第14讲《运动型问题（一）》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第14讲“运动型问题（一）”.（第一课时）
［教学目标］
知识技能
1.能够对点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置关系等进行观察研究，涉及到等腰三角形、相似三角形、三角函数、方程及函数的知识.
2.发展学生探究性学习、数形结合的能力，培养学生分类讨论及建模等数学思想.
3.提高学生对数学知识的综合应用能力.
数学思考
进一步发展学生探究性学习、数形结合的能力，培养学生数学建模思想、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想等.
问题解决
经历求根公式的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力.
情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.
[教学重点、难点]
重点：化动为静.
难点：确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系.
[教学准备]
动画多媒体语言课件
第一课时
教学路径
方案说明
师：世界是运动的，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、角等）或整个几何图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一，体现了数中“变”与“不变”及由简单到复杂，由特殊到一般的辩证思想。
知识佳构
运动型问题
函数中的动点问题
几何图形中的动点问题
图形运动问题
点运动
线运动
面运动
动中觅静
动静互化
以动制动
基本方法


师：运动性问题在中考中的常考点有：函数中的动点问题，几何图形中的动点问题，图形运动型问题等.近几年来动态问题成为了中考命题的热点，常常以压轴题的形式出现.解决运动型问题常用的数学思想是数学建模思想、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想等.
佳题探究
探究类型之一 函数与几何动点的联系
例1 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC的长为常数，点P从起点C出发，沿CB向终点B运动，设点P所走过的路程CP的长为，△APB的面积为，则下列图象能大致反映与之间的函数关系的是（ ）


解析：小手画图△APB与△APC涂不同色
解答本题的关键是通过，找出与之间的函数关系.
下一步
解：设BC的长度为常数k,则.下一步
那么此函数为一次函数，因为x的系数小于0，所以应是减函数.
答案： C.
师：根据题意可以看出哪些信息？
生：P在C点时，△APB的面积最大，然后逐渐减小，
当P在B点时，面积为0.
师：好,观察的非常仔细，由此就可以判断选项应该在A与C之间，然后我们可以进一步得出这是一个什么函数?
生:一次函数，应该选C.
师小结：本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．
探究类型之二 函数表示线段长度
例2 如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是 ．
F
E
A
B
C
D
P
G
H
K
O1
O2
师：当P移动到C点以及D点时，得出G点移动路线是直线，
利用正方形的性质可知线段O1O2中点G的运动路径的长就是O2O″的长，
解析： 画下图
当P 从C点移动到D点时，得出G点移动的路线是直线GG′，
根据正方形的性质可知GG′=O2O″的长，
下一步 △CBO2 △DB O″涂色
∵线段AB=10，AC=BD=2，BP=8.
∴O2B=4，BO″=
∴O2O″=4-=3．
例 3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是射线CA上的一个动点（不与A、C重合），DE⊥直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FH⊥直线AB于H点，连接EF，设AD=x．
分步出示
师：学生小组讨论并尝试解决，师巡视并加以指导，提示.
师：第①问中当点D在AC上时，可以怎样求FH的长呢？
生1：在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，依题意可证△ADE∽△ABC，利用相似比求DE，由中位线定理求FH；
生2：运用三角函数得出，
再根据F是BD的中点，得出.
师：第②问中，点D在射线AC上，会出现什么情形？该如何解决？
生：当点D在AC边上时，直接利用三角形面积公式，求S与x的函数关系式，当点D在CA延长线上时，由△ADE∽△ABC求DE，AE，再求FH，BE，求S与x的函数关系式；
师：在第（2）题中，关键在于找到使DP+FP的值最小时的D与P的位置，然后再加以解决.
师提示：猜想：DO=3PO．作点F关于AB的对称点F′，连接FF′则FF′⊥AB于H，连接DF′交EF于O，交AB于P，此时DP+FP的值最小．连接EF′，可判断四边形DEF′F为平行四边形，DO=OF′，由DE=2HF′，DE∥HF′，可得DP=2PF′，即DO+OP=2（DO-OP），解得DO=3PO．
（1）①若点D在 AC边上，求FH的长（用含x的式子表示）；
解析： 小手画AC AB BC
在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，
下一步 △ADE∽△ABC涂色
依题意可证△ADE∽△ABC，利用相似比求DE，
下一步 小手描 DE FH
由中位线定理求FH；
答案：
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10，
∵∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，
∴，∴，∴.
∵∠DEB=90°，F是BD的中点，∴EF=BF.
∵FH⊥AB∴EH=BH∴，
（1） ②若点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求S与x的函数关系
式，并写出x的取值范围．题目出只出图①

图① 图②
答案： 图①△BEF涂色
如图①，当点D在AC边上时，
∵AB=10，AD=x, , ，
∴,
∴，
∴，（0＜x＜8），

下一步 画图② △ADE∽△ABC涂色
如图②，当点D在CA延长线上时，
由△ADE∽△ABC,可得：, ，
∴
∴.
∴.（x＞0），
（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP+FP 的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明．
答案：猜想：DO=3PO.
下一步 画图作点F关于AB的对称点F′，连接FF′则FF′⊥AB于H，连接DF′交EF于O，交AB于P，连接EF′
证明：作点F关于AB的对称点F′，连接FF′则FF′⊥AB于H，
连接DF′交EF于O，交AB于P，此时DP+FP的值最小时．连接EF′． 下一步 四边形DEF′F涂色
∵，FH=F′H，
∴FF′=DE又∵FF′∥DE，
∴四边形DEF′F是平行四边形，
下一步 △DPE∽△F′PH，涂色
在△DPE与△F′PH中，
∵∠DEP=∠F′HP=90°∠DPE=∠F′PH，
∴△DPE∽△F′PH，
∴，∴DP=2PF′，
∴DO+PO=2（DO-PO）化简得：DO=3PO.
师：证明DO=3PO的另外两个方法，
方法二：连接OH如图：
∵OE=OF，FH=F′H，
∴OH∥EF，且OH=EF，
∴△OPH∽△F′PE，
∴，∴DO=OF′=3PO，
方法三：取PB的中点M，连接FM如图：
∵FH=F′H，，
∴FF′=DE，又∵FF′∥DE，
∴四边形DEF′F是平行四边形，
∴OE=OF，
∵DF=BF，PM=BM，
∴FM∥DP，∴，，
∴DP=4PO，
∴DO=3PO．