ x ﹒（6－x ）＝﹣x²＋6x
∵x＞0， 6－x ≥0
∴0＜x≤6
答：S与x之间的关系式为S＝﹣x²＋6x，
自变量x的取值范围为0＜x≤6.
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
分析：广告设计费与广告牌的面积成正比，所以当面 积最大时，费用也最多
解：设广告设计的费用为w
由（1）得S＝﹣x²＋6x
＝﹣ (x －3)2 ＋9
∴当x＝3时，S有最大值为9．
w ＝9×1200＝10800（元）
答：当矩形广告牌的一边长为3m时，获得的设计费最多，最多为10800元.
自主完成练习
.
通过此处考察t的取值范围，理解数学转换思想，同时体会新旧知识的联系
对所学知识及时巩固
培养学生的主动性，使学生在解决问题的过程中体会成功的喜悦.
环节五
课堂小结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容：
回顾本节课所讲的内容
通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六
布置作业
课后完成练习
通过课后作业，教师能了解学生对本节课知识的掌握情况，并及时指导和调整.