高中数学高考专题25 立体几何中综合问题（解析版）

这是一份高中数学高考专题25 立体几何中综合问题（解析版），共9页。试卷主要包含了棱锥与球的切接问题，棱柱与球的切接问题，研究球的截面问题等内容，欢迎下载使用。

【解决之道】（1）三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.
（2）一条侧棱垂直于底面的棱锥的外接球问题，可以将其补成以棱锥的底面为底面、垂直与底面的侧棱为高的直棱柱，则补成直棱柱的外接球即为该三棱锥的外接球.
（3）正棱锥（圆锥）的外接球问题，已知正棱锥的底面的外接圆半径为、高为，外接球的半径为，则.
（4）已知三棱锥中某两个面所成二面角为的外接球问题，关键是作出球心，即分别过两个半平面的截面圆的圆心作截面圆的垂线，垂线的交点即为球心，再利用球的截面性质，即可求出求的半径.
(5)对两个直角三角形共斜边的三棱锥的外接球问题，则直角三角形的斜边为球的直径.
(6)对对棱相等的三棱锥的外接球问题，将其看成在长方体中面的对角线，则长方体的外接球即该三棱锥的外接球.
（7）求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出．也可以先找准切点，通过作截面来解决，作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作．
【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数10】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆．若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，由正弦定理可得，，根据圆截面性质平面，
，球的表面积，故选A．
2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数11理数10】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设球的半径为，则，解得：．设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离，故选C．
3.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，即，故选D．
解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，
又，，
中，由余弦定理可得，
作于，
，为的中点，，，
，，
又，两两垂直，
，，，故选D.
4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，
当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，
，,点M为三角形ABC的重心，，
中，有，，
，故选B.
命题规律二 棱柱（圆柱）与球的切接问题
【解决之道】（1）长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即eq \r(a2＋b2＋c2)＝2R.
（2）直棱柱(圆柱）的外接球：已知直棱柱的底面半径为，高为，则其外接球半径为
【三年高考】
1.【2020年高考天津卷5】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即
，所以这个球的表面积为，故选C．
命题规律三 研究球的截面问题
【解决之道】解决此类问题的关键为作出截面，作截面的关键在作截线，方法如下：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的的一个面的截线;②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面内找出第2个确定的点；③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点；④两个平行平面的一个平面与截面有绞线，另一个平面上只有一个已知点，则按面面平行得截面与平面的交线；⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面化为棱上的点的问题；⑥若已知点在体内，可通过作辅助平面化为面上的点的，再化为棱上的点的问题来解决.
【三年高考】
1.【2020年高考山东卷16】已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
【答案】
【解析】解法一：如图，
取的中点为，的中点为，的中点为，
因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，
因为，所以侧面，
设为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得，故答案为：．
解法二：在直四棱柱中，取中点为，中点为，中点为，由题意易知，又，则面，在面内取一点，使，且，∴，又，，∴以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心，以为半径的圆弧，由题意易得，故该交线长为．
解法三：
命题规律四 以传统文化为载体考查几何体的性质
【解决之道】解决此类问题，首项要认真读题，挖掘出所蕴含的几何体及其有关量，转化为数学问题，然后利用几何体的有关知识求解.
【三年高考】
1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
【答案】26，
【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与的延长线交于点，延长交正方体的棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，
，
即该半正多面体的棱长为．
.
命题规律五 以几何体中空间角为条件研究几何体的截面问题
【解决之道】解决此类问题的关键为作出截面，作截面的关键在作截线，方法如下：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的的一个面的截线;②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面内找出第2个确定的点；③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点；④两个平行平面的一个平面与截面有绞线，另一个平面上只有一个已知点，则按面面平行得截面与平面的交线；⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面化为棱上的点的问题；⑥若已知点在体内，可通过作辅助平面化为面上的点的，再化为棱上的点的问题来解决.
【三年高考】
1.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，
平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理，平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.
命题规律
内 容
典 型
１
棱锥与球的切接问题
2020年高考全国Ⅰ卷理数10
２
棱柱（圆柱）与球的切接问题
2020年高考天津卷5
３
研究球的截面问题
2020高考山东卷
４
以传统文化为载体考查几何体的性质
2019年高考全国Ⅱ卷理数
５
以几何体中空间角为条件研究几何体的截面问题
2018年高考全国Ⅰ卷理数