2022-2023学年安徽省名校高二下学期开学考试数学试题（B卷）含解析

这是一份2022-2023学年安徽省名校高二下学期开学考试数学试题（B卷）含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，为空间向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出的表达式及值，即可求出的值，进而得到的值.
【详解】由题意，
，
∴，
∴向量夹角，
故选：C.
2．已知点，在直线：上，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】将两点坐标代入直线方程解出即可求解.
【详解】因为点，在直线：上，
所以将，带入：，
得，解得，
所以直线，即的斜率为，
故选：A
3．已知两圆和相交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出两圆的公共弦方程，再利用公共弦过圆心可求解弦长.
【详解】因为两圆的方程为和，所以两圆的公共弦方程为，又因为该弦过圆的圆心，故．
故选：D.
4．某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种类为（ ）
A．12B．18C．24D．144
【答案】C
【分析】通过题意得出一天三班，一班一人，每人最多一班，即可求出值班当天不同的排班种类.
【详解】由题意，
4名志愿者参加社区志愿工作，每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，
∴值班当天不同的排班种类为：
故选：C.
5．已知圆经过椭圆C：的右焦点，上顶点与右顶点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的方程求出右焦点、上顶点、右顶点的坐标，代入圆的方程得出方程组，解之即可.
【详解】椭圆C：，右焦点为，上顶点为，右顶点为，
代入圆的方程，
得，解得，
所以该圆的方程为．
故选：A
6．在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】通过假设的方法判断出错误的同学.
【详解】设.
假设甲错误，乙丙丁正确，
，
，矛盾，所以甲正确.
假设乙错误，甲丙丁正确，
由甲、丙正确可知圆的方程为，
不满足上式，矛盾，所以乙正确.
假设丙错误，甲乙丁正确.
由乙丁得，与半径为矛盾，所以丙正确.
假设丁错误，甲乙丙正确，
则由甲丙可知圆的方程为，
满足上式，符合题意.
综上所述，结论错误的同学是丁.
故选：D
7．如图，已知等腰直角三角形的斜边的中点为，且，点为平面外一点，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取中点，连接，，则即为所求角，再利用余弦定理求解即可.
【详解】如图取中点，连接，，
因为是中点，所有，则即为所求角，
因为，，所以，
又因为是等腰直角三角形，所以，，
在中由余弦定理可得，
所以在中由余弦定理可得，
所以，
故选：D
8．抛物线的准线交轴于点，焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得出两根之积和两根之和，由几何关系可知为的中点，即可求解出直线的斜率.
【详解】设直线方程为，
将联立得，
设，，即
过点分别向准线作垂线，垂足为,
又因为，所以,即,
所以为的中点，即，所以得，
则，解得，
所以直线的斜率为，
故选：A.
二、多选题
9．已知曲线（或），则（ ）
A．曲线可表示椭圆
B．曲线为双曲线
C．，则曲线的焦点坐标为
D．，则曲线的渐近线方程为
【答案】BD
【分析】利用椭圆和双曲线的标准方程和性质求解即可.
【详解】若表示椭圆，则，此时无解，选项A错误；
因为或，则，所以曲线为双曲线，选项B正确；
当时，曲线表示焦点在轴的双曲线，所以焦点坐标为，渐近线方程为，选项C错误D正确；
故选：BD
10．关于直线：，以下说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．若，直线与垂直
C．时，直线不过第一象限
D．时，直线过第二，三，四象限
【答案】ABD
【分析】利用分离参数法、直线的斜截式方程以及两直线垂直的判定求解.
【详解】直线：可变形为：，由解得，所以直线过定点，故A正确；
当，直线：，所以与直线的斜率之积为，即两直线垂直，故 B正确；
对于C选项，直线：可变形为：，当时，，直线经过第一，二，三，象限，故C错误；
对于D选项，直线：，当时，，直线经过第二，三，四象限，故D正确；
故选：ABD．
11．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（ ）
A．
B．的展开式中项的系数为56
C．奇数项的二项式系数和为128
D．的展开式中项的系数为56
【答案】AC
【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB，利用所有奇数项的二项式系数和为判断C，根据二项式定理判断D.
【详解】因为的展开式通项为，
所以的展开式的第项的二项式系数为，
所以，解得，A正确；
的系数为，B错误；
奇数项的二项式系数和为，C正确；
根据二项式定理，表示8个相乘，
所以中有1个选择，1个选择，6个选择，
所以的展开式中项的系数为，D错误；
故选：AC
12．已知正四棱柱的底面边长为2，，点在棱上，点在棱上，则以下说法正确的是（ ）
A．若为中点，存在点，
B．若为中点，存在点，平面
C．若，分别为，的中点，则与平面所成的角的余弦值为
D．若，分别为，的中点，则到平面的距离为
【答案】BCD
【分析】利用空间向量进行判断，垂直转化为数量积问题，线面平行结合判定定理来验证，线面角通过法向量来求解，线面距转化为点面距求解.
【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则.
对于A，为中点，，设，,
则，若，则，解得（舍），所以A不正确.
对于B，为中点，由正四棱柱的性质可得，平面，平面，所以平面，即当在处时，满足题意，所以B正确.
