高中数学高考专题15 平面向量C卷（第二篇）（解析版）

这是一份高中数学高考专题15 平面向量C卷（第二篇）（解析版），共28页。试卷主要包含了如图，已知圆等内容，欢迎下载使用。

1．如图，已知圆：，为圆的内接正三角形，为边的中点，当绕圆心转动，同时点在边上运动时，的最大值是______.
【答案】
【解析】
由题可知:圆半径为1,圆心为,
所以边长为,,
,
而,
当且仅当,即反向时,取得最大值,
又,
当且仅当与点重合时,取得最大值,
所以的最大值是,
故答案为:.
2．已知是单位圆上的两点，，点是平面内异于的动点，是圆的直径．若，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
因为是单位圆的直径，
所以.
在中，，，
所以，.
因为，所以点在以为直径的圆上，
其圆心为的中点，半径为.
易得，又点异于，
所以且.
所以且，
即且.
所以的取值范围是.
3．已知点为线段上一点，为直线外一点，是的角平分线，为上一点，满足，，，则的值为__________.
【答案】3
【解析】
，即，表示在的角平分线上，故是内心.
如图所示：；，故.
故答案为：.
4．已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）
①S有5个不同的值；②若，则与无关；③若，则与无关；
④若，则；⑤若，，则与的夹角为．
【答案】②④.
【解析】
非零向量，不相等，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，
，可能的情况如下：
不可能只有奇数个，
没有时：，
两个时：，
四时：，
所以不可能有5个不同的值，所以①不是真命题；
，，
所以，若，则，最小值为，与无关，所以②是真命题；
若，则与有关，所以③不是真命题；
若，
则
则，所以④是真命题；
若，，
即，，
，
解得
则与的夹角为，所以⑤不是真命题.
故答案为：②④
5．已知点在函数的图像上，过点的直线交、轴正半轴与点、，为坐标原点，三角形的面积为，若且，则的取值范围是_______________.
【答案】.
【解析】
设，
则 故
点在函数的图像上，故
解得
故答案为：
6．在中，，点满足，且对任意，恒成立，则______.
【答案】
【解析】
根据题意，在中，点满足.
设，则.
∵
∴对任意，恒成立，必有，即，如图所示.
∵
∴，
∴.
∴
故答案为：.
7．正方形的边长为2，，分别为，的中点，点是以为圆心，为半径的圆上的动点，点在正方形的边上运动，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
易得,
,
当且仅当同向时取等号.即考虑的最小值即可.
当与重合时, .
当与不重合时,设夹角为,由图易得当在上时取最小值为,当在时, 取最大值为,故,
利用向量模长不等式有
,且两次“” 不能同时取“=”.故此时.
综上所述, 的最小值是.
故答案为：
8．有一列向量，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列，满足，那么这列向量中模最小的向量的序号_______
【答案】4或5
【解析】
由题意可得：，
则每一项与前一项的差所得的同一个向量为：，
结合等差向量列的定义和等差数列通项公式可得：
，，
即：，这列向量的模：
，
考查二次函数，当时，二次函数有最小值，
则这列向量中模最小的向量的序号4或5.
故答案为4或5．
9．已知正三角形的边长为4，是平面内一点，且满足，则的最大值是______，最小值是______.
【答案】不存在
【解析】
解：设正三角形的外接圆为，则的直径，
，
如图以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，
，则点在的优弧上，
设，
又，
，
，
，则，
则的最大值不存在，最小值是.
故答案为：最大值不存在，最小值是.
10．已知平面上三个不同的单位向量，，满足，若为平面内的任意单位向量，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
由柯西不等式可得：
由于，
与，与的夹角为，
下面求，
由于，
不妨将换成，设与夹角为，
则
，
的最大值为
故答案为
11．如图，在中，已知，于，为线段上的点，且，若，则的值等于_________ .
【答案】
【解析】
在中，
，，
，，
，
，∴，又，∴.
∴，，
，
∴，同理，由，解得，
∴.
故答案为：.
12．在中，，点满足,则的最大值是__________
【答案】
【解析】
解：以，为，轴建立坐标系，
设，，
，
，
，，，
，
最小值为，
，，
的最大值是为．
故答案为：
13．已知满足，，是的外心，且，则的面积是______.
【答案】或
【解析】
如图：，是的外心，设的中点为，
∵，
∴，
则，
∴，即、、三点共线.
∵是的外心，当时， ，则，
∴，
∴的面积；
当时，此时，即，
∴的面积，
综上可得，的面积是或.
故答案为：或.
14．如图，已知，，，圆是以为圆心、半径为的圆，圆是以为圆心、半径为的圆，设点、分别为圆、圆上的动点，且，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
设，则，
，
，
，
，．
故答案为：
15．如图所示，八个边长为1的小正方形拼成一个的矩形，均为小正方形的定点，在线段上有2018个不同的点且它们等分.记.则___________.
【答案】14126
【解析】
如图，设为的中点，因为等分，
所以，
又，
令，
则
，
所以.
故答案为：.
