高中数学高考专题17 等差数列与等比数列B卷（第二篇）（解析版）

这是一份高中数学高考专题17 等差数列与等比数列B卷（第二篇）（解析版），共30页。试卷主要包含了已知等差数列，已知定义在R上的函数f等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列共有项，满足，且对任意、，有仍是该数列的某一项，现给出下列个命题：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合中共有个元素．则其中真命题的个数是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
对任意、，有仍是该数列的某一项，,
当时，则，必有，即，
而或.
若，则，而、、，舍去；
若，此时，，同理可得.
可得数列为：、、、、.
综上可得：（1）；（2）；（3）数列是等差数列；（4）集合，该集合中共有个元素.
因此，（1）（2）（3）（4）都正确.
故选：D.
2．在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为
A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项
【答案】B
【解析】
数列中，，，
得到：，
，
，
，
上边个式子相加得：
，
解得：．
当时，首项符合通项．
故：．
数列满足，
则，
由于，
故：，
解得：，
由于是正整数，
故．故选B．
3．已知函数为定义域上的奇函数，且在上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则（ ）
A．18B．9C．27D．81
【答案】C
【解析】
根据题意，函数y＝f（x）为定义域R上的奇函数，
则有f（﹣x）+f（x）＝0，
∵g（x）＝f（x﹣3）+x，
∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝27，
即f（a1﹣3）+a1+f（a2﹣3）+a2+…+f（a9﹣3）+a9＝27，
即f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3）+（a1+a2+…+a9）＝27，
f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3））+（a1﹣3+a2﹣3+…+a9﹣3）＝0，
又由y＝f（x）+x为定义域R上的奇函数，且在R上是单调函数，
且（a1﹣3）+（a9﹣3）＝（a2﹣3）+（a8﹣3）＝…＝2（a5﹣3），
∴a5﹣3＝0，
即a1+a9＝a2+a8＝…＝2a5＝6，
则a1+a2+…+a9＝9a5＝27；
故选：C．
4．已知等差数列（公差不为零）和等差数列，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下九个方程（）中，无实数解的方程最多有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【解析】
设等差数列的公差为不为零,等差数列的公差为，
因为关于的实系数方程有实数解，
所以，
即,化简得，所以第五个方程有解.
设方程与方程的判别式分别为和，
则
,
所以和至多一个成立,
同理可知,和至多一个成立,和至多一个成立,和至多一个成立,
所以在所给的个方程中无实数解的方程最多个.
故选:B
5．在数列中，，且数列是等比数列，其公比，则数列的最大项等于（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】
在数列中，，，且数列是等比数列，其公比，
．
，
．
由或8时，，
或9时，，
数列的最大项等于或．
故选：C.
6．已知数列满足，，，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
因为，，
所以，
所以
所以得到
即
所以，
即，
所以猜想当连续三项的下标最大项为偶数时，有
以下为证明：
当时，成立，
设当时，成立，
当时，因为，
所以有
即成立
所以
即
所以当时，猜想也成立.
故当连续三项的下标最大项为偶数时，有
所以.
故选：A.
7．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an）（n∈N*），则f（a36）+f（a37）=（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】
∵函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，
∴f（x）=f（3-x）=-f（x-3），
即f（x+3）=-f（x），则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
即函数f（x）是周期为6的周期函数，
由数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an） （n∈N*），
则an=nan+1-nan，即（1+n）an=nan+1，则 ，
等式两边同时相乘得，
即=n，即an=na1=n，即数列{an}的通项公式为an=n，
则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1），
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
∵f（-1）=3，∴-f（1）=3，即f（1）=-3，
则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1）=0-3=-3，
故选：A．
8．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为，所以.
两式相减化简可得，
公比，
由可得，
，
则，解得，
，
当且仅当时取等号，此时，解得，
取整数，均值不等式等号条件取不到，则，
验证可得，当时，取最小值为，故选B.
9．设有，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形，再作的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列，它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．与原三角形相似D．以上均不对
【答案】A
【解析】
设第个内切圆的圆心为，第个三角形的内角，，，，
在四边形中，
，，
，
同理，
所以，
，设，令，得，，
即，所以是以为首相，以为公比的等比数列．
，
所以，
同理当时，，，
故三角形的极限为等边三角形．
故选：．
10．如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，经过一次变换后得到，
点，，，A选项正确；
由题意知

