高中数学高考专题20 圆锥曲线的综合问题（解析版）

这是一份高中数学高考专题20 圆锥曲线的综合问题（解析版），共25页。试卷主要包含了圆锥曲线中的弦长问题，圆锥曲线中定点问题，圆锥曲线中的最值问题，圆锥曲线中的定值问题，圆锥曲线中的取值范围问题，圆锥曲线中的证明问题等内容，欢迎下载使用。
【解决之道】圆锥曲线中的弦长（面积）问题，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数21】已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，求△的面积．
【解析】解法一：（1）由，得，即，∴，故的方程为．
（2）设点的坐标为，点的坐标为，根据对称性，只需考虑的情形，此时，．
∵，∴有 = 1 \* GB3 ①．
又∵，∴ = 2 \* GB3 ②．
又 = 3 \* GB3 ③．
联立 = 1 \* GB3 ①、 = 2 \* GB3 ②、 = 3 \* GB3 ③，可得，或．
当时，，，∴．
同理可得，当时，．综上所述，可得的面积为．
解法二：（1），，，
根据离心率，解得或(舍)，
的方程为：，即．
（2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，根据题意画出图形，如图，
，，，又，，，根据三角形全等条件“”，可得：，，，．
设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，
解得：或，点为或，
①当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图，
，，可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，面积为：．
②当点为时，故，，，
可得：点为，画出图象，如图，
，，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：．
综上所述，面积为：．
2.【2020年高考天津卷18】已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
【解析】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，，
由，得，又由，得，所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或．
将代入，得，所以点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，所以直线的斜率为，
又因为，所以，整理得，解得或．
所以，直线的方程为或．
3.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）y=x–1；（2）或．
【解析】（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为
，即．
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
解得或
因此所求圆的方程为
或．
4.【2018年高考天津卷文数】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求k的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．
（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，
又由，可得．
由，从而．
所以，椭圆的方程为．
（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．
由的面积是面积的2倍，可得，
从而，即．
易知直线的方程为，
由方程组消去y，可得．
由方程组消去，可得．
由，可得，两边平方，整理得，解得，或．
当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．
所以，的值为．
5.．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，焦点，圆O的直径为．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
【答案】（1）椭圆C的方程为，圆O的方程为；（2）①；②．
【解析】（1）因为椭圆C的焦点为，
可设椭圆C的方程为．
又点在椭圆C上，所以，解得
因此椭圆C的方程为．
因为圆O的直径为，所以其方程为．
（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由消去y，得．（*）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，由（*）得，
所以．
因为，所以，即，
解得舍去），则，
因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．
命题规律二 圆锥曲线中定点问题
【解决之道】圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷文数21】已知分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为与的另一交点为．
（1）求的方程；
（2）证明：直线过定点．
【解析】（1）依据题意作出如下图像：
由椭圆方程可得：， ，，，，，，椭圆方程为：．
（2）证明：设，则直线的方程为：，即：，
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或，
将代入直线可得：，∴点的坐标为，同理可得：点的坐标为，
直线的方程为：，
整理可得：，
整理得：，故直线过定点．
2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．
【答案】（1）见解析；（2）或.
【解析】（1）设，则．
由于，所以切线DA的斜率为，故．
整理得
设，同理可得．
故直线AB的方程为．
所以直线AB过定点．
（2）由（1）得直线AB的方程为．
由，可得．
于是.