对于C，，分别为，的中点，，，
易知平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，
所以，所以，所以C正确.
对于D，由上面可知，，;
设平面的一个法向量为，
则，，令，可得；
因为，平面，所以平面，
所以到平面的距离即为点到平面的距离，
点到平面的距离，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．______．
【答案】30
【分析】利用排列数和组合数的定义直接计算即可.
【详解】，，所以，
故答案为：30
14．已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______．
【答案】
【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，，
故答案为：
四、双空题
15．已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点______， ______．
【答案】
【分析】根据，在曲线上，设出点，的坐标，由，两点连线的斜率得出，的坐标关系，即可得到满足条件的一组点.
【详解】由题意，
在中，点，在曲线上，
设，，
，两点连线的斜率为2，
∴，
解得：，
∴当时，，．
故答案为：，.
五、填空题
16．已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，，且，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的正切值为______．
【答案】
【分析】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，通过几何关系可得到，，，过作满足，过做垂直于点，连接，则即为所求，通过等面积法计算出即可求解
【详解】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，
由，所以，
因为，与平面所成的角的大小分别为30°,45°,且，，
所以，，得，，
因为所以，
又，所以四边形是平行四边形，
所以，因为，所以，所以，
过作满足，则即为矩形与平面的交线，
过做垂直于点，连接，则即为所求，
在中，，
由可得，
所以，解得，
所以矩形与平面所成角的正切值为.
.
故答案为：.
六、解答题
17．设．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求解即可；
（2）分别令和即可求解.
【详解】（1）的展开式的通项公式为，
所以.
（2）因为，
所以当时，，
当，，
所以.
18．已知直线过点，且与轴分别交于点，为等腰直角三角形．
(1)求的方程；
(2)设为坐标原点，点在轴负半轴，求过，，三点的圆的一般方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设直线方程为，分别解出两点坐标和，利用解出的值即可；
（2）设圆的一般方程为 ，将点代入解方法组即可.
【详解】（1）因为直线过点，所以设直线为，，
令，得，所以
令，得，所以，
又因为为等腰直角三角形，所以，
得，
解或，
当时直线过原点，不满足题意，
故直线的方程为或，
即或.
（2）由题意可知直线的方程为，即，
设圆的方程为，
将，，代入
得，解得，
所以所求圆的方程为.
19．在平面直角坐标系中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离．记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）若过圆心且斜率为的直线与交于，两点，且，求的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）设，由题意，化简即可得解；
（2）设l的方程为，，，联立方程组可得，根据列方程即可得解.
【详解】（1）由题意得，设，则到圆上的点的最小距离为，
到轴的距离的距离为，则，
则，解得.
（2）由题意得恰为抛物线的焦点，
设l的方程为，，，
由得，，
故，所以，
由题设知，解得或．
因此l的方程为或．
【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解和抛物线焦点弦长度公式的应用，属于中档题.
20．已知，是椭圆：的右顶点和上顶点，点在椭圆上，且直线经过线段的中点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线经过的右焦点与交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由直线过中点得，再将点代入椭圆方程得到方程组，解出即可；
（2）首先排除斜率为0的情况，从而设：，联立椭圆得到韦达定理式，根据得到关于的等式，代入韦达定理式，解出即可.
【详解】（1）因为，，所以的中点为，
直线经过线段的中点，所以，
又因为点在椭圆上，故，
故可得，，
所以
（2）若直线的斜率为0时，可得，，易得，故不满足题意；
若直线的斜率不为0时，设：，
联立，
消去得，
，，
则，，
因为，
所以，即，
得，即
得，
得，
所以或
所以直线：或．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点．
(1)求证：；
(2)求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作于，连接，由平面平面，得到平面，进而得到，然后求得，根据且为中点，利用三线合一证明；
（2）以为坐标原点，，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，求得是平面的一个法向量，设与平面所成的角为，由求解.
【详解】（1）如图所示：作于，连接，
由平面平面，且平面平面，
平面，
得平面，平面，
所以，
因为，，，由勾股定理得，
所以，
所以，，
在中，由余弦定理得：，
所以，
在直角三角形中，由勾股定理可得，
又且为中点，
所以
（2）如图，以为坐标原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，得
设与平面所成的角为，
所以.
所以与平面所成的角的正弦值为.
22．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，离心率为3，点在上．
(1)求的标准方程；
(2)已知直线过的右焦点且与的左，右两支分别交于，两点，点是的平分线上一动点，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件、双曲线的性质建立方程组求解即可.
（2）利用直线与双曲线方程联立、韦达定理、弦长公式、三角形的性质和面积公式、向量的性质进行求解.
【详解】（1）由题意知，
所以，，，
所以双曲线方程为：.
（2）因为双曲线方程为：，所以，由题知，直线的斜率一定存在，所以设：，
因为直线与的左，右两支分别交于，两点，所以，得，①当时：
设，，因为，所以，
又为的角平分线，所以，由得：，所以，，
因为，
，
所以，即，解得，
当时，：，即，
所以点到直线的距离为，，
所以求的面积为，
当时，：，即，
所以点到直线的距离为，，
所以求的面积为，
②当时：直线的方程为，，，显然不满足；
故的面积为.