高中数学高考专题15 不等式性质，线性规划与基本不等式（解析版）

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【三年高考】
1.【2020•天津，2】设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，解得或，故”是“”的充分不必要条件，故选．
2.【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的
A． 充分不必要条件B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；
当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
命题规律二 与集合、充要条件判定考查不等式解法
【解决之道】掌握一元二次不等式解法、简单分式不等式解法、简单指数不等式解法、对数不等式解法、及含有一个绝对值不等式解法，对充要条件问题要分清谁是条件谁是结论，注意灵活运用定义法、命题法、集合法去判断.
【三年高考】
1.（2020•新课标Ⅰ，文1）已知集合，，1，3，，则
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】集合，，1，3，，则，，故选．
2.（2020•新课标Ⅱ，文1）已知集合，，，，则
A．B．，，2，C．，0，D．，
【答案】D
【解析】集合，，，，1，，，或，，，，故选．
3.【2019年高考天津卷文数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】等价于，故推不出,由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件,故选B.
4.【2018年高考天津卷文数】设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解不等式x3>8可得x>2，求解绝对值不等式x>2可得x>2或x<-2，据此可知：“x3>8”是“|x|>2” 的充分而不必要条件.故选A.
命题规律三 简单线性规划解法
【解决之道】作出可行域，作出目标函数，通过平移目标函数找出最优解，通过解方程解出最优解代入目标函数即可得出最值.
【三年高考】
1.（2020•新课标Ⅰ，文13）若，满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】1
【解析】作出可行域如图所示，由，可得时，目标函数，可得，当直线过点时，在轴上截距最大，此时取得最大值：．
2.（2020•新课标Ⅱ，文15）若，满足约束条件则的最大值是 ．
【答案】8
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由得，平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，此时．
3.（2020•新课标Ⅲ，文13）若，满足约束条件则的最大值为 ．
【答案】7
【解析】先根据约束条件画出可行域，由解得，如图，当直线过点时，目标函数在轴上的截距取得最大值时，此时取得最大值，即当，时，．
4.（2020•上海，5）已知、满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】作出可行域如图阴影部分，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，联立，解得，即．
有最大值为．
5.（2020•浙江，3）若实数，满足约束条件，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．
【答案】B
【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，将目标函数变形为，则表示直线在轴上截距，截距越大，越大，当目标函数过点时，截距最小为，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数的取值范围是，，故选．
6.【2019年高考全国III卷文数】记不等式组表示的平面区域为D．命题；命题．下面给出了四个命题
①②③④
这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③B．①②
C．②③D．③④
【答案】A
【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示，记直线，由图可知，，
所以p为真命题，q为假命题，所以为假命题，为真命题，所以为真命题，为假命题，为真命题，为假命题，所以所有真命题的编号是①③.故选A.
7.【2019年高考天津卷文数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
A．2B．3
C．5D．6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分，目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值，由，得，所以，故选C.
8.【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是
A． B． 1
C． 10D． 12
【答案】C
【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，因为，所以.
平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值，联立两直线方程可得，解得，即点A坐标为，所以.故选C.
9.【2018年高考北京卷文数】设集合则
A．对任意实数a，B．对任意实数a，（2，1）
C．当且仅当a<0时，（2，1）D．当且仅当时，（2，1）
【答案】D
【解析】点（2，1）在直线上，表示过定点（0，4），斜率为的直线，当 时，表示过定点（2，0），斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点.直线与直线互相垂直.显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点（2，1），故排除A；点（2，1）与点（0，4）连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点（2，1），此时表示的区域也包含点（2，1），故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点（2，1），故排除C，故选D.
10.【2018年高考天津卷文数】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A．6 B．19
C．21 D．45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程得，可得点A的坐标为，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.
命题规律四 考查利用基本不等式判定大小或求最值
【解决之道】利用基本不等式（重要不等式）求最值时，要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值，条件不具备时，要通过配凑使之满足条件.
【三年高考】
1.（2020•山东，11）已知，，且，则
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】①已知，，且，所以，则，故正确．
②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确．
③，故错误．
④由于，，且，
利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故正确．
故选：．
2.（2020•上海，13）下列等式恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】．显然当，时，不等式不成立，故错误；
．，，，故正确；
．显然当，时，不等式不成立，故错误；
．显然当，时，不等式不成立，故错误．故选．
3.（2020•天津，14）已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】∵，，且，∴≥，当且仅当，即，或， 取等号
4.（2020•新课标Ⅲ，文8）点到直线距离的最大值为
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为点到直线距离，要求距离的最大值，故需，可得；当时等号成立，故选．
命题规律
内 容
典 型
１
与充要条件判定结合考查不等式性质
2020天津，2
２
与集合、充要条件结合考查不等式解法
2020•新课标Ⅰ，文1
３
简单线性规划解法
2020•新课标Ⅰ，文13
４
考查李用基本不等式比较大小或求最值
2020•天津，14