高中数学高考专题17 椭圆（解析版）

这是一份高中数学高考专题17 椭圆（解析版），共12页。试卷主要包含了给出一定条件求椭圆方程，与离心率有关的椭圆问题，与椭圆有关的最值问题等内容，欢迎下载使用。
【解决之道】解决此类问题有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程；②待定系数法：待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可.
【三年高考】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
2.【2019年高考天津卷文数】设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知（O为原点）.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且，求椭圆的方程.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有，又由，消去得，解得.
所以，椭圆的离心率为.
（2）由（1）知，，故椭圆方程为.
由题意，，则直线的方程为，
点P的坐标满足消去并化简，得到，解得.
代入到的方程，解得.
因为点在轴上方，所以.
由圆心在直线上，可设.
因为，且由（1）知，故，解得.
因为圆与轴相切，所以圆的半径长为2，
又由圆与相切，得，可得.
所以，椭圆的方程为.
3.【2020年高考全国Ⅱ卷文数19】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．
（1）求的离心率；
（2）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程．
【解析】（1）解：∵椭圆的右焦点坐标为：，∴抛物线的方程为，其中．不妨设在第一象限，∵椭圆的方程为：，∴当时，有，因此的纵坐标分别为，．
又∵抛物线的方程为，∴当时，有，∴的纵坐标分别为，，故，．由得，即，解得（舍去），，∴的离心率为．
（2）由（1）知，，故，∴的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为．
由已知得，即，∴的标准方程为，的标准方程为．
4.【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．
已知DF1=．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(−1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1=，AF2⊥x轴，
所以DF2=，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2−c2，得b2=3.
因此，椭圆C的标准方程为.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆C：，a=2，
因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x−1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A在x轴上方，所以A(1，4).
又F1(−1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由，得，
解得或.
将代入，得，
因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.
由，得，解得或.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
将代入，得.
因此.
解法二：
由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.
因为F1(−1，0)，由，得.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.
因此.
命题规律二 以椭圆方程为背景研究椭圆的简单性质
【解决之道】解决此类问题要明确椭圆的方程中各量的意义，遇到焦点三角形问题，要充分利用椭圆的定义、正余弦定理去解题.
【三年高考】
1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2B．3
C．4D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知可得，，∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．
命题规律三 与离心率有关的椭圆问题
【解决之道】求椭圆离心率的值(范围)，其方法为， (1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【三年高考】
1.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题可得，因为，所以，即，
所以椭圆的离心率，故选C．
2.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【解析】在中，，设，则，
又由椭圆定义可知，则，故选D．
命题规律四 与直线与椭圆的位置关系有关的简单问题
【解决之道】充分利用设而不求思想与数形结合思想处理.
【三年高考】
1.【2020年高考上海卷10】已知椭圆，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若关于轴对称的点为，且满足，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】由条件可知是等腰直角三角形，所以直线的倾斜角是，所以直线的斜率是，且过点，得到直线的方程为，即．故答案为：．
2.【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.
方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.
命题规律五 与椭圆有关的最值(范围)问题
【解决之道】与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系
【三年高考】
1.【2020年高考山东卷9】已知曲线（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐进线方程为
D．若，，则是两条直线
【答案】ACD
【思路导引】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线．
【解析】对于A，若，则可化为，
因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，
由可得，故C正确；
对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确．故选：ACD．
2..【2018年高考浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】
【解析】设，，由得，，所以，
因为，在椭圆上，所以，，所以，
所以，与对应相减得，，
当且仅当时取最大值．
3.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
【答案】（1）；（2），a的取值范围为.
【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.
（2）由题意可知，满足条件的点存在．当且仅当，，，即，①
，②
，③
由②③及得，又由①知，故．
由②③得，所以，从而故.
当，时，存在满足条件的点P．
所以，的取值范围为．
命题规律
内 容
典 型
１
给出一定条件求椭圆方程
2019年高考全国Ⅰ卷文数
２
以椭圆方程为背景研究椭圆的简单性质
2019年高考全国Ⅱ卷文数
３
与离心率有关的椭圆问题
2018年高考全国Ⅰ卷文数
４
与直线与椭圆的位置关系有关的简单问题
2020年高考上海卷10
５
与椭圆有关的最值(范围)问题
2019年高考全国Ⅱ卷文数