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高中数学高考专题31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差(解析版)
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这是一份高中数学高考专题31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差(解析版)，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题【答案】D，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若 (为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，由已知得新样本的均值为，方差为，标准差为，代入可得选项.
【详解】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.
2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为，，重算时的平均数和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果.
【详解】
设这个班有n个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是，
被忘记登分的同学的分数为，
则
所以，
，
方差，
①
因为 ②
将①代入到②得：
故
故选：A
【点睛】
本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.
3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ）
A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米
【答案】C
【分析】
利用标准差公式即可求解.
【详解】
设这7天降雨量分别为，，，，，，
则
因为1厘米=10毫米，
这7天降雨量分别为10，10，10，10，10，10，10，
平均值为=265，
所以标准差变为.
故选：C
【点睛】
本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.
4．设随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用正态分布的方差可得的值，然后利用方差的性质可求得的值.
【详解】
，，由方差的性质可得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题.
5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.
【详解】
由题意，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，
，所以．
故选:A．
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．
6．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2B．19和3C．19和4D．19和8
【答案】C
【分析】
根据平均数和标准差的性质可得选项.
【详解】
解：∵，，…，的平均数为10，标准差为2，
∴，，…，的平均数为：，标准差为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.
7．已知样本，，…，的平均数为2，方差为5，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．4和10B．5和11C．5和21D．5和20
【答案】D
【分析】
利用平均数和方程的性质可算出答案.
【详解】
因为样本，，…，的平均数为2，方差为5，
所以，，…，的平均数为，方差为
故选：D
【点睛】
本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.
8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.
A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120
【答案】D
【分析】
根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项.
【详解】
设该同学次罚篮，命中次数为，则，
所以，，
所以该同学得分的期望为，
方差为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.
9．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于 ( )
A．16B．11
C．2.2D．2.3
【答案】A
【解析】
由表格可求，故，故选A．
10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】
根据数学期望以及方差的公式求解即可.
【详解】
设原来7个数分别为
由，则
由
则
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.
11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】
由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．
【详解】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.
故选：C.
【点睛】
本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．
12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），若甲、乙、丙都打中的概率是，设表示甲、乙两人中中靶的人数，则的数学期望是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】
根据题意可得，求出列出分布列，利用期望公式计算.
【详解】
，列出分布列，利用期望公式计算.
记的所有可能取值为0，1，2
故选：D.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，求解时注意概率的求解.
13．已知的分布列为
设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由条件算出，然后算出，然后可算出答案.
【详解】
由分布列的性质可得：，解得
所以
因为，所以
故选：C
【点睛】
本题考查的是分布列的性质和期望的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
14．随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】
由于，利用随机变量的分布列列式，求出和，由此可求出，再由，即可求出结果.
【详解】
根据题意，可知：，则，
，即：，
解得：，
，
，
则，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.
15．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）
A．这组新数据的平均不变B．这组新数据的平均数为am
C．这组新数据的方差为D．这组新数据的方差不变
【答案】D
【分析】
考查平均数和方差的性质，基础题．
【详解】
设这一组数据为，由，，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.
16．设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：
则当在内增大时（ ）
A．减小，增大B．减小，减小
C．增大，增大D．增大，减小
【答案】D
【分析】
求出，，从而，，，从而，由此得到当在内增大时，增大，减小．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
当在内增大时，增大，减小，
故选：D．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力．
17．若样本数据的方差为8，则数据的方差为（ ）
A．31B．15C．32D．16
【答案】B
【分析】
本题根据已知直接求方差即可.
【详解】
解：因为样本数据的方差为8，
所以数据的方差为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查数据同时乘除同一数对方差的影响，是基础题
18．已知数据的方差为，若，则新数据的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据方差的性质直接计算可得结果.
【详解】
由方差的性质知：新数据的方差为：.
故选：.
【点睛】
本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题.
19．若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（ ）
A．3和4B．3和2C．2和4D．2和2
【答案】D
【分析】
先由随机变量服从两点分布求出和，再根据性质求出和的值.
【详解】
随机变量服从两点分布，且，，
，，
，.
故选：D.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用，属于基础题.
20．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A．81.2，84.4B．78.8，4.4C．81.2，4.4D．78.8，75.6
【答案】C
【分析】
原来数据的平均数为,方差不改变，得到答案.
