《圆周角和圆心角的关系》第2课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

这是一份《圆周角和圆心角的关系》第2课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】，共9页。
《圆周角和圆心角的关系》教学设计第2课时一、教学目标1.掌握直径(或半圆)所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径的性质；2.了解圆的内接四边形的相关定义和性质；3.在探究、解决问题的过程中，培养学生的演绎推理能力；4.在应用推论计算和证明的过程中，培养观察、分析和解决问题的能力.二、教学重难点重点：圆周角定理的推论的应用，圆内接四边形的性质的应用．.难点：在探究、解决问题的过程中，培养学生的演绎推理能力.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【情境导入】教师活动：教师出示问题，引导学生回顾旧知.问题1：还记得圆周角和圆心角之间的关系吗？预设答案：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.∠ACB＝∠AOB.追问：如果A，O，B在一条直线上时，∠ACB等于多少呢？预设答案：∠AOB是一个平角，此时∠ACB等于90°.         学生思考并回答.           学生思考并回答.        通过复习圆周角和圆心角之间的关系，为学习圆周角定理的推论奠定基础.       环节二探究新知【想一想】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗？你能证明吗？预设答案：∠BAC＝ 90°.证明：∵BC为直径，∴∠BOC＝ 180°.∴∠BAC＝∠BOC＝ 90°.【归纳】圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角.符号语言：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°.【想一想】圆周角∠BAC ＝90º，弦BC是直径吗？为什么？预设答案：解：弦BC是直径.理由：连接OB，OC.∵∠BAC＝90°，∴∠BOC＝2∠BAC＝180°.∴B、O、C三点在同一直线上.∴BC是⊙O的一条直径.【归纳】圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径.符号语言：∵∠BAC＝90°，∴BC为直径.【议一议】提出问题1：如下图，A，B，C，D是O上的四点，AC为O的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？预设：∠BAD+∠BCD =180°.预设：证明： ∵AC为O的直径，∴∠B=90°，∠D=90°.∴∠BAD+∠BCD=360°-90°-90°=180°，即∠BAD+ ∠BCD= 180°.根据题意，很容易得到∠B＋∠D＝180°.追问：∠B与∠D呢？预设：根据题意，很容易得到∠B＋∠D＝180°.提出问题2：如下图，点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？预设：仍然成立.证明： ∵ ∠BAD的度数=的度数的一半，∠BCD的度数=的度数的一半，的度数+的度数=360°，∴ ∠BAD+ ∠BCD= 180°.同理可证，∠B＋∠D＝180°.问题：根据分析，你能得到什么结论吗？【归纳】如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形. 这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.几何语言：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴ ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.【想一想】如果延长BC到E，那么∠A与∠DCE 会有怎样的关系呢？教师活动：组织学生讨论、思考、验证，对于遇到困难的学生给予帮助.预设：∵∠DCE＋∠BCD ＝ 180°又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°∴∠A＝∠DCE因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角，我们把∠A叫做∠DCE的内对角.圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.几何语言：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴ ∠A=∠DCE.         学生思考并尝试证明.        学生思考并总结.            学生思考并反馈.              学生总结并反馈.     学生思考，回答问题.                                          归纳总结.             学生思考，回答问题.      通过圆周角定理，推出圆周角定理的一种特殊情形，掌握直径所对的圆周角是直角这一基本事实.             通过已有的学习经验，进一步证明90°角所对的弦是圆的直径,并学会用符号语言去描述.                     引导学生观察圆内接四边形的两组对角与其所对弧之间的关系，让学生发现每组对角所对的弧都恰好组成整个圆，从而根据圆周角定理，得到圆内接四边形对角互补的结论.它是今后证明与圆有关的角互补的重要理论依据.                         归纳总结圆内接四边形及其先关概念和性质，培养学生的总结概括能力和语言表达能力.       圆内接四边外角的内对角是与这外角相邻的内角的对角，因此推论成立的依据是同角的补角相等.这个推论在证明与圆有关的角相等时经常用到.  环节三应用新知教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【典型例题】例1：如图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上一点，∠ABC＝30° ，求AC的长.分析：直径所对的圆周角是直角(90°).解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°在Rt△ABC中，∠ABC＝30°∴AC＝AB＝5 cm 例2：△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE.试判断BE与CE是否相等，并说明理由.【分析】欲证明EB=EC，只要证明∠ECB=∠EBC即可.解：BE=CE，理由如下：∵∠EAM是圆内接四边形AEBC的外角，∴∠EAM=∠EBC.∵∠ECB=∠EAB，∠EAM=∠EAB，∴∠ECB=∠EBC.∴EB=EC.例3：如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质得出∠C的度数即可.解：∵∠BOD与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOD=80°，∴∠A=×80°=40°∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠C=180°-∠A=180°-40°=140°.         学生认真思考并作答.          学生思考并作答.         通过练习，让学生进一步巩固直径所对的圆周角是直角的知识，并能利用其知识解决实际问题，提升学生的应用意识.      环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.【随堂练习】1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.如图，你能判断哪个是半圆形？为什么？答案：(2)是半圆形.理由：90°的圆周角所对的弦是直径.2.如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C=             .答案：70°3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝130°，则∠AOC的度数是           ．答案：100°4.如图，CD为半圆上的两点，且＝，连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.写出图中相等的线段，并说明理由.答案：AB＝AE，BD＝ED＝CD.理由：连接AD，则∠ADB＝90°，∴△ADB和△ADE都是直角三角形.∴∠B与∠BAD互余，∠E与∠EAD互余.∵＝，∴∠BAD＝∠EAD， BD＝CD.∴∠B＝∠E，∴AB＝AE.∴BD＝ED.5.如图，AB为半圆的直径，点C，D在半圆上，且AD=CD，∠B=50°，求∠A，∠C的度数.【分析】连接BD，由AD=CD，∠B=50°，可得∠ABD=∠CBD=25°，且∠ADB=90°,所以∠A=65°.由圆内接四边形的性质，可得∠C=180°-∠A=115°.解：连接BD；∵AB为半圆的直径，∴∠ADB=90°又∵AD=CD，∴，∴∠ABD=∠CBD=×50°=25°∴∠A=90°-25°=65°.又∵∠A+∠C=180°(圆内接四边形对角互补)∴∠C=180°-65°=115°.             自主完成练习，然后集体交流评价.          通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯. 环节五课堂小结思维导图的形式呈现本节课的主要内容：   回顾本节课所讲的内容通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.环节六布置作业教科书第83页习题3.5第1、2、4题  课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.