初中数学人教版七年级下册8.1 二元一次方程组教案及反思

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知识点1 二元一次方程（组）的概念
1．二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）一般形式：ax+by+c=0(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)．
（3）二元一次方程需满足三个条件：
①方程是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
3．二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）一般形式：
（其中不同时为零）
（3）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【典例】
例1 （2020春•巴州区校级期中）已知关于、的方程，
试问：①当为何值时此方程为一元一次方程？
②当为何值时此方程为二元一次方程？
【解答】解：（1）因为方程为关于、的一元一次方程，所以：
①，解得；
②，无解，
所以时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知，解得，
所以时，方程为二元一次方程．
【方法总结】
此题考查了一元一次方程与二元一次方程的定义，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．
例2 （2021•宁波模拟）在方程的正整数解中，使的值最小的解是 ．
【解答】解：由，得，
是方程组的一个解，其通解为为整数），
，都是正整数，
，，，，，，，，，，
使的值最小的解是
故答案为．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的解，确定出符合题意的方程组的所有解是解题的关键．
例3 （2020春•涪城区期末）若方程组是关于，的二元一次方程组，则 1 ．
【解答】解：根据题意知，，
解得，，
则，
故答案为：1．
【方法总结】
本题考查的是一元二次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
【随堂练习】
1．（2020秋•青羊区校级期中）已知，方程是关于，的二元一次方程，则 1 ．
【解答】解：方程是关于，的二元一次方程，
，，
解得，，
．
故答案为：1．
2．（2020春•香坊区校级期中）若是二元一次方程，则 5 ．
【解答】解：由是二元一次方程，得
．
解得．
，
故答案为：5．
3．（2020春•水磨沟区校级期中）方程组是关于，的二元一次方程组，则的值是 ．
【解答】解：由题意得：，，，
解得：，，
则原式．
故答案为：．
知识点2 解二元一次方程组
1．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
2．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用&x=a&y=b的形式表示．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用&x=a&y=b的形式表示．
【典例】
例1 （2020春•新罗区期末）已知关于，的方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值．
【解答】解：
①②得：
．
②①得：
．
将以上所求的，代入，
解得：
．
【方法总结】
本题考查二元一次函数的求解问题．同学们掌握其计算方法即可．
例2（2020秋•新都区月考）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
方程组整理，得，
①②，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
所以方程组的解为；
（2），
方程组整理，得．
②①，得，
解得，
把代入②，得，
解得，所以方程组的解为．
【方法总结】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
例3（2020秋•枣庄月考）对，定义一种新运算“※”，规定：※（其中，均为非零常数），若1※，1※．则2※1的值是 9 ．
【解答】解：※，1※，
，
解得：，
则※
※，
故答案为：9．
【方法总结】
此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•青羊区校级期中）解方程组
；
【解答】解：，
由①②，得，
解得，
把代入①，得，
方程组的解为.