【详解】
原来数据的平均数为,方差不改变为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题【答案】D
【分析】
设数据、、、的平均数为，计算出数据、、、的平均数，利用方差公式可求得结果；或直接利用方差性质即可得出结论.
【详解】
解法一：设，由题意可得，
数据、、、的平均数为，
因此，数据、、、的方差为.
解法二：由，根据方差的性质得.
故选：D.
【点睛】
本题考查方差的计算，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
22．下列说法正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；
C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.
【答案】BD
【分析】
A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B．利用古典概型的概率公式进行判断.C．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可．
【详解】
A:设一组数据为,则每个数据都乘以同一个非零常数后,可得，
则，所以方差也变为原来的倍，故A不正确.
B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确.
C: 由，两个变量的线性相关性越强，，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.
D: 根据题意可得,
设
则，得，即
解得或（舍）
所以事件发生的概率为，故D正确.
故选：B D
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.
23．设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
由离散型随机变量X的分布列的性质求出，由此能求出，再由离散型随机变量Y满足，能求出和．
【详解】
解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：，
所以，
，
∴，，
故选：BD．
【点睛】
本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题.
24．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．已知随机变量X服从正态分布且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
【答案】ABD
【分析】
对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.
【详解】
对于选项设随机变量，
则，
所以选项A正确；
对于选项因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴是，
因为，所以，
所以，所以选项B正确；
对于选项，
，故选项C不正确；
对于选项由题意可知，，
，
由一次函数和二次函数的性质知，
当时，随着x的增大而减小，
随着x的增大而增大，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25．下列说法正确的有（ ）
A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，
B．若复数满足，则的最大值为6
C．4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法
D．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法
【答案】ABD
【分析】
根据离散型随机变量的数学期望和方差的性质即可知A正确；根据复数的几何意义可知B正确；根据先分组再分配的原则可知C错误，利用挡板法可知D正确
【详解】
解：对于A，因为离散型随机变量的数学期望为，方差为，所以，，所以A正确；
对于B，因为，所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，所以表示点与原点的距离，根据圆的几何性质可知，的最大值为，所以B正确；
对于C，4份不同的礼物分组的方式只有1，1，2，所以只有种情况，再分配给三人，有种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的方法，所以C错误；
对于D，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配1个名额，采用挡板法可知，共有种不同的分法，D正确，
故选：ABD
【点睛】
此题考查了离散型随机变量的数学期望和方差的性质的应用，复数的几何意义，以及排列组合问题，属于中档题
26．设随机变量的分布列为，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】
利用分布列的性质求，而，根据期望、方差公式即可求、、，进而可确定选项的正误.
【详解】
因为随机变量的分布列为，
由分布列的性质可知，，解得，
∴，A选项正确；
，即有，B选项正确；
，C选项正确
，D选项不正确.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力､数学运算核心素养.
27．已知随机变量的分布列是
随机变量的分布列是
则当在内增大时，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．增大D．先增大后减小
【答案】BC
【分析】
由，根据期望和方差的性质可得，；求出，，根据函数的性质即可判断．
【详解】
解：对于，，，故错误；
对于，，，故正确；
对于，，
当在内增大时，增大，故正确；
对于，，
，
当在内增大时，单调递增，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
28．一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为a，方差为b，则（ ）
A．a=7B．a=11C．b=12D．b=9
【答案】BD
【分析】
根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E(X)，D(X)，进而求得平均值a，方差b.
【详解】
的平均值为7，方差为4，
设，
，得E(X)=3，
D(2X+1)=4D(X)=4，则D(X)=1，
的平均值为a，方差为b，
a=E(3X+2)=3E(X)+2=11，
b=D(3X+2)=9D(X)=9.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.
三、填空题
29．已知一组数据的方差为5，则数据的方差为___．
【答案】45
【分析】
依据计算即可.
【详解】
由题意可得，数据的方差为：．
故答案为：45.
30．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为____________.
【答案】200
【分析】
设没有发芽的种子数为，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解.
【详解】
设没有发芽的种子数为，则有，
由题意可知服从二项分布，即,
则，所以.
故答案为：200.
31．已知随机变量的分布列为
若，则______．
【答案】
【分析】
根据变量间的关系计算新的均值．
【详解】
由概率分布列知．
．
【点睛】
本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．．
32．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望________.
