山西省大同市第一中学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题

这是一份山西省大同市第一中学校2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．-4的相反数是（ ）
A．B．C．4D．-4
2．下列图形是小明在手机上下载的天气预报的图标，在这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．月球到地球的平均距离约为千米，而地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的390倍，由此可知，地球到太阳的平均距离约是（ ）
A．千米B．千米
C．千米D．千米
6．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标依次为，，，把沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度，得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．春节期间，小明帮父母打理小区内自己家开的生活便民超市，小明的妈妈告诉小明各种商品的利润率，并要求在利润率不低于的情况下可以销售．小区大妈要买标价为60元/壶的油，大妈要求上明优惠卖给她，小明知道粮油的利润率是，则该壶油的售价至少是（ ）
A．51元B． 元C．55元D．59元
8．如图，把一个含角的直角三角板放在一个直尺上，直角边，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和.已知是等边三角形，，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表：
根据表格可知，下列说法中，正确的是（ ）A．二次函数的图象在轴下方
B．二次函数中，的最大值是
C．二次函数的图象的对称轴是直线
D．当时，随的增大而增大
10．如图，矩形中，，以为直径作半圆与边相切于点，点在边上运动，连接，把沿折叠，得到，点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算：的结果是________.
12．春节期间，小明与小亮两个好朋友玩掷飞镖游戏，他们分别掷飞镖5次，掷出的成绩列成的折线统计图如图所示，由此可知，小明与小亮成绩更稳定的是________.
13．在幼儿园的手工课上，老师与小朋友们用小棒摆图案，老师摆出的图案中具有一定的规律性，已知第1个图案用8根小棒，第2个图案用12根小棒，…，按此规律一直摆下去，则第个图案中，需要的小棒的根数是________根（用含的代数式表示）．
14．如图，直线交轴于点A，交轴于点，以点A为圆心，长为半径画弧交轴于点，连接，则线段的长为________.
15．如图，在中，是边上的中线，点是边上的一点，，连接交于点，则的值是________．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
17．如图，在中，，，，是边上的中线，点在边上运动，沿折叠得到，点落在上，求线段的长.
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，点A的纵坐标是6，点C在轴上，且点C的横坐标是2．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出当时，的取值范围；
(3)求的面积．
19．春季开学后，某校为了让学生有效应用压岁钱，开展有意义的“尊老、敬老”慈善捐款活动，将捐款捐赠给本市敬老院．学生会为了了解学生捐款的情况，随机调查了该校部分学生，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生人数为________人，在扇形统计图中，捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是________度，在调查的这组学生中，捐款金额的中位数是________元；
(2)补全条形统计图；
(3)学生会为了更好地引导学生合理支配压岁钱，选出甲，乙，丙和丁四人从不同的方面在全校进行讲解，但由于时间的限定，临时调整只能两人讲解．因此，学生会采用随机抽签的方式从甲，乙，丙和丁四人中确定两名讲解人选．请用列表或画树状图的方式说明抽中甲和乙的概率是多少？
20．如图，是的直径，是的弦，平分交于点，过点作的切线交弦的延长线于点
(1)求证：；
(2)已知，，，求线段的长
21．元宵佳节灯火会上，有一名摄影爱好者为了记录这次灯火会的全过程，携带无人机进行航拍．如图，摄影爱好者在水平地面上点处测得无人机位置点的仰角为．无人机从点处水平飞到点处，米，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知为水平地面，，（即：点，，，四点在同一平面内），求无人机距离水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，）
22．综合与实践
问题情境
如图，在中，，，点是斜边的中点，连接，作关于直线对称的．
操作探究
(1)如图1，勤奋小组的同学发现，四边形是正方形，请写出证明；
拓展探究
(2)缜密小组的同学把图1中的四边形绕点逆时针旋转得到四边形（如图2），连接和，发现．请说明理由；
类比探究
(3)创意小组的同学在（2）的条件下，将正方形绕点继续逆时针旋转，旋转的角度大于而小于，发现B，，D三点可共线，请你借助图3判断创意小组的说法是否正确，若正确，请直接写出线段的长；若不正确，请说明理由．
23．综合与探究
如图，抛物线与轴交于点和，点在点的左侧，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上运动．
(1)求点的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，过点作轴交直线于点，过点作，垂足为，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)点在抛物线上运动，点在轴上运动，以点，，和为顶点的四边形是平行四边形，借助图2探究，请直接写出符合条件的点的坐标．
…
0
3
5
7
9
…
…
…
参考答案：
1．C
【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解．
【详解】-4的相反数是4，
故选：C．
【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义．
2．C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．D
【分析】根据合并同类项法则及完全平方公式与平方差公式依次计算判断即可．
【详解】解：A、与不能合并，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查合并同类项法则及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
解集表示在数轴上为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找”是解题关键．
5．C
【分析】直接利用有理数的乘法运算法则求出即可．
【详解】解：，
地球到太阳的平均距离约为千米．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题关键．
6．A
【分析】利用平移的性质即可求解．
【详解】解：∵，沿轴向右平移4个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度，
∴点的坐标是，即．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化－平移，掌握平移的性质是解题的关键．
7．B
【分析】先求得进价，根据利润率不低于5%，列式计算即可求解．
【详解】解：∵粮油的利润率是20%，
∴进价为（元），
要求在利润率不低于5%，则该壶油的售价至少是（元），
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解标价、进价、利润率的关系是解题的关键．
8．D
【分析】根据是等边三角形和,可推出，过点作,从而求得；
【详解】解：是等边三角形，，
,
又，
，
，
过点作，，则，
，
故选择：D
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直接三角形，熟练掌握有关的性质和判定是解题的关键．
9．C
【分析】将表格中的三组数据代入，利用待定系数法确定函数解析式，然后确定顶点坐标及对称轴即可求解．
【详解】解：由图表可知抛物线过点，，，
代入得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为，
∴顶点坐标为，在x轴上方，选项A错误，不符合题意；
最大值为4，选项B错误，不符合题意；
对称轴为直线，选项C正确，符合题意；
当时，随的增大而增大，选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
10．A