所以，
，
，B选项正确；
，
C选项正确；
，
D选项错误.故选D.
11．函数的定义域为R，数列是公差为的等差数列，若，，则（ ）
A．恒为负数
B．恒为正数
C．当时，恒为正数；当时，恒为负数
D．当时，恒为负数；当时，恒为正数
【答案】A
【解析】
由题意，因为函数，根据幂函数和反正切函数的性质，
可得函数在为单调递增函数，
且满足，所以函数为奇函数，
因为数列是公差为的等差数列，且，
则
①当时， 由，
可得，所以，所以，
同理可得：，
所以
，
②当时，由，
则，
所以
综上可得，实数恒为负数．
故选：A．
12．已知数列的前项和为，若，且，，则的值为（ ）
A．－8B．6C．－5D．4
【答案】C
【解析】
对于，
当时有，即
，
，
两式相减得：
，
由可得
即从第二项起是等比数列，
所以，
即，
则，故，
由可得，
故选：C.
13．已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
在上为奇函数，
故代入得，
当时，，令，则上式即为，
当偶数时，
，
当奇数时，
，
综上可得，，故选C.
14．已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且满足，，若，为函数的导函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
设等比数列的公比为，由，知，
所以
解得 或（舍）.
所以.
因为，
所以.
所以，，
所以.
令，①
则，②
由，得
，
所以. 即.
故选：A.
15．已知数列的前n项和，若不等式，对任意恒成立，则实数m的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
当时，得，
当时，，，两式相减得
，即，
，又，
数列是以2为首项，1为公差的等差数列。
，即，
，所以不等式等价于，
记，当时，，
当时，，，
故选：C
16．若正项数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
当时，解得，由于为正项数列，故，由，所以，
由 ，可得①，所以②
②—①可得，化简可得
由于，所以，即，故为首项为1，公差为2的等差数列，则，
令，所以，
令
所以原式

故答案选A
17．已知数列的首项，前项和为，，，设，数列的前项和的范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为，所以，所以，即，且，所以且时符合，所以；
因为，所以，所以，，
所以，
所以，令，
所以，所以，
所以是递减的，所以，所以，
综上：，
故选：C.
18．已知数列的前项和为，且满足，若不等式对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
由题意，数列满足，则当时，，
两式相减可得，
所以，又由，所以，
即，所以数列表示首项，公差为2的等差数列，所以，
又由，即，
即，即对任意的正整数恒成立，
即对任意的正整数恒成立，
设，则，
所以，当时，最大,此时最大值为，
所以，即，所以的最大整数为4，故选B.
19．设等差数列的前项和为，已知，
，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由得：
……①
由得：
……②
令
则①式即为：，②式即为：
又，即奇函数
则：，即：
本题正确选项：
20．已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：
①若数列为递增数列，则对一切，
②若对一切，，则数列为递增数列
③若存在，使得，则存在，使得
④若存在，使得，则存在，使得
其中正确命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】
①取，，则，故①错；
②对一切，，则，又因为是上的单调递增函数，所以，若递减，设，且
，
且，所以，则
，则
，与题设矛盾，所以递增，故②正确；
③取 ，则，，令，所以，但是，故③错误；
④因为，所以，
所以，
则，
则，则存在，使得，故④正确.
故选：C.
21．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知.
设，得，对比得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，，故选：B.
22．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由题意,，
则，很明显
n⩾2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an−kn=(2−k)n+2，
则数列{an−kn}为等差数列，
故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：
a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
23．已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，，
又，，
，，则，
于是得到，
上述所有等式全部相加得，
因此，，故选：B。
24．用表示不超过的最大整数（如，）.数列满足，若，则的所有可能值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
两边取倒数：
利用累加法：

为递增数列.