设M为线段AB的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得t=0或．
当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为．
3.【2019年高考北京卷文数】已知椭圆的右焦点为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）由题意得，b2=1，c=1．
所以a2=b2+c2=2．
所以椭圆C的方程为．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则直线AP的方程为．
令y=0，得点M的横坐标．
又，从而．
同理，．
由得．
则，．
所以
．
又，
所以．
解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．
命题规律三 圆锥曲线中的最值问题
【解决之道】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
【三年高考】
1.【2020年高考江苏卷18】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点
在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点．
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标．
【解析】（1）的周长．
（2）由椭圆方程得，设点，则直线方程为，
令得，即，，
，即的最小值为．
（3）设到直线的距离为，到直线的距离为，
若，则，即，
由（1）可得直线方程为，即，∴，．
由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，
设平行于的直线为，与直线的距离为，
∴，即或．
当时，直线为，即，
联立可得，即或，
∴或．
当时，直线为，即，
联立可得，，∴无解．
综上所述，点坐标为或．
2.【2020年高考浙江卷21】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【解析】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）设
由
由M在抛物线上，∴
由即
∴，，，
∴的最大值为，此时．
3.【2019年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记的面积分别为．
（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标．
【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为，此时G（2，0）．
【解析】（1）由题意得，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=−1.
（2）设，重心.令，则.
由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得
，
故，即，所以.
又由于及重心G在x轴上，故，得.
所以，直线AC方程为，得.
由于Q在焦点F的右侧，故.从而
.
令，则m>0，
.
当时，取得最小值，此时G（2，0）．
4.【2018年高考北京卷文数】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（1）求椭圆M的方程；
（2）若，求的最大值；
（3）设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点共线，求k.
【答案】（1）；（2）；（3）1.
【解析】（1）由题意得，所以，
又，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
设，，则，，
则，
易得当时，，故的最大值为．
（3）设，，，，
则 ①， ②，
又，所以可设，直线的方程为，
由消去可得，
则，即，
又，代入①式可得，所以，
所以，
同理可得．
故，，
因为三点共线，所以，
将点的坐标代入化简可得，即．
命题规律四 圆锥曲线中的定值问题
【解决之道】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
【三年高考】
1.（2020•山东，22）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【解析】（1）离心率，
，
又，
，，
把点代入椭圆方程得，，解得，
故椭圆的方程为．
（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立，得，
由△，知，
设，，，，则，，
，，，，即，
，化简整理得，，
或，
当时，，过定点，不符合题意，舍去；
当时，，过定点．
设，，则，
若，，，解得，，
，
点在以，为圆心，为半径的圆上，
故存在，，使得，为定值．
若，则直线的方程为，，，，为定值．
②当直线的斜率不存在时，设其方程为，，，且，
，，，，解得或2（舍，
，，此时，为定值．
综上所述，存在定点，，使得为定值，且该定值为．
2.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．
【解析】（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.
因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.
由已知得，又，故可得，解得或.
故的半径或.
（2）存在定点，使得为定值.
理由如下：
设，由已知得的半径为.
由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.
因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.
因为，所以存在满足条件的定点P.
命题规律五 圆锥曲线中的取值范围问题
【解决之道】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【三年高考】
1.（2020•上海,20）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分．
（1）若，求的值；
（2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；
（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围．
【解析】（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，；
（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，
由双曲线的定义可得，又，，
所以，因为，则，
所以，
在△中，由余弦定理可得
，
由，可得；
（3）设直线，可得原点到直线的距离，
所以直线是圆的切线，设切点为，
所以，并设与圆联立，可得，
可得，，即，
注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，
由，可得，
所以有，解得或（舍去），
因为为在上的投影可得，，
所以，
则，．
2.【2018年高考浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
（2）若P是半椭圆x2+=1(x0，x2>0．
由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为
．①
将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
．
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．
综上，∠ABM=∠ABN．
2.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得F（1，0）．设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是
．
同理．
所以．
故．
命题规律
内 容
典 型
１
圆锥曲线中的弦长（面积）问题
2020年高考全国Ⅲ卷文数21
２
圆锥曲线中的定点问题
2020年高考全国Ⅰ卷文数21
３
圆锥曲线中的最值问题
2020年高考浙江卷21
４
圆锥曲线中的定值问题
2020•山东高考，22
５
圆锥曲线中的取值范围问题
2020•上海高考,20
6
圆锥曲线中的证明问题
2018年高考全国Ⅰ文数