16．如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，，分别为两半圆上的动点（不含端点，，），且，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得
以为直径的半圆方程为
以为直径的半圆方程为（ ，
设
可得
即有
即为
即有 可得 ，即 ，
则
可得 即β时，
的最大值为，
故答案为．
17．设是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，有下列命题：
（1）关于的方程可能有两个不同的实数解；
（2）关于的方程至少有一个实数解；
（3）关于的方程最多有一个实数解；
（4）关于的方程若有实数解，则三个向量的终点不可能共线；
上述命题正确的序号是__________
【答案】（3）（4）
【解析】
是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，，以作为一组基底，
则任意向量存在唯一的有序数对使，
关于的方程，即，即，
与一一对应，所以不可能两个实数解，故命题（1）错误；
若，无解，故命题（2）错误；
当时，方程有解，结合（1），方程最多一个解所以（3）正确；
根据平面向量共线定理，平面内有三个不同点共线，O为坐标原点，必存在实数使：，
即，
整理得：，
即三个向量的终点共线，，必有，与矛盾，所以三个向量终点不可能共线，故（4）正确.
故答案为：（3）（4）
18．已知平面向量，，满足，且，则的最大值是______.
【答案】3
【解析】
分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，
①当{||，||}＝{1，2}，||＝3，则，
设，则x2+y2＝9，
∴（1+x，2+y），
∴||的最大值，其几何意义是圆x2+y2＝9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为3；
②当{||，||}＝{1，3}，||＝2，则，x2+y2＝4，
∴（1+x，3+y）
∴||的最大值，其几何意义是圆x2+y2＝4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为22，
③当{||，||}＝{2，3}，||＝1，则，
设，则x2+y2＝1
∴（2+x，3+y）
∴||的最大值，其几何意义是在圆x2+y2＝1上取
点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为11
∵，
故||的最大值为3．
故答案为3
19．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.
【答案】
【解析】
因为是平面内两个互相垂直的单位向量，
所以可设 ，
，
，
又，
，
即，
它表示的圆心在，半径为的圆，
表示圆上的点到的距离，
圆心到点的距离为，
的最大值为，
要使恒成立，
即的最小值是，故答案为.
20．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，其中，则的最小值是_____．
【答案】
【解析】
中，为边的中点，为的中点，
且，
，
，
同理，，
又与共线，
存在实数，使，
即，
，解得，
，
当且仅当时， “=”成立，故答案为.
21．已知与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是___________．
【答案】
【解析】
∵l1：mx﹣y﹣3m+1=0与l2：x+my﹣3m﹣1=0，
∴l1⊥l2，l1过定点（3，1），l2过定点（1，3），
∴点P的轨迹方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，
作垂直线段CD⊥AB，CD==1，
所以点D的轨迹为,
则，
因为圆P和圆D的圆心距为，
所以两圆外离，
所以|PD|最小值为，
所以的最小值为4﹣2.
故答案为4﹣2.
22．如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________.
【答案】1
【解析】
，；
又因为且，为正三角形，
，，，
设的长为（），则，，
时取等号，
的最小值为.
故答案为：1，.
23．如图，在四边形ABCD中，O为BD的中点，且，已知，，则______．
【答案】6
【解析】
为BD的中点；
；
又；
；
，；
；
又，；
；
；
；
．
故答案为6．
24．已知平面向量，，满足：，的夹角为，||＝5，，的夹角为，||＝3，则•的最大值为_____．
【答案】36
【解析】
设，，，
则AB＝||＝5，AC＝||＝3，∠ACB，∠APB，
可得P，A，B，C四点共圆．
设△ABC的外接圆的圆心为O，则∠AOB＝2∠APB，
由正弦定理可知：2OA5，故OA．
以O为圆心，以OA，OB为坐标轴建立平面坐标系如图所示：
则A（，0），B（0，）．
在△OAC中，由余弦定理可得cs∠AOC，
故sin∠AOC，∴C（，）．
设P（csα，sinα），，
则（csα，sinα），（csα，sinα），
∴（csα）（csα）sinα（sinα）
＝16+12sinα﹣16csα＝16+20•（sinαcsα）
＝16+20sin（α﹣φ），其中sinφ，csφ．
∴当α＝φ时，取得最大值36．
答案：36．
25．在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，由点集所表示的区域的面积是__________．
【答案】4
【解析】
由||＝||＝·＝2，知cs∠AOB＝，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，
由＝λ＋μ，可得⇒.
因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，
等价于
由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4
26．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【答案】.
【解析】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
27．已知平面向量、、满足，，且，则当时，的取值范围是_______
【答案】
【解析】
因为，且,
所以可设,,,
设,
因为,所以点在线段上,
因为,所以点在单位圆上,
如图”
所以,
则问题转化为求线段上的动点与单位圆上的动点之间的距离的取值范围.
由图可知:当,且为线段与单位圆的交点时, 取得最小值,当与或重合,为单位圆与或轴的负半轴的交点时, 取得最大值2+1=3.
所以的取值范围是.
故答案为 .
28．在中，是中线，已知，，定义，求的最小值是____________.
【答案】
【解析】
由
＝2|•（2）+（1）|，
设2，连接CE，可得BD∥CE，
∠AEC＝30°，
设•（2）+（1），
由（1）＝1，可得H在直线EC上，
即有A到EC的距离为|AH|＝4sin30°＝2，
则f（λ）的最小值为2×2＝4．
故答案为：4．
.
29．已知中，，，，是内一点，使得.设垂直于，垂直于，则______.
【答案】
【解析】
以点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图：
在中，，，，得，
则，，，，
设点，则，，.
由题意得，解得，即点.
设，则.
由，解得.
，，因此，.
故答案为：.
30．正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、nR，则的最大值是________
【答案】
【解析】
建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），
又，
所以，则，
其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，csθ）的直线的斜率，
设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，
由直线与圆的位置关系有：，
解得：，即的最大值是1，
故答案为1