第15讲《运动型问题（二）》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第十五讲“运动型问题（二）”.（第一课时）
［教学目标］
知识与技能
1.动静互化、动中取静；
2.了解动点问题解决关键；
3.熟练掌握图形运动过程中所构成的特殊图形.
数学思考
通过点、线、面运动过程中所构成的特殊图形后寻找相应图形特性，并利用必要的辅助线建立证明关系或方程，使学生加深了解数学学习中几何证明要领及方程思想.
问题解决
1.培养学生化动为静能力；
2.特殊四边形性质应用；
3.培养学生对知识综合运用能力.
情感态度
通过动点运动变化的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用课件中动画，使学生更加直观的理解几何图形的旋转、平移等变化，激发学生学习数学的兴趣.
[教学重点、难点]
教学重点：化动为静.
教学难点：化动为静，特殊几何图形性质应用.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第一课时
教学路径
教学说明
课堂导入

师：通过上堂课的学习，我们对运动型问题有了一个比较深入的了解，那今天我们继续进一步的研究运动型在其他方面的问题.现在同学们把教材翻到142页第十五讲，请同学们看下例1.
佳题探究
探究类型之一 判断点的存在性问题
例1.如图，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切与点O.若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5

解析：如后图标记1.将⊙P沿x轴向左移动；2.运动到P1停止一下，标记“P1”保留此时的⊙P（不写数字-1）；3.新的⊙P继续运动到P2停止，标记“P2”保留此时的⊙P（不写数字-5），(先动画后在出示解析的文字)
如图所示，⊙P与直线AB相切时，圆心 P1与圆心P2之间的横坐标的整数点为所求(不包含P1与P2的横坐标值) 下一步
如后图标记A与B处的“-3”与“”及“30°角”
直线，易求OB=，OA=3，∠BAO=30°，下一步
如后图标记1.CP1、DP2,2.垂直符号；3.标记“-1”、“-5”；4.涂色△ACP1与△A DP2.
由∠BAO=30°，CP1=DP2=1，易求P1与P2横坐标为-1与-5，
进而可知圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有-2、-3、-4三个.
答案：直接填“B”
小贴士： = 1 \* GB3 ①直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，其中要注意相交不包含相切； = 2 \* GB3 ②注意一次函数中自变量x的系数k等于时，该直线与x轴夹角为30°；系数k等于±1时，该直线与x轴夹角为45°；系数k等于时，该直线与x轴夹角为60°；
师：同学们都有了答案吧？
生：三个整数点（五个整数点）
师：请一位学生回答（如果有答五个点的学生），那回答三个整数点的同学，请你谈谈你的理由.
生：……
师：（该题目中学生回答5个整数点的原因，教师需要说明，另外对于“小贴士”中的 = 2 \* GB3 ②也需要简单说明下）
师：对于两个动点运动情况，会稍显复杂，那遇到了双动点问题，我们应该如何思考，下面请一位同学为大家读一下例3
例2 如图，点P是∠AOB外的一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，则线段QR的长为（ ）cm
A．4.5B．5.5C．6.5D．7

答案：直接填“A”
如后图标记1.PM、MQ涂红线，并标记2.5cm；2. PN、NR涂紫线，并标记3cm；
3.QN涂粉线，并标记1.5cm；
探究类型之二 双动点问题
分三页出示
第一页
例3 如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO；

解析：点P沿BA运动，Q沿AO运动，连接PQ，当PQ∥BO时停止，如后图所示，涂色△AQP与△AOB
当PQ∥BO时证明△AQP∽△AOB，利用相似比例关系求得t值.
答案：解：∵A（8，0）、B（0，6），
∴在Rt△AOB中可得AB=10，
由题意可知BP=3t，AQ=2t，
∴AP=10-3t， 下一步
∵PQ∥BO，
∴△AQP∽△AOB
∴即
解得t=，
∴当t=秒时，PQ∥BO.
师：PQ∥BO时，会存在什么样的关系？
生：可以得到三角形相似的关系，就可以求得t的值.
师：很好，请站起来给大家说说你的方法.
师：请大家牢记，在动点问题中，通过相似建立两个参量的关系式是非常常见，也是十分重要的手段.
第二页
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

解析：作PD⊥AO，标记垂直符号
利用三角形相似，求得△AQP底边AQ上的高，进而表示其面积S与时间t的函数关系，根据函数关系选择相应的方法求出S的最大值.
答案：涂色△ADP与△AOB
解：作PD⊥AO，垂足为D，
∴PD∥BO
∴△ADP∽△AOB
∴
∵由(1)知AP=10-3t
∴解得PD= 下一步
∵S=AQ·PD=×2t×=，
整理得S与t之间的函数关系式为
S= （0＜t＜）下一步
当t=秒时，S取得最大值，最大值为5.
师：听取学生解题方法，出示解析.
相似表示
可板书解此问的过程图：S=AQ·PD 求其最值
易求（已知）
巡视观察学生解题情况.
生：解题过程及答案
师：评论解题方法，（重点分析相似的求解方法）
第三页
②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标
（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