计算： ，整数部分为0
，整数部分为1
，整数部分为2
的所有可能值的个数为0,1,2
答案选C
25．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由题已知是上的奇函数
故，
代入得：
∴函数关于点对称，令，则，得到．
∵，

倒序相加可得，即 ，
故选B．
26．已知数列中，，，（且），则数列的最大项的值是（ ）
A．225B．226C．75D．76
【答案】B
【解析】
，，
数列是公差为的等差数列，
，，
，，
又数列是单调递减数列，
数列的前项和最大，
即最大，
数列的最大项是第16项，
又，，
数列的最大项的值是，故选B．
27．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（ ）
A．2060B．2038C．4084D．4108
【答案】C
【解析】
n次二项式系数对应杨辉三角形的第行，
例如，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行，
令，就可以求出该行的系数之和，
第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列.
则杨辉三角形的前n项和为
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，去除两端“1”可得，则此数列前55项和为，所以第56项为第13行去除1的第一个数,所以该数列前56项和为，故选C.
28．设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则（ ）
A．是常数列B．不是单调数列C．是递增数列D．是递减数列
【答案】D
【解析】
根据题意得，…，
，又曲线的最低点为，则当时
当时，当时 …，则，，，，：
，
则
所以是递减数列，故选
29．已知等比数列的公比为，记，（），则以下结论一定正确的是（ ）
A．数列为等差数列，公差为
B．数列为等比数列，公比为
C．数列为等比数列，公比为
D．数列为等比数列，公比为
【答案】C
【解析】
解：①，当时，，，此时是常数列，A、B选项都可能正确.
当时，，，
此时，选项B不正确，
又，不是常数，故选项A不正确，
②∵等比数列的公比为，∴，
∴，
∴，故C正确，D不正确．
综上可知：只有C正确．
故选：C．
30．已知首项为的正项数列满足，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意得：
令，则，两边取对数得：
又，则数列是首项为，公比为的等比数列
，即

又
本题正确选项：
31．函数的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为，，，………在点列中存在三个不同的点，，，使得是等腰直角三角形将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由，得，，
由题意得，
即，
由是等腰直角三角形，
得，
即，得，
同理是等腰直角三角形得，得.
同理是等腰直角三角形得，得
……
则，
故选C.
32．已知函数的导函数,且,数列是以为公差的等差数列,若,则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
函数的导函数
,
根据可知,
,


整理可得:
数列是以为公差的等差数列:
,
根据等差中项可得:,
有,
可得,
即①
构造函数,则
为增函数,又②,
由①②结合为增函数,可知


故
故选:C.
33．已知数列满足，，设，若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
因为，
所以，
所以.
又因为，所以，
所以，
数列为等差数列，且首项为，公差也为2，
则，所以，
所以，
要使为数列的唯一最小项，则，所以.故选.
34．已知是函数的极值点，数列满足，，记，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【答案】A
【解析】
由题意可得，
∵是函数的极值点，
∴，
即．
∴，
∴，，，，，
以上各式累加可得．
∴．
∴=
===．
∴．选A．
35．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）
A．3972B．3974C．3991D．3993
【答案】D
【解析】
第1此染色的数为1=1 ，共染色1个，
第2次染色的最后一个数为6=2，共染色3个，
第3次染色的最后一个数为15=3，共染色5个，
第4次染色的最后一个数为28=4，共染色7个，
第5次染色的最后一个数为45=5，共染色9个，
…
∴第n次染色的最后一个数为n，共染色2n-1个，
经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个，
而2019，
∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45，且相邻两个数相差2，
∴2019＝45＝3993．
故选D．