2023年吉林省长春市宽城区中考数学一检试卷（含解析）

2023年吉林省长春市宽城区中考数学一检试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的绝对值为(    )A.  B.  C.  D. 2.  国家统计局网站公布我国年年末总人口约人，将这个数用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列立体图形中，主视图是圆的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  某厂家去年八月份的口罩产量是万个，十月份的口罩产量是万个若设该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率为，则下面所列方程正确的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上若线段，则线段的长是(    )
A.  B.  C.  D. 6.  如图，四边形是的内接四边形，连结若，则的大小为(    )A.
B.
C.
D. 7.  如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上则的值是(    )A.
B.
C.
D. 8.  如图，在平面直角坐标系中，点，都在二次函数的图象上若，则的取值范围是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.  分解因式：______．10.  不等式组的解集为        ．11.  若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是        ．12.  如图，为估算某鱼塘的宽的长度，在陆地上取点、、，使、、在同一条直线上，、、在同一条直线上，且，若测得的长为米，则的长为        米
 13.  如图，正六边形内接于若的周长为，则该正六边形的边长是        ．
 14.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，抛物线与轴交于、两点，其中若，则的值为        ．
 三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
解方程：．16.  本小题分
年第届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为、、，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同将这三张卡片背面向上洗匀，小亮从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张请用画树状图或列表的方法，求小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的概率．
17.  本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
在图中的线段上找一点，线段上找一点，连结，使是的中位线，并直接写出线段的长．
在图中，以点为位似中心，作的位似，使与的面积比为：．
 18.  本小题分
年是中国共产主义青年团建团周年，某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从这两个年级各随机抽取了名学生的成绩单位：分进行调查分析下面给出了部分信息：
七年级学生的成绩整理如下：
      

