初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线教学设计

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知识点1 直线交点个数
1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．
2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=个交点，最少有1个交点．
【典例】
例1 （2020秋•邢台期中）观察如图，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点
像这样，20条直线相交，交点最多的个数是
A．100个B．135个C．190个D．200个
【方法总结】
此题主要考查了相交线探索规律．此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法是解题的关键．
根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，条直线相交，最多有个交点，据此解答即可.
【随堂练习】
1．（2020秋•鼓楼区校级月考）观察图形，下列说法正确的个数是
①直线和直线是同一条直线；
②射线和射线是同一条射线；
③线段和线段是同一条线段；
④三条直线两两相交时，一定有三个交点．
A．1B．2C．3D．4
2．（2019秋•旌阳区校级月考）在同一平面内的条直线两两相交，最多共有36个交点，则
A．7B．8C．9D．10
知识点2 邻补角与对顶角
邻补角
1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.
2. 邻补角的模型：
∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.
对顶角
1. 对顶角的模型：
∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.
2. 对顶角的性质：对顶角相等.
【典例】
例1 （2020春•哈尔滨月考）如图，已知直线和相交于点．
（1）写出与的大小关系：___________，依据是___________；
（2）在的内部，过点作，平分，平分，画出符合条件的图形，并求出的度数；
（3）在（2）的条件下，若平分，求的度数．
【方法总结】
本题考查对顶角、邻补角、角平分线的意义，掌握对顶角、邻补角、角平分线的定义是解决问题的前提，根据图形直观得出各个角之间的和差关系是正确解答的关键．
例2 （2020春•雨花区校级月考）如图，直线，相交于点，平分．
（1）的对顶角为________，的邻补角为 ；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的度数．
【方法总结】
本题考查对顶角、邻补角、角平分线、平角的意义和性质，通过图形具体理解这些角的意义是正确计算的前提．
【随堂练习】
1．（2020春•公主岭市期中）如图，直线，相交于点，．
（1）的邻补角为________（写出一个即可）；
（2）若，判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
2．（2020春•芝罘区期末）如图，已知直线，相交于点，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
3．（2020春•五莲县期末）如图，直线，相交于点，平分．
（1）的补角是 ；
（2）若，求的度数．
知识点3 垂线
垂线
1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.
2. 垂直的模型：
说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.
②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.
结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.
3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段
1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.
2. 垂线段模型：
线段AB是点A到直线a的垂线段.
3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
注意：距离是长度，不是线段.
【典例】
例1 （2020春•兴国县期末）如图，已知直线、、相交于点，，．
（1）求的度数；
（2）若是的平分线，那么是的平分线吗？说明你的理由．
【方法总结】
本题考查了垂线，对顶角的定义，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
例2 （2020春•钦州期末）如图，直线，相交于点，过点作，且平分，已知．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【方法总结】
本题主要考查垂直的定义，平角的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，灵活运用垂线的定义是解题的关键．
例3 （2019秋•侯马市期末）如图，点，点分别代表两个村庄，直线代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄居住的老年人较多，计划建一个离村庄最近的车站，请在公路上画出车站的位置（用点表示），依据是________________________________________；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄和村庄的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置（用点表示），依据是_______________________________．
【方法总结】
此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段的性质是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020春•黄埔区期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为_________．
2．（2020春•大新县期末）如图，直线与相交于点，是的平分线，于点，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
3．（2020春•长安区校级月考）下列说法：
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有
A．4个B．3个C．2个D．1个
知识点4 同位角、内错角、同旁内角
模型：
1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.
2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.
3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.
4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.
【典例】
例1（2020秋•杨浦区校级期中）如图，共有_____对同位角，有 对内错角，有 对同旁内角．
【方法总结】
此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．
例2（2020春•自贡月考）如图，的同位角是_______；
的内错角是 ；
的同旁内角是 ．
【方法总结】
此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．
【随堂练习】
1．（2020春•西湖区期末）如图，有下列3个结论：①能与构成内错角的角的个数是2；②能与构成同位角的角的个数是1；③能与构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是_______．
2．（2020春•江城区期末）两条直线被第三条直线所截，和是同旁内角，和是内错角．
（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；
（2）若、，求，的度数．
综合运用
1．（2020春•哈尔滨月考）如图，、交于点，平分，若，则等于
A．B．C．D．
2．（2020秋•朝阳区校级期中）如图，与相交于点，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
3．（2020•昆明模拟）如图所示，下列说法中错误的是
A．和是同位角B．和是同旁内角
C．和是同旁内角D．和是内错角
4．（2020春•新泰市期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在
A．点B．点C．点D．点
5．（2019春•和平区期末）下列说法中正确的是
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．互相垂直的两条线段一定相交
D．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是，则点到直线的距离是
6．（2019秋•卫辉市期末）如图，为平角，已知平分，平分，与相交于点，，则的度数为 ．
7．（2020秋•虎林市期末）如图，点在直线上，，垂足为，是的平分线，若，则______度， 度．
8．（2019春•红塔区期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分；
（1）直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ；
（2）若，且，求的度数．