【分析】利用折叠的性质以及直角三角形的性质求得，则，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，然后根据扇形、三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵矩形中，，以为直径作半圆与边相切于点，
∴，，
由折叠的性质知，
在中，，，
∴，则，
设弦与半圆的交点为I，作于点H，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式，求得是解题的关键．
11．
【分析】先将二次根式化简，运用完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
12．小明
【分析】根据方差的定义分别计算出两人的方差即可得到答案．
【详解】解：小明的平均成绩为：，
小明的方差为：；
小亮的平均成绩为：，
小亮的方差为：；
∵，即小明的方差小于小亮的方差，
∴小明的成绩更稳定，
故答案为：小明．
【点睛】本题主要考查了用方差判定稳定性，熟知方差越小成绩越稳定是解题的关键．
13．
【分析】观察图案可知，每下一幅图案比前一幅图案多4根小棒，找出4与n的联系即可．
【详解】解：如图可知，后一幅图总是比前一幅图多4根小棒，
图案①需要小棒：（根），
图案②需要小棒：（根），
图案③需要小棒：（根），
⋯
则第n个图案需要小棒：根．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
14．
【分析】先根据一次函数的解析式求出点A、B的坐标，再根据两点之间的距离公式可得的长，从而可得的长，根据勾股定理可得．
【详解】解：当时，，解得，即，
当时，，即，
由两点之间的距离公式得：，
以点A为圆心，长为半径画弧交轴于点，
，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、同圆半径相等、两点之间的距离公式，勾股定理，熟练掌握两点间距离公式，是解题关键．
15．
【分析】如图所示，取中点G，连接，则是的中位线，即可证明，，进而推出，再证明，即可得到．
【详解】解：如图所示，取中点G，连接，
∵是边上的中线，即D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16．（1）；（2），
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、零次幂、二次根式的乘法法则计算，即可求解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．也考查了二次根式的乘法运算，特殊角的三角函数值．
17．
【分析】根据题意得出，由勾股定理确定，再由翻折的性质得出，设，则，，继续利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，是边上的中线，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，点落在上，
∴，
∴，
设，则，，
∴在中，
即，
解得：
∴线段的长为．
【点睛】题目主要考查三角形中线的性质，勾股定理解三角形即翻折的性质，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
18．(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是；
(2)x的取值范围或；
(3)的面积为8．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象即可求得；
（3）求得直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
∵点A的纵坐标是6，且在反比例函数的图象上，
∴，
∵一次函数的图象经过点，，
∴，解得，
∴一次函数的解析式是；
（2）解：观察图象可得当时，x的取值范围或；
（3）解：当时，，则，
∴直线与x轴的交点为，
∵点C的横坐标是2，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键．
19．(1)60，108，50
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由捐款金额为50元的有21人，所占的百分比为，即可求得这次被调查的学生数；用360度乘以捐款金额为100元所占的百分比，即可求得B所占扇形的圆心角；根据中位数的求法可求得捐款金额的中位数；
（2）首先求得捐款金额为20元对应人数、捐款金额为200元对应人数，即可补全统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：∵捐款金额为50元的有21人，所占的百分比为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是：；
捐款金额的中位数是第30、31两个数，即50元；
故答案为：60，108，50；
（2）解：捐款金额为20元对应人数为：（人）
捐款金额为200元对应人数为：（人）；
补全条形统计图如图．
；
（3）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，则，可证明，即可证得；
（2）连接，通过证明，得到，代入，，即可得解；
【详解】（1）连接，
，
，
又平分交于点，
，
，
，
，
；
（2）连接，是的直径，
,
又平分交于点，
，
，
，
又，，
，
解得：
【点睛】本题主要考查圆的切线的性质及相似三角形的判定和性质，熟练掌握和运用圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．米
【分析】如图所示，过点B作于G，过点C作于H，证明四边形是矩形，得到米，，设米，解得到，解得到，则，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点B作于G，过点C作于H，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，，
设米，
在中，，
∴；
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴无人机距离水平地面的高度为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质和判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．(1)四边形是正方形，见解析
(2)见解析
(3)线段的长为或．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质求得，，根据对称的性质求得，推出四边形是菱形，证明，即可证明结论；
（2）连接，求得，，推出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵在中，，，点是斜边的中点，
∴，，
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
，
∴四边形是正方形；
（2）解：连接，
∵四边形是正方形，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意得，，
如图，当B，，D三点共线时，，
∴，
∴；
如图，当B，D，三点共线时，，
∴，
∴；
∴线段的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．(1)点B的坐标为，直线的解析式为，
(2)
(3)或或；
【分析】（1）令，求出y的值，令，求出x的值，即可求出A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）由（1）可得，则，进一步证明是等腰直角三角形，推出，故要使最大，则要使最大，设，则，求出，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设M的坐标为，N的坐标为，然后分当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，三种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴点C的坐标为；
令，
解得或，
∴点A的坐标为，点B的坐标为；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，延长交x轴于F，
∵，，
∴，
∴
∵轴，即轴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴要使最大，则要使最大，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，最大，即最大，
∴点P的坐标为；
（3）解：设M的坐标为，N的坐标为，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
解得，
∴由对称性可知点M与点C关于对称轴对称，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
解得，
∴由对称性可知点M与点C关于对称轴对称，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：
，
解得，
当时，
解得或，
∴点M的坐标为或；
综上所述，点M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．