八年级学生成绩的频数分布直方图如图．
数据分成四组：，，，，其中成绩在的数据如下：
 
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级平均数中位数众数七年级八年级根据所给信息，解答下列问题：
       ；        ．
根据统计数据，你认为七、八两个年级哪个年级的成绩更好些，请说明理由至少从一个角度进行说明
成绩达到分及以上为优秀，估计参加本次活动的七年级和八年级学生中，此次测试成绩达到优秀的总人数．
19.  本小题分
某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度如图，测量仪在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为点、、在同一条水平直线上已知测量仪高度米，米，求树的高度结果精确到米
【参考数据：，，】
20.  本小题分
如图，四边形是的内接四边形，是的直径．
若，交的延长线于点，判断所在直线与的位置关系，并说明理由．
连结，若的半径为，，求所对的扇形的面积结果保留
21.  本小题分
某抛物线形拱桥的截面图如图所示某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽为米，上的点到点的距离米，点到拱桥顶面的垂直距离米他们以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
求该抛物线所对应的函数表达式．
求拱桥顶面离水面的最大高度．
现有一游船截面为矩形宽度为米，船顶到水面的高度为米要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于米，请通过计算说明该游船是否能安全通过．
22.  本小题分
【问题原型】如图，与均为等腰直角三角形，，连结、求证：．
【问题延伸】如图，∽，，连结、试问与的大小有怎样的关系？请说明理由．
【问题应用】如图，∽，，，点在边上，且，连结，则线段的长为        ．
 23.  本小题分
如图，在矩形中，，点从点出发以每秒个单位的速度沿运动，到点停止在点运动的同时，点从点出发以每秒个单位的速度沿运动当点回到点停止时，点也随之停止运动设点的运动时间为秒．
用含的代数式表示线段的长．
以为边作矩形，使点与点在所在直线的两侧，且．
当点在边上，且点落在上时，求的值．
当点在矩形内部时，直接写出的取值范围．
点在边上，且，在线段上只存在一点，使，直接写出的取值范围．
24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线过点，其对称轴为直线，点是抛物线上第一象限的点，设点的横坐标为．
求这条抛物线所对应的函数表达式．
当点到轴的距离为时，求的值．
将抛物线上、两点之间含、两点的图象记为，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式．
过点作轴交抛物线于另一点设点到轴的距离为，当时，直接写出的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是根据绝对值的概念可直接得到答案．
【解答】
解：的绝对值为，
故选B．  2.【答案】 【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．
 3.【答案】 【解析】解：三棱柱、圆柱的主视图都是长方形，
圆锥的主视图是三角形，
球的主视图是圆，
故选：．
分别得出三棱柱，圆柱，圆锥，球的主视图即可．
本题考查三棱柱，圆柱，圆锥，球的主视图，明确视图的意义是正确判断的前提．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用十月份的口罩产量八月份的口罩产量该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：五条平行横线的距离都相等，
，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
 6.【答案】 【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
由等腰三角形的性质得，由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可求出的度数．
本题考查圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的性质．
 7.【答案】 【解析】解：延长至格点，连接，如图，
由题意得：
，，，
，
，
．
故选：．
延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形，，在中，利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，延长至格点，连接，利用勾股定理及其逆定理得到为直角三角形是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：点，都在二次函数的图象上，
，
，
，
，
，
即，
，
故选：．
根据列出关于的不等式即可解得答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式．本题属于基础题，难度不大．
 9.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：，
由解得：，
由解得：，
一元一次不等式组的解集为：，
故答案为：．
根据一元一次不等式组的解法即可求出答案．
本题考查一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型．
 11.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的值即可．
此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
首先根据两边对应成比例且夹角相等可得∽，再根据对应边成比例可得答案．
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：连接，，
正六边形内接于，的周长为，
的半径为，
，
是等边三角形，
，
正六边形的边长为，
故答案为：．
由正六边形内接于，由的直径得出的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线的图象可由的图象向右平移两个单位得到，
，
，
由平移得，，
，，
，
，
点，关于直线对称，
，
点在抛物线  上，
，
，
故答案为：．
先判断出抛物线的图象可由的图象向右平移两个单位得到，借助，求出点的坐标，即可求出答案．
此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与轴交点的求法，表示出点的坐标是解本题的关键．
 15.【答案】解：，
，
则，
解得，
，． 【解析】本题考查了解一元二次方程配方法．
先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
 16.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上都是莲莲的有种结果，
所以两次抽取的卡片上都是莲莲的概率为． 【解析】画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取的卡片上都是莲莲的有种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 17.【答案】解：如图中，即为所求，；
如图中，即为所求．
 【解析】利用网格特征取的中点，的中点，连接即可；
取格点、、、，连接、交于点，于点，连接，则三角形即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，掌握三角形中位线的性质，图形位似的性质是解题的关键．
 18.【答案】   【解析】解：根据七年级的成绩可知，分出现次数最多，故；
由题意知，八年级学生的成绩中第、第位分别是分，分，
，
故答案为：；；
八年级的成绩更好些，理由：
八年级的成绩的平均数和众数高于七年级；
由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为，八年级成绩优秀的人数占比为，
估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为人．
答：估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数约为人．
根据众数和中位数的定义可得出答案．
根据平均数，中位数以及众数的定义解答即可．
用总人数乘抽取的名学生的成绩到达优秀所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、众数、中位数、样本估计总体，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键．
 19.【答案】解：连接交树于点．
由题意知；，，，
又米，
四边形、是矩形．
米．，
，．
在中，
，
米．
在中，
，
米．
，
，
米．
答：树的高度为米． 【解析】连接交树于点，在中利用等腰直角三角形的性质用表示出，在中，利用直角三角形的边角间关系用表示出，根据与的和是得关于的一次方程，求解即可．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及矩形的性质与判定是解决本题的关键．
 20.【答案】解：所在直线是的切线，理由如下：
连接，如图：

，
，
，
，
，
，
是的半径，
所在直线是的切线；
如图：

，
，
所对的扇形的面积为． 【解析】连接，由，得，即知，而，故，可得所在直线是的切线；
由，得，根据扇形面积公式可得答案．
本题考查圆的切线判定和与圆有关的计算，解题的关键是掌握圆的切线判定定理和扇形面积公式．
 21.【答案】解：根据题意可得点，点，点，
抛物线图象过原点，
可设抛物线的解析式为，
把和代入解析式可得：
，解得：，
抛物线所对应的表达式为：；
，
顶点坐标为，
，图象开口向下，
当时，有最大值，
拱桥顶面离水面的最大高度为米；
由可得对称轴，
游船宽度为米，且要求游船从拱桥下面正中间通过，
游船边沿离对称轴的距离为米，
游船靠近原点的一边离原点的距离为米，
当时，，
米米，
游船能安全通过． 【解析】根据题意可得出啊点、、的坐标，根据图像过原点即可设出抛物线的解析式，再把点和点的坐标代入解析式即可求出、的值，即可求出抛物线解析式；
把所得的解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标，根据图象开口向下即可得出在顶点处取最大值，即可求出拱桥顶面离水面的最大高度；
根据题中条件即可求出游船靠近原点的一边离原点的距离为米，求出当时，对应的值，然后减去船高与进行比较即可求出．
本题考查的是二次函数的应用，解题关键：一是求出解析式，二是配成顶点式，三是找出游船一边离原点的距离．
 22.【答案】 【解析】【问题原型】
证明：与均为等腰直角三角形，，
，，，即，
在和中，
，
≌，
；
【问题延伸】

