2021-2022学年河南省安阳市滑县高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

  滑县2021-2022学年下学期期末测评试卷高二理科数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，集合满足，则满足条件集合的个数为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 在复平面内，复数，对应的点分别是，，则复数的虚部为（    ）A.  B.  C.  D. 3. 在等比数列中，，，则（    ）A.  B. 2 C.  D. 4. 北京2022年冬奥会期间，某大学派出了100名志愿者，为了解志愿者工作情况，该大学学生会将这100名志愿者随机编号为1，2，…，100，再从中利用系统抽样的方法抽取一个容量为20的样本进行问卷调查，若所抽中的最小编号为3，则所抽中的最大编号为（    ）A. 96 B. 97 C. 98 D. 995. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A.  B. C.  D. 6. 等差数列的前项和为，，，当时，的最小值为（    ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 177. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（    ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 8. 已知命题的展开式中的常数项为7，命题：若函数是奇函数，则，下列命题中为真命题的是（    ）A.  B. C.  D. 9. 2022年央视春晩出现了很多优秀的歌曲、小品、相声等节目，现将歌曲《你是我生命中的礼物》《我们的时代》《爱在一起》《春天的钟声》，冬奥主题歌曲《点亮梦》，小品《父与子》《还不还》《喜上加喜》《发红包》《休息区的故事》，相声《欢乐方言》《像不像》这12个节目进行排列，则冬奥主题歌曲《点亮梦》排在最后一位，相声《欢乐方言》与《像不像》不相邻，小品《喜上加喜》与《发红包》相邻的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，其中阴影部分的面积为，则函数在上的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 11. 已知空间直角坐标系中，正四面体的棱长为2，点，，，则的值不可能为（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 312. 已知函数有3个不同的零点，则满足条件的实数的最小整数值为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知向量，向量在方向上的投影为，则______.14. 已知锐角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则角的弧度数为______.15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积为，则双曲线的离心率为______.16. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，下面说法中正确的是______（将所有正确的序号都填上）①存在一点，使得；②存在一点，使得；③点的轨迹是一条直线；④三棱锥的体积是定值．三、解答题（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17. 已知三棱柱中，，，平面ABC，E为AB的中点，为上一点．（1）求证：；（2）当为的中点时，求二面角的余弦值．18. 如图，在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，为平面ABC上外一点，，，求四边形ABDC面积的最大值.19. 逐梦星辰大海，探索永无止境，2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射取得圆满成功，这意味着中国离实现载人航天工程“三步走”发展战略越来越近.为了让师生关注中国航天事业发展，某校组织航天知识竞赛活动，比赛共25道必答题，答对一题得4分，答错一题倒扣2分.学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响.（1）求甲前2题得分之和大于0概率；（2）设甲的总得分为X，求E（X）；（3）若某同学的得分，则称这位同学成绩“优秀”；若得分，则称这位同学成绩“非优秀”，某数学老师为了判断学生竞赛成绩的优秀和学生性别是否有关，统计了高二年级600名学生在本次竞赛活动中的得分情况，得到如下列联表，请补全列联表，并判断是否有的把握认为学生竞赛成绩的优秀和学生性别有关? 男生女生总计成绩“优秀” 120 成绩“非优秀”  200总计400 600附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828 20. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．（1）求的方程；（2）已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点．21. 已知函数，．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）设，若，，都有，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）射线与曲线的交点为，与直线的交点为，记点的直角坐标为，求的面积．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数最小值为，正实数a，b，c满足，求证：．     
答案 1-12 DABCA  CBBBC  DC13. 14. 15. ##16. ①④17.（1）∵平面，平面，∴．又，是的中点，∴∵，∴平面，又平面，∴；（2）如图，以C为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，．∴，，设平面CAD的法向量为，由得不妨令，得平面CAD的一个法向量为．由（1）可得平面ADB的一个法向量为，∴，由图象可知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．18.（1）由题意，即，∴，即．∵，∴．（2）由（1）知，又，∴为等边三角形．设，则，∴∴当时，四边形ABDC的面积取得最大值，最大值为．19.（1）设事件：甲前2题得分之和大于0，则，∴甲前2题得分之和大于0的概率为．（2）设甲答对的题数为随机变量，则，∴，总得分，则．（3）补全列联表如下所示， 男生女生总计成绩“优秀”280120400成绩“非优秀”12080200总计400200600则的观测值，∴有把握认为学生竞赛成绩的优秀和学生性别有关．20.（1）解：的周长为，由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.（2）解：由可得.若直线的斜率不存在，设点、，则，其中，则，，所以，，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得，，即，，因为，，由，得，即，则，整理得，解得.所以，直线的方程为，过定点．21.（1）当时，，，∵，∴切点为，∵，∴切线斜率，∴切线方程为（2），．当时，，单调递增，∴，．，，令，，∴在上单调递增，且，，∴，使得，即，也即．令，，，显然时，，单调递增，∴，即．∵当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，∴．∵，，都有，∴，得，故实数的取值范围为．22.（1）曲线的普通方程为，∴极坐标方程为．直线的极坐标方程为，∴直线的直角坐标方程为．（2）分别将代入曲线和直线的极坐标方程，得，，∴．又点到AB的距离，∴．23.（1），当时，由，得，∴；当时，由，得，∴；当时，由，得，∴．综上，不等式的解集为．（2）当时，的最小值是；当时，由可知；当时， 的最小值是；所以得，∴，∴，当且仅当，，，时，等号成立，∴．