高中数学高考专题24 空间向量与空间角的计算（原卷版）

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大数据分析*预测高考
十年试题分类*探求规律
考点82 空间异面直线所成角的计算
1．（2018•新课标Ⅱ，理9）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
2．（2018•新课标Ⅱ，文9）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．C．D．
（2017•新课标Ⅱ，理10）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
4．（2016•新课标Ⅰ，理11文11）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为
A．B．C．D．
5．（2014新课标Ⅱ，理11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
6．（2020全国Ⅰ理16）如图，在三棱锥的平面展开图中，，则_____________．
7．（2017•新课标Ⅲ，理16），为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最小值为；
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
8．（2015浙江）如图，三棱锥中，，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是 ．
9．（2015四川）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在线段上，分别为的中点．设异面直线与所成的角为，则的最大值为_________．
10．（2015•新课标Ⅰ，理18）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．
（Ⅰ）证明：平面平面
（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．
考点83 空间线面角的计算
1．（2020山东4）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（ ）
A． B． C．D．
2．（2018•新课标Ⅰ，文10）在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A．8B．C．D．
3．（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成角）．若，，则的最大值
A． B． C． D．
4．（2014四川）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2020全国Ⅱ理20）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为的中点，为上一点．过和的平面交于，交于．
（1）证明：//，且平面平面；
（2）设为△的中心，若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
6．（2018•新课标Ⅱ，理20）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
7．（2016•新课标Ⅲ，理19）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
8．（2013新课标Ⅰ，理18）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．
9．（2018浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
(1)证明：⊥平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
10．（2017浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（Ⅰ）证明：∥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
11．（2014天津）如图四棱锥的底面是平行四边形，，
，，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）证明： 平面；
（Ⅱ）若二面角为60°，
（ⅰ）证明：平面⊥平面；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
12．（2013浙江）如图，在四棱锥中，⊥面，，
，，，为线段上的点．
（Ⅰ）证明：⊥面 ；
（Ⅱ）若是的中点，求与所成的角的正切值；
（Ⅲ）若满足⊥面，求的值．
13．（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面，，分别是AC，A1B1的中点．
（1）证明：；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
14．(2018天津)如图，且，，且，且，平面，．
(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
15．（2018江苏）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．（2017天津）如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，
．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
17．（2017北京）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，点在线段上，//平面，，．
（Ⅰ）求证：为的中点；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（2014福建）在平行四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
19．(2013天津) 如图， 四棱柱中，侧棱⊥底面，，
，，，为棱的中点．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）设点在线段上；且直线与平面所成角的正弦值为， 求线段的长．
考点84二面角的计算
1．(2018浙江)已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则
A． B． C． D．
2．（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则

A．