2023年陕西省安康市中考数学一模试卷（含解析）

2023年陕西省安康市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线、相交于点，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组
的解为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知在中，：：，且，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知二次函数的图象如图所示，其顶点为，有下列结论：；函数最大值为；；其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）

7.  五角星是我们生活中常见的一种图形，如图，，为线段的黄金分割点，，则五边形的周长为        ．

8.  如图，在菱形中，，，与交于点，点在上且，点在上且，为对角线上一点，则的最大值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

9.  化简：

四、解答题（本大题共10小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

10.  本小题分
计算：
；
．

11.  本小题分
解不等式组：．

12.  本小题分
如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，的延长线与相交于点，连接、，求证：．

13.  本小题分
如图，在等腰直角中，，，于，于，且，，求的长．

14.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，在图中作出关于轴对称的，并写出点、的对应点、的坐标．

15.  本小题分
实现民族伟大复兴是近代中华民族最伟大的梦想，需要每位少年团结奋斗，同心共圆中国梦在一个不透明的口袋里装有五个小球，分别标注汉字“共”、“圆”、“中”、“国”、“梦”，除汉字不同之外，小球没有任何区别，从中随机取出一个小球．
取出的小球上恰好标有“国”字的概率是多少？
取出的小球不放回，再从中任取一球请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”的概率．

16.  本小题分
某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度如图，古建筑的高度为，在地面上取，两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内从标杆后退到处即，从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处即，从处观察点，、、三点也成一线已知、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该古建筑的高度．

17.  本小题分
甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时，两车距离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
货车的速度为______；段的函数表达式为______．
轿车出发后，用了多长时间追上货车？
当货车行驶多长时间，两车相距千米？

18.  本小题分
某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”简称“劳动时间”情况，在本校随机调查了名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：

根据上述信息，解答下列问题：
这名学生的“劳动时间”的中位数落在______组；
求这名学生的平均“劳动时间”；
若该校有名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的人数．

19.  本小题分
如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的倍，我们称这样的三角形为倍角三角形，并称这两个角的公共边为底边．

例如：若中，，则为以边为底边的倍角三角形．
已知为倍角三角形，且．
如图，若为的角平分线，则图中相等的线段有        ，图中相似三角形有        ；
如图，若的中垂线交边于点，连接，则图中等腰三角形有        ．
问题解决
如图，现有一块梯形板材，，，，，工人师傅想用这块板材裁出一个型部件，使得点在梯形的边上，且为以为底边的倍角三角形工人师傅在这块板材上的作法如下：
作的中垂线交于点；
在上方的直线上截取，连接并延长，交于点；
连接，得．
请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的想法．
是否存在其它满足要求的？若存在，请画出图形并求出的长；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数为．
故选：．
直接根据倒数的定义即可得出结论．
本题考查了倒数的定义，掌握乘积是的两数互为倒数是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据垂线定义可求得，进而求得，再根据对顶角相等求解即可．
本题考查垂线定义、对顶角相等，熟练掌握垂线定义和对顶角相等是解答的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用整式的混合运算法则分别计算，进而得出答案．
本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：交于点，
方程组的是．
故选：．
根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图象的交点可得答案．
此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
又：：，
，
，
，
故选：．
根据圆心角与圆周角的关系以及等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查圆周角，掌握圆周角与圆心角的关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，正确．
抛物线开口向下，顶点为，
函数最大值为，正确．
抛物线与轴有两个交点，
，错误．
，
，
，错误．
故选：．
由抛物线开口方向，与轴交点位置可判断，由抛物线开口方向及顶点坐标可判断，由抛物线与轴交点个数可判断，由抛物线对称轴为直线可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：，为线段的黄金分割点，
，
，
，
五边形的周长．
根据黄金分割比即可求出、，从而求出，然后求出，即可得出结论．
此题考查的是黄金分割点的应用，掌握黄金分割比是解决此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，作以为对称轴作的对称点，连接，，
根据轴对称性质可知，，
，
当，，三点共线时，取“”，
在菱形中，，，
，
为中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
即的最大值为，
故答案为：．
作以为对称轴作的对称点，连接，，依据，可得当，，三点共线时，取“”，再根据为等边三角形，即可得到．
本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