【答案】
【分析】
利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值.
【详解】
由于离散型随机变量，，
又因为随机变量，由期望的性质可得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
33．随机变量的分布如下表，则_______.
【答案】13
【分析】
根据表格中的数据计算出，然后可得的值.
【详解】
因为
所以
故答案为：13
【点睛】
本题考查的是期望的算法和性质，较简单.
34．设随机变量的分布列为，为常数，则________．
【答案】3
【分析】
根据，由解得a，再利用期望公式结合性质求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
故．
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查随机变量的分布列和期望及其性质，属于基础题.
35．已知样本数据，，…，的均值，则样本数据，，…，的均值为______.
【答案】7
【分析】
利用平均数计算公式求解.
【详解】
∵数据，，…，的平均数为均值，
则样本数据，，…，的均值为：.
故答案为：7.
【点睛】
此题为基础题，考查样本数据平均数的求法.
36．设离散型随机变量可能取的值为，.又的均值，则______.
【答案】
【分析】
由概率之和为1得到一个方程，由得到第二个方程，建立方程组，从而得到结果.
【详解】
离散随机变量可能取的值为1,2,3，，
故的数学期望，
而且，
联立方程组，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式.
四、双空题
37．已知，随机变量X的分布列如图.若时，________；在p的变化过程中，的最大值为______.
【答案】 2
【分析】
由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得，进而可得，结合方差的性质即可得解.
【详解】
当时，；
在p的变化过程中，，
则
，
所以当时，，
所以.
故答案为：；2.
38．在一袋中有个大小相同的球，其中记上的有个，记上号的有个（＝，，，），现从袋中任取一球，表示所取球的标号，则______，若，且，则_____.
【答案】
【分析】
（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）先求出，化简即得解.
【详解】
（1）由题得；
（2）由题意知的可能取值为0，1，2，3，4，的分布列为：
，
因为，所以.
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
39．已知随机变量服从二项分布，，则________，________.
【答案】9 6
【分析】
由二项分布的期望公式求出．，再由数据变换间的关系求得新期望和方差．
【详解】
∵随机变量服从二项分布，
，
则．
故答案为9；6．
【点睛】
本题考查在二项分布的期望与方差公式，考查数据线性变换后期望与方差间的关系，属于基础题．
五、解答题
40．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.
【分析】
（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；
（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.
【详解】
（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
【点睛】
方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题步骤如下：
（1）判断随机变量的可能取值；
（2）说明随机变量取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；
（3）列表写出随机变量的分布列；
（4）利用期望公式求值
41．“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数：
通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人．
（Ⅰ）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．
【分析】
（Ⅰ）由题意得，在园人数为万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；
（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；
（Ⅲ）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．
【详解】
解：∵以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是万人，
∴在园人数为万人以下为“舒适”，
（Ⅰ）月日至日的下午时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，
∴甲同学遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，
∴的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，
∴，
，
，
∴的分布列为
∴的数学期望；
（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
0
1
2
1
2
3
4
P
m
-1
0
1
-1
1
-1
1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.2
q
－1
0
1
1
2
3
0
1
2
0
2
4
0.4
0.3
0.3
X
0
1
2
P
0
1
2
3
4
日
日
日
日
日
日
日
时在园人数
时在园人数
时在园人数
时在园人数
0
1
2
1．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若 (为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，由已知得新样本的均值为，方差为，标准差为，代入可得选项.
【详解】
设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，则新样本的均值为，方差为，标准差为，所以，，所以标准差为，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.
2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为，，重算时的平均数和方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次和第二次的结果，然后进行比较，得到结果.
【详解】
设这个班有n个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是，
被忘记登分的同学的分数为，
则
所以，
，
方差，
①
因为 ②
将①代入到②得：
故
故选：A
【点睛】
本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.
3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ）
A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米
【答案】C
【分析】
利用标准差公式即可求解.
【详解】
设这7天降雨量分别为，，，，，，
则
因为1厘米=10毫米，
这7天降雨量分别为10，10，10，10，10，10，10，
平均值为=265，
所以标准差变为.
故选：C
【点睛】
本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.
4．设随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用正态分布的方差可得的值，然后利用方差的性质可求得的值.
【详解】
，，由方差的性质可得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题.
5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.
