高中数学高考专题18 双曲线（解析版）

这是一份高中数学高考专题18 双曲线（解析版），共9页。试卷主要包含了双曲线定义的实际应用，给出一定条件求双曲线方程，给出一定条件求双曲线离心率，与双曲线有关的最值问题等内容，欢迎下载使用。

【解决之道】双曲线定义的应用策略：(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数11】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，不妨设，则，∵，
∴点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，即，又，
∴，
解得，∴，故选B．
2.【2020年高考浙江卷8】已知点．设点满足，且为函数图像上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件可知点在以为焦点的双曲线的右支上，并且，∴，方程为 且点为函数上的点，联立方程 ，解得：，，，故选D．
命题规律二 给出一定条件求双曲线方程
【解决之道】求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
【三年高考】
1.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设点，则①．又，②．
由①②得，即，，故选B．
2.【2018年高考浙江卷】双曲线的焦点坐标是（ ）
A．(−，0)，(，0) B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，−)，(0，) D．(0，−2)，(0，2)
【答案】B
【解析】设的焦点坐标为，因为，，
所以焦点坐标为，故选B．
3.【2018年高考天津卷文数】已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，由可得，
不妨设，，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得，，则，则，，
双曲线的离心率，据此可得，则双曲线的方程为．
故选A．
命题规律三 给出一定条件求双曲线离心率
【解决之道】求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数14】设双曲线的一条渐近线为，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，，故答案为：
2.【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】由得渐近线方程为，又，则，，，得离心率．
3.【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.
4.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）
A．2sin40°B．2cs40°
C．D．
【答案】D
【解析】由已知可得，
，
故选D．
5.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，∴，，又点在圆上，，即，，故选A．
6.【2019年高考北京卷文数】已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=（ ）
A．B．4
C．2D．
【答案】D
【解析】∵双曲线的离心率，，∴，解得，故选D
7.【2019年高考天津卷文数】已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．
【答案】D
【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，，∴，故选D.
8.【2018年高考北京卷文数】若双曲线的离心率为，则________________．
【答案】
【解析】在双曲线中，且，所以，即，
因为，所以．
9.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________________．
【答案】
【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，，．
命题规律四 研究与双曲线的渐近线相关问题
【解决之道】求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±eq \f(b,a)＝±eq \f(\r(c2－a2),a)＝± eq \r(\f(c2,a2)－1)＝±eq \r(e2－1).
【三年高考】
1.【2020年高考北京卷12】已知双曲线，则的右焦点的坐标为________；的焦点到其渐近线的距离是__________．
【答案】，
【解析】∵双曲线，∴，，，∴，∴右焦点坐标为，∵双曲线中焦点到渐近线距离为，∴．
2.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A．
3.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，所以双曲线的渐近线方程为，所以点到渐近线的距离，故选D．
4.【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.
命题规律五 与双曲线有关的最值（范围）问题
【解决之道】与双曲线有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如x≤－a或x≥a，e＞1，所以在求与双曲线有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅱ卷文数9】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】∵，双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，
联立，解得，故，，
面积为：．
双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：，故选B．命题规律
内 容
典 型
１
双曲线定义的实际应用
2020年高考全国Ⅰ卷文数11
２
给出一定条件求双曲线方程
2018年高考天津卷文数
３
给出一定条件求双曲线的离心率
2020年高考全国Ⅲ卷文数14
４
研究与双曲线的渐近线相关问题
2018年高考全国Ⅱ卷文数
５
与双曲线有关的最值（范围）问题
2020年高考全国Ⅱ卷文数9