解：，理由如下：
∽，，
，，即，
∽，
；
【问题应用】

解：∽，，
，，即，
∽，
，，
，，，
，即，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【问题原型】证明≌即可得；
【问题延伸】由∽，，可证明∽，故；
【问题应用】证明∽，可得，即，而，，由，可得，故DE．
本题考查相似三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 23.【答案】解：点从点出发以每秒个单位的速度运动，
当点与点重合时，则，解得；
当点返回到点时，则，解得，
当时，，
当时，．
点在边上，且点落在上，如图，
四边形和四边形都是矩形，，，
，
，
∽，
，，
，
，
解得．
当时，如图，由得，当点在矩形内部时，，
当时，如图，此时点不在矩形内部，
当时，如图，点在上，则，解得；
如图，点与点重合，则，，
作于点，则，
，
∽，
，
，
点恰好落在边上，
当点在矩形内部时，，
综上所述，当点在矩形内部时，或．
以为直径作，则点在外，
当时，如图，点在内或点与点重合，则线段上只存在一点，使，
，解得；
如图，与相切于，此时线段上只存在一点，使，
连接，则，，
，，，
，
，
，
，
，
解得，
当时，如图，与没有公共点，此时线段上不存在一点，使；
当时，如图，点在内或点与点重合，则线段上只存在一点，使，
，解得，
综上所述，的取值范围是或或． 【解析】先确定的取值范围，当点与点重合时，解得；当点返回到点时，，则当时，；当时，；
点在边上，且点落在上，可证明∽，则，于是得，所以；
分三种情况讨论，一是时，当点在矩形内部时，；二是时，点不在矩形内部；三是时，点在上，则，解得；点与点重合，则，，作于点，可证明∽，得，则，可知点恰好落在边上，于是可知当点在矩形内部时，；
以为直径作，则点在外，再分三种情况讨论，一是时，由点在内或点与点重合，得，则；当与相切于，连接，则，，根据勾股定理得，由，得，则；二是时，与没有公共点，此时不存在符合条件的点；三是时，由点在内或点与点重合，得，则．
此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、直线与圆的位置关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 24.【答案】解：抛物线过点，其对称轴为直线，
，
解得：，
这条抛物线所对应的函数表达式为；
点是抛物线上第一象限的点，设点的横坐标为，
，，，
点到轴的距离为，
，
解得：，
的值为或．
，
抛物线的顶点为，
令，则，
解得：，
抛物线与轴的正半轴交于点．
当时，此时点为最高点，点为最低点，
最高点与最低点的纵坐标之差为；
当时，此时抛物线的顶点为最高点，点为最低点，
最高点与最低点的纵坐标之差为；
当时，此时抛物线的顶点为最高点，点为最低点，
最高点与最低点的纵坐标之差为．
综上，与之间的函数关系式；
点是抛物线上第一象限的点，点的横坐标为，
．
轴交抛物线于另一点，
，关于对称轴对称，
点的横坐标为．
当点在第一象限时，此时，点到轴的距离为为，
，
，
．
当点在第二象限时，此时，点到轴的距离为为，
，
，
．
，
．
综上，当时，的取值范围为或． 【解析】利用待定系数法解答即可；
利用抛物线的解析式得到，依据已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论；
利用已知条件求得的取值范围，利用分类讨论的思想方法分别找出函数图象的最高的与最低点，通过计算得到与之间的函数关系式；
利用已知条件可得，关于对称轴对称，利用抛物线的对称轴和点的横坐标求得点的横坐标，利用分类讨论的思想方法分别求得值，进而得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，函数的极值，点到坐标轴的距离，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．