高中数学高考专题24 立体几何中综合问题（解析版）

专题24 立体几何中综合问题  命题规律内      容典     型１考查点到面的距离2019年高考全国Ⅰ卷文数２棱锥（圆锥）与球的切接问题2018年高考全国Ⅲ卷文数３棱柱（圆柱）与球的切接问题2020年高考天津卷5４以解答题形式考查异面直线角或线面角2019年高考天津卷文数５研究几何体的截面问题2020年高考山东卷16命题规律一 考查点到面的距离【解决之道】解决此类问题有两种方法，①过该点作已知平面的垂线，该点到垂足的线段长即为点到面的距离，再利用解三角形解出；②利用等体积转化求点到面的距离.【三年高考】1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．【答案】【解析】作分别垂直于，平面，连接，由题意可知，，平面，又平面，，，，，，又易知，为的平分线，，又，．2.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【解析】（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.从而点C到平面的距离为.命题规律二 棱锥（圆锥）与球的切接问题【解决之道】（1）三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.（2）一条侧棱垂直于底面的棱锥的外接球问题，可以将其补成以棱锥的底面为底面、垂直与底面的侧棱为高的直棱柱，则补成直棱柱的外接球即为该三棱锥的外接球.（3）正棱锥（圆锥）的外接球问题，已知正棱锥的底面的外接圆半径为、高为，外接球的半径为，则.（4）已知三棱锥中某两个面所成二面角为的外接球问题，关键是作出球心，即分别过两个半平面的截面圆的圆心作截面圆的垂线，垂线的交点即为球心，再利用球的截面性质，即可求出求的半径.(5)对两个直角三角形共斜边的三棱锥的外接球问题，则直角三角形的斜边为球的直径.(6)对对棱相等的三棱锥的外接球问题，将其看成在长方体中面的对角线，则长方体的外接球即该三棱锥的外接球.（7）求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出．也可以先找准切点，通过作截面来解决，作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作．【三年高考】1.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（   ）A．        B．C．        D． 【答案】B【解析】如图所示，设点M为三角形ABC的重心，E为AC中点， 当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，，，,点M为三角形ABC的重心，，中，有，，，故选B.2.【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆．若⊙的面积为，，则球的表面积为              （   ）A．                B．                C．                D． 【答案】A【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，由正弦定理可得，，根据圆截面性质平面，，球的表面积，故选A．3.【2020年高考全国Ⅱ卷文数11理数10】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则球到平面的距离为                             （   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设球的半径为，则，解得：，设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离，故选C．4.【2020年高考全国Ⅲ卷文数16】已知圆维的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为             ．【答案】、【解析】解法一：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则：，解得：，其体积：．故答案为：．解法二：分析知圆锥内半径最大的球的应为该圆锥的内切球，如图，由题可知该圆锥的母线长为，底面半径为，高为，不妨设该内切圆与母线切于点，令，则由，可得，即，得，此时．命题规律三 棱（圆）柱与球的切接问题【解决之道】（1）长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即＝2R.（2）直棱柱(圆柱）的外接球：已知直棱柱的底面半径为，高为，则其外接球半径为【三年高考】1.【2020年高考天津卷5】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以这个球的表面积为，故选C．命题规律四 以解答题形式考查异面直线所成角或线面角【解决之道】对异面直线所成角问题，常用平移法，即通过作中位线或平行四边形，找到或作出一个角的两边分别与两条异面直线分别平行，则该角就是异面直线所成角或补角，再通过解三角形求解；对线面角，找出或作出过斜线与面垂直的直线，找出斜线在平面内的射影，则斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为线面角，再通过解三角形求解.【三年高考】1.【2018年高考全国I卷文数】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（  ）A．8            B．C．            D．【答案】C【解析】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.2.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（   ）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则．故选C．3.【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，.（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线AD与平面所成角的正弦值.【解析】（1）连接，易知，.又由，故.又因为平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.（2）取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，又因为平面平面PCD，平面 平面，所以平面PAC，又平面PAC，故.又已知，，所以平面PCD.（3）连接AN，由（2）中平面PAC，可知为直线与平面PAC所成的角，因为为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以.又，在中，.所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.4.【2018年高考天津卷文数】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（1）求证：AD⊥BC；（2）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（3）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解析】（1）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（2）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．（3）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD==4．在Rt△CMD中，．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为． 5.【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【解析】方法一：（1）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（2）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.命题规律五 研究几何体的截面问题【解决之道】解决此类问题的关键为作出截面，作截面的关键在作截线，方法如下：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的的一个面的截线;②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面内找出第2个确定的点；③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点；④两个平行平面的一个平面与截面有绞线，另一个平面上只有一个已知点，则按面面平行得截面与平面的交线；⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面化为棱上的点的问题；⑥若已知点在体内，可通过作辅助平面化为面上的点的，再化为棱上的点的问题来解决.【三年高考】1.【2020年高考山东卷16】已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为             ．【答案】【解析】解法一：如图，取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得，故答案为：．解法二：在直四棱柱中，取中点为，中点为，中点为，由题意易知，又，则面，在面内取一点，使，且，∴，又，，∴以为球心，为半径的球面与侧面的交线是以为圆心，以为半径的圆弧，由题意易得，故该交线长为．解法三：