9.【答案】解：原式

． 

【解析】先算括号内的减法，再算乘法即可．
本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则是解此题的关键．
 

10.【答案】解：

；


． 

【解析】根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；
根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．
本题主要考查了二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是关键．
 

11.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】解：由旋转得，，
是等边三角形，
，
，
，
． 

【解析】根据旋转的性质得到，，证得是等边三角形，得到，即可证得结论．
此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

13.【答案】解：，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，，可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质．证明三角形全等是解题的关键．
 

14.【答案】解：如图，即为所求，点，．
 

【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

15.【答案】解：取出的小球上恰好标有“国”字的概率是；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”的有种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“中国”或“圆梦”的概率为． 

【解析】根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．掌握概率公式是解题的关键．
 

16.【答案】解：设，则，
，，
，
∽，
，即，
同理可证∽，
，即，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
，
该古建筑的高度为． 

【解析】设，则，证明∽，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的应用，证明∽，得到，同理得到，进而建立方程是解题的关键．
 

17.【答案】千米小时   

【解析】解：根据图象可得：货车的行驶速度为：千米小时，
轿车比货车晚出发小时，
点的坐标为：，
设段的函数表达式为，
把，代入得：，
解得：，
段的函数表达式为．
故答案为：千米小时；．
轿车在段的速度是：千米小时，
设轿车出发小时追上货车，
轿车比货车晚出发小时，
点对应的数据为：，
，
解得：，
轿车出发小时追上货车．
设在轿车行进过程，轿车行驶小时，两车相距千米，
两车相遇之前，得，
解得，
两车相遇之后，得，
解得，
答：在轿车行进过程中，轿车行驶小时或小时，两车相距千米．
根据图象可知货车行驶时间与路程，根据“速度路程速度”即可求货车的行驶速度；根据图象可知轿车比货车晚出发小时，得出点的坐标为，根据待定系数法求出函数解析式即可；
设轿车出发小时追上货车，根据相遇时两车距离甲地的路程相等，列方程，解方程即可；
设在轿车行进过程，轿车行驶小时，两车相距千米，分两种情况：两车相遇之前，是两车相遇之后，分别列方程求解即可．
本题考查了变量之间的关系，求一次函数解析式，一元一次方程的应用，根据图象求出两车的速度以及根据等量关系建立一元一次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：把名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在组，故这名学生的“劳动时间”的中位数落在组，
故答案为：；
分钟，
答：这名学生的平均“劳动时间”为分钟；
人，
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于分钟的人数为人．
利用中位数的定义解答即可；
根据平均数的定义解答即可；
用样本估计总体即可．
本题考查了频数率分布表．从频数率分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目部分数目相应百分比．
 

19.【答案】  和  ， 

【解析】解：为的角平分线，，
，
，
图中相等的线段有，
，，
∽．
故答案为：，和；
，，
，
是等腰三角形．
的中垂线交边于点，
，
是等腰三角形，
故答案为：，；
符合要求，延长交于，则四边形为矩形．

，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
作于，
，
，
，
，，
平分，
，
在的垂直平分线上，
，
，
，
符合要求；
存在，．

I.若在上时，连接，如图所示，
，，
取的中垂线交与，作于，
四边形为矩形，
，，，，
，
设，则，
，
由勾股定理，
，
，
，
在上取点，使，连接，
，
，
，
，
，，
，
，
，
在上所有点都满足，
不存在；
若在上时，如图所示，

，
，
，
在上不存在其它满足要求的；
Ⅲ若在上时，如图所示，作的垂直平分线交于点、交于点，作的平分线交于点，连结并延长交于点，此时有，
是以为底边的倍角三角形，
作于点，连结、，
平分，，，
，
设，则，，
，
，
，
在中，，
，
，，
∽，
，
，，

，
．

根据阅读材料给出的定义结合已经学过的三角形的知识点，推到即可得出结论；
根据已知条件利用相似三角形即可得出中的作法是符合条件的；第小题根据已知条件画出图形，再根据图形得出结论．
本题考查了角的倍数关系，角平分线的性质，相似三角形的判定等相关知识，明确题意根据已知条件画出图形是解题的关键．