解析：根据“向量”定义，只需求得当S取最大值时P与Q的坐标即可求“向量PQ”的坐标.
答案：标记Q点坐标(，0)
由①知，S取最大值时，t=，
∵AQ=2t，AO=8
∴Q(，0) 下一步
标记P点坐标（4，3）
又∵t=时，P点恰好为AB中点，
由A（8，0）、B（0，6）
∴P（4，3） 下一步
∴向量PQ”的坐标为(-4, 0-3)即(,-3)
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为(,-3).
直接请学生回答即可
师：对于新定义问题，要善于转化，转化成我们熟知的知识点，并应用其求解.
探究类型之三 面运动
分两页出示
第一页
例4. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．
（1）当t= s时，点P与点Q重合；
（2）当t= s时，点D在QF上；

解析：直接在(1)填“1”
涂色题目中“动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．”
(1) 由题知AP+BQ=2即t+t=2解得t=1. 下一步
如后图1.动画出示P向右运动，正方形APDE在随P的移动在逐渐增大，同时Q在向左运动，QF平行BC也随之平移（注意P，Q运动时AP与BQ始终相等）当D在QF上时停止（如后图位置）；2.涂色△QPD与△BAC.
(2)根据△QPD∽△BAC，建立关于t的比例关系式，进而求得t.
答案：解：当点D在QF上时，
∵QF∥BC，APDE为正方形，
∴△QPD∽△BAC，
∴下一步
在直接在(2)填“”
又∵DP=AP=BQ=t，
∴PQ=2-2t，
∴解得t=
∴当t=s时点D在QF上.
师：第（1）个问题非常简单，“t=1”同学们都有没有异议？
生：……
师：下面我们一起分析下第（2）问，同学可以先自己在本上画出这个图示.
（下面看看，画图情况）
师：我看到了大部分同学的图示画的都是非常好的，那现在老师要问一下了，根据这样的图示，那些边长我们能直接用t表示呢？
生：AP、PQ、BQ、DP….
师：很好，请一位同学站起来和大家说说，它们都是多少呢？
生：回答各边与t的关系.
师：各边长我们都用t表示出来了，现在我们该思考，如何将这些边长，或者是说我们需要的边长用等式联结起来呢？
生：勾股、相似…
师：我听到有说勾股，也有相似，那可以依次给大家解释下吗？（请勾股与相似的同学回答，分析正确与错误原因，并请同学计算，之后总结）
师总结：例3中，我们已经应用了相似的方法，本题中我们还是使用相似的方法，那在动点问题中，相似是十分重要的建立方程的方法，也就是我们常说的方程思想.同学们要引起十分的注意.
第二页
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．
解析：在P、Q运动过程中，由于正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的形状由直角梯形转变为六边形，从而该面积求解方式改变，所以需分两种情况讨论. 下一步
出示第一个红色的箭头
= 1 \* GB3 ①当正方形APDE和梯形BCFQ重合部分为直角梯形PQGD时(图2、图3)，1＜t≤；下一步
出示第二个黄色的箭头
= 2 \* GB3 ②当正方形APDE和梯形BCFQ重合部分为六边形PQFEHM时(图4 )，
＜t＜2.
答案：解：由(1)可知当点P与点Q重合时（图1）,t=1，下一步
当点D在BC上时（图3）PD=AP=BQ=t，(2-t)=BP=PD =t，
解得t=，下一步
当P到达B点时（图5），t=2，下一步
因此点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程如下：
= 1 \* GB3 ①当1＜t≤时，（如图2）重合部分为直角梯形PQGD；
= 2 \* GB3 ②当＜t＜2时，（如图4）重合部分为六边形PQFEHM. 下一步
当1＜t≤时，（图2）此时AP=BQ=t，∴AQ=2-t，PQ=AP-AQ=2t-2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF-AE=2(2-t)-t=4-3t，EG=EF=2-t，
∴DG=DE-EG=t-(2-t)=t-2．下一步
S=S梯形PQGD=( PQ+DG) •PD=[(2t-2) +(t-2)]•t=t2-2t；下一步
当＜t＜2时，（图4）此时AP=BQ=t，∴AQ=BP=2-t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DHM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DH
∴AF=4-2t，PM=4-2t．
又∵DM=DP-PM=t-(4-2t) =3t-4，∴DH=(3t-4)．下一步
S=S正方形APDE -S△AQF -S△DMH =AP2-AQ•AF-DH•DM
=t2-(2-t) (4-2t)-×(3t-4)×(3t-4)=t2+10 t-8. 下一步
综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：
t2-2t (1＜t≤)
S=
t2+10 t-8 (＜t＜2)
师：刚才我们已经着重介绍学习了相似在动点问题中的应用方法，接下来我们继续应用其方法解题，（教师可出示图1---图5，并对1＜t≤与＜t＜2两段分组讨论）.
师：（观察分组讨论情况，参考第（2）问中的方式，可以先分析出能够直接用t表示的边长，之后在求解我们需要的边长，应用相似的方法）
教师根据具体情况，可以在例1后选择讲解习题2
此题教师可以作为习题，学生独自完成即可，建议与习题1一起完成，可选在讲解例4后完成，在此过程中教师可巡视学生例4的求解情况.
第（3）计算较复杂，教师可借助课件图示，分组讨论，