初中人教版28.2 解直角三角形及其应用课时训练

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1．（2021·吉林长春·九年级期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·吉林长春·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，，，，函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·江苏滨湖·九年级期中）如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（ ）
A．6B．C．D．
4．（2021·广东·深圳实验学校九年级期中）在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC的中点，在BC延长线上取点F使EF＝ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，以下结论中：①tan∠GFB＝；②NM＝NC；③；④S四边形GBEM＝．正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
5．（2021·河北正定·九年级期中）如图，在矩形中，，，点为的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，则的值为______．
6．（2021·福建晋安·九年级期中）如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AB′C′D′，线段CD，B′C′交于点E，若DE＝1，则正方形的边长等于_____．
7．（2021·浙江平阳·九年级期中）小明家里有一种水龙头如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形，线段与圆弧相切于点C，线段与圆弧相切于点B，圆弧的圆心O在上，，把手开关，过点E作于点M，已知，，，，则______．当把手开关打开到HF位置时，点A，H，E三点在同一条直线上，则______．
8．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，，过B作于G，交DC的延长线于H，连接AG交DC的延长线于F，则______，的值为______．
三、解答题
9．（2021·浙江·温州市第十二中学九年级期中）如图， 在中， ， 点以每秒2个单位长度的速度从点出发， 沿方向向终点匀速运动， 同时点Q以每秒1个単位长度的速度从点出发， 沿方向向终点匀速运动， 连结． 设运动的时间为 秒．
（1） 求的长 （用含的代数式表示）．
（2） 当 秒时， 求 的面积．
（3） ①如图 2， 连结， 当为直角三角形时， 求所有满足条件的值．
② 如图 3， 当点关于的对称点 落在直线上时，求 的值．
10．（2021·河北正定·九年级期中）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长为个单位长度，题中所给各点均在格点上．
（1）以图中的点为位似中心，将作位似变换，且放大到原来的倍，得到，画出．
（2）连接，．完成下面填空：
①______，______，______．
②现有一个三边长分别为，，的三角形与相似，则______．
11．（2021·江苏·无锡市东林中学九年级期中）问题提出：
（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为 ．
问题探究：
（2）如图2，在等腰ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求的值．
问题解决：
（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，ADBC，∠ABC＝60°，∠BCD＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛AMN和草坪BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米400元，草坪的造价是每平米200元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？
12．（2021·天津南开·九年级期中）已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝8，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD．
（Ⅰ）如图1，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
（Ⅱ）如图2，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
13．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图①在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） ; ．
（2）如图②，在中，，已知，试求的值．
（3）直线与轴，轴分别交于点，点分别在线段上，且是等腰三角形，设的顶角为，当时，求点的坐标．（请直接写出结果）
14．（2021·江苏东台·九年级期中）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点、除外），．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为 ；
②面积的最大值为 ；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点在直线的左侧，且．
①线段长的最小值为 ；
②若，则线段长为 ．
15．（2021·浙江平阳·九年级期中）如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点O作交于点E，过点A作交的延长线于点O，且．
（1）求证：
（2）若，，求的长．
16．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图，在矩形中，，，，P为BD上一个动点，以P为圆心，PB长半径作，交CE、BD、BC交于F、G、H（任意两点不重合），
（1）半径BP的长度范围为______；
（2）如图1，连接BF并延长交CD于K，若，求BP；
（3）如图2，连接GH，将劣弧HG沿着HG翻折交BD于点M，试探究是否为定值，若是求出该值，若不是，请说明理由．
17．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级期中）已知，内接于⊙O，于点G
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点O作于N，过点作于H，交⊙O于点F，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，直线交于点P，若，，，求线段的长．
18．（2021·重庆第二外国语学校九年级月考）如图1，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝8，点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从C出发，沿C→D→A方向，以每秒2个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，过点N作NQ⊥DC，交AC于点Q．
（1）当t＝2时，求线段NQ的长；
（2）设△AMQ的面积为S，直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；
（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使得△AMQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．（2021·北京海淀·九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点与点为－关联点．
（1）在点，中，与为45°－关联点的是________；
（2）如图2，，， ．若线段上存在点，使点与点为45°－关联点，结合图象，求的取值范围；
（3）已知点，．若线段上至少存在一对30°－关联点，直接写出的取值范围．
20．（2021·全国·九年级专题练习）某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为（i＝1：是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10 m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．
（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；
（2）求DE的长；
（3）若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长（结果精确到．0.01 m）．
21．（2021·上海市罗星中学九年级期中）已知△ABC为等边三角形，AB＝6，P是AB上的一个动点，（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC相交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在△ABC内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上．设BP的长为x．
（1）正方形DEFG的边长为y，写出y关于x的函数解析式及定义域；
（2）当BP＝2时，求CF的长；
（3）△GDP是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．
22．（2021·江苏省盐城中学新洋分校九年级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，点O、P分别在AB、AD边上运动，以点O为圆心、OA为半径作⊙O，连接BP，把⊙O沿着BP翻折得⊙Q．
（1）若⊙O的半径r＝1．
①DQ的最小值为 ．
②当DC切⊙Q于点E时，求CE长．
（2）当⊙Q在运动的过程中与BC边始终没有公共点时，请直接写出⊙O的半径r的值或取值范围．
23．（2021·河南省实验中学九年级期中）问题发现
如图1，在和中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE．
（1）填空：
①的值为______；
②的度数为______．
（2）类比探究
如图2，在和中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE．请求出的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在和中，，，点D是线段AB上一动点，连接BE，M为DE中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出M点经过的路径长．
24．（2021·上海市万里城实验学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、点B的坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），点C在y轴的正半轴上，且CO＝4OA，CM是△ABC的中线．
（1）求直线CM的表达式；
（2）点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求点Q的坐标．
25．（2021·上海虹口·九年级月考）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，CD∥AB，AB＝6，AC＝8．
（1）如图1，CD＝4，联结AD，交边BC于点P，求∠APB的正切值；
（2）如图2，CD＝10，联结BD，BQ⊥BD交AC于点Q，求CQ的长；
（3）如图3，CD＝10，E为BC上一点，F为AC延长线上一点，联结ED、EF，且．设BE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式并写出定义域．
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：
（1）这样的点唯一吗？
（2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？