2．（2020春•香坊区校级月考）已知方程组的解、互为相反数，
求的值．
【解答】解：，
①②得：，
由与互为相反数，得到，
代入得：，
解得：．
知识点3 解三元一次方程组
1．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤把所求得的三个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用&x=a&y=bz=c的形式表示．
【典例】
例1 （2020春•如东县校级月考）在等式，当时，；当时，，当时，，求当时，的值．
【解答】解：根据题意得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
即④，
把代入③得：，
即⑤，
由④和⑤组成方程组：，
解得：，
所以，
当时，．
【方法总结】
本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
例2（2020•浙江自主招生）解方程组
【解答】解：，
②③①得：④，
把④代入②，③得：，，
，，
，
，
，
开方得：，
把代入得：，，
把代入得：，，
则方程组的解为或．
【方法总结】
此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【随堂练习】
1．（2020春•常德期末）若方程组的解中与的值相等，则为 2 ．
【解答】解：根据题意得：，
解得①，
将①代入得，
，
解得．
2．（2020春•浦东新区期末）解方程组：．
【解答】解：
②③得：④，
由①④得：，
把代入①得：；
把，代入②得：．
则方程组的解为．
知识点4 同解问题和错解问题
【典例】
例1 （2020春•市中区校级月考）已知关于，的方程组和的解相同，求的值．
【解答】解：由题意可得，
解得，
将代入得，
解得，
．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于、的方程组，求出、的值，再将、的值代入含、的方程组即可求出、的值，即可求出代数式的值．
例2 （2020春•大化县期末）若方程组与方程组的解相同，求，的值．
【解答】解：方程组，
解得：，
把代入方程组，得，
解得：，
则，的值为3，3．
【方法总结】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【随堂练习】
1. （2020春•岳阳期末）方程组与方程组的解相同，求、的值．
【解答】解：由于两个方程组的解相同，
方程组与方程组的解相同．
解方程组得
把，代入方程组，
得．
解这个方程组，得．
2．（2020春•淮阳区期末）已知关于，的两个二元一次方程组和的解相同，求的值．
【解答】解：由两个方程组的解相同，得，
解得，
所以有：，
解得，
所以．
知识点5 含参二元一次方程组
【典例】
例1 （2020春•邗江区期末）已知关于、的二元一次方程组．
（1）若，求方程组的解；
（2）若方程组的解中，的值为正数，的值为正数，求的范围．
【解答】解：（1）把代入方程组，得，
解这个方程组得
（2）
由②，得③
把③代入①，得
整理，得
把代入③，得
的值为正数，的值为正数，
解得
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组及解法、一元一次不等式组及解法．会用代入法或加减法解二元
一次方程组是解决本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•龙泉驿区期中）若方程组的解满足，求的值．
【解答】解：，
把代入①得，解得，
把代入②得，解得．
综合运用
1．二元一次方程3x+5y＝17的正整数解是 x=4y=1 ．
【解答】解：方程3x+5y＝17，
解得：x=17-5y3，
当y＝1时，x＝4，
则方程的正整数解为x=4y=1，
故答案为：x=4y=1
2．解方程组：
（1）x-y=42x+y=5；
（2）x+13=y+24x-34-y-33=112．
【解答】解：（1）x-y=4①2x+y=5②，
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝﹣1，
则方程组的解为x=3y=-1；
（2）方程组整理得：4x-3y=2①3x-4y=-2②，
①×4﹣②×3得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝2，
则方程组的解为x=2y=2．
3．若关于m、n的二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，求关于x、y的方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14的解．
【解答】解：∵二元一次方程组am-2n=132m+bn=14的解为m=4n=-1，
∴4a+2=138-b=14，
∴a=114b=-6，
∴方程组a(2x+y)-2(x+2y)=132(2x+y)+b(x+2y)=14可转化为114(2x+y)-2(x+2y)=13①2(2x+y)-6(x+2y)=14②，
①×3﹣②，得2x+y＝4③，
将2x+y＝4代入②中，得x+2y＝﹣1④，
③×2﹣④，得x＝3，
将x＝3代入④，得y＝﹣2，
∴原方程组的解为x=3y=-2．
4．（2020春•新洲区期中）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解．
【解答】解：（1）把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：；
把，代入方程组得：，
①②得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为．
5．（2020春•房县期末）小红和小风两人在解关于，的方程组时，小红只因看错了系数，得到方程组的解为，小风只因看错了系数，得到方程组的解为，求，的值和原方程组的解．
【解答】解：根据题意， 不满足方程，但应满足方程，
代入此方程，得，解得．
同理，将代入方程，得，
解得．
所以原方程组应为，
解得．
6．（2020春•西华县期末）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得到解为；乙看错了方程组中的而得到解为．
（1）求正确的、值；
（2）求原方程组的解．
【解答】解：（1）根据题意得：
解得：
（2）原方程组是：
解得：．