【详解】
由题意，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，
，所以．
故选:A．
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．
6．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2B．19和3C．19和4D．19和8
【答案】C
【分析】
根据平均数和标准差的性质可得选项.
【详解】
解：∵，，…，的平均数为10，标准差为2，
∴，，…，的平均数为：，标准差为：．
故选：C．
【点睛】
本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.
7．已知样本，，…，的平均数为2，方差为5，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．4和10B．5和11C．5和21D．5和20
【答案】D
【分析】
利用平均数和方程的性质可算出答案.
【详解】
因为样本，，…，的平均数为2，方差为5，
所以，，…，的平均数为，方差为
故选：D
【点睛】
本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.
8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.
A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120
【答案】D
【分析】
根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项.
【详解】
设该同学次罚篮，命中次数为，则，
所以，，
所以该同学得分的期望为，
方差为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.
9．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于 ( )
A．16B．11
C．2.2D．2.3
【答案】A
【解析】
由表格可求，故，故选A．
10．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】
根据数学期望以及方差的公式求解即可.
【详解】
设原来7个数分别为
由，则
由
则
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.
11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】
由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．
【详解】
因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为，方差为，由平均数和方差的计算公式可得，.
故选：C.
【点睛】
本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．
12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（），若甲、乙、丙都打中的概率是，设表示甲、乙两人中中靶的人数，则的数学期望是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】
根据题意可得，求出列出分布列，利用期望公式计算.
【详解】
，列出分布列，利用期望公式计算.
记的所有可能取值为0，1，2
故选：D.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，求解时注意概率的求解.
13．已知的分布列为
设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由条件算出，然后算出，然后可算出答案.
【详解】
由分布列的性质可得：，解得
所以
因为，所以
故选：C
【点睛】
本题考查的是分布列的性质和期望的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
14．随机变量的分布列如表所示，若，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】
由于，利用随机变量的分布列列式，求出和，由此可求出，再由，即可求出结果.
【详解】
根据题意，可知：，则，
，即：，
解得：，
，
，
则，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.
15．一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）
A．这组新数据的平均不变B．这组新数据的平均数为am
C．这组新数据的方差为D．这组新数据的方差不变
【答案】D
【分析】
考查平均数和方差的性质，基础题．
【详解】
设这一组数据为，由，，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.
16．设，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：
则当在内增大时（ ）
A．减小，增大B．减小，减小
C．增大，增大D．增大，减小
【答案】D
【分析】
求出，，从而，，，从而，由此得到当在内增大时，增大，减小．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
当在内增大时，增大，减小，
故选：D．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力．
17．若样本数据的方差为8，则数据的方差为（ ）
A．31B．15C．32D．16
【答案】B
【分析】
本题根据已知直接求方差即可.
【详解】
解：因为样本数据的方差为8，
所以数据的方差为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查数据同时乘除同一数对方差的影响，是基础题
18．已知数据的方差为，若，则新数据的方差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据方差的性质直接计算可得结果.
【详解】
由方差的性质知：新数据的方差为：.
故选：.
【点睛】
本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题.
19．若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（ ）
A．3和4B．3和2C．2和4D．2和2
【答案】D
【分析】
先由随机变量服从两点分布求出和，再根据性质求出和的值.
【详解】
随机变量服从两点分布，且，，
，，
，.
故选：D.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用，属于基础题.
20．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A．81.2，84.4B．78.8，4.4C．81.2，4.4D．78.8，75.6
【答案】C
【分析】
原来数据的平均数为,方差不改变，得到答案.
【详解】
原来数据的平均数为,方差不改变为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21．若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题【答案】D
【分析】
设数据、、、的平均数为，计算出数据、、、的平均数，利用方差公式可求得结果；或直接利用方差性质即可得出结论.
【详解】
解法一：设，由题意可得，
数据、、、的平均数为，
因此，数据、、、的方差为.
解法二：由，根据方差的性质得.
故选：D.
【点睛】
本题考查方差的计算，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
22．下列说法正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；
C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.
【答案】BD
【分析】
A.根据数据的变化与方差的定义进行判断.B．利用古典概型的概率公式进行判断.C．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可．
【详解】
A:设一组数据为,则每个数据都乘以同一个非零常数后,可得，
则，所以方差也变为原来的倍，故A不正确.
B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为，故B正确.
C: 由，两个变量的线性相关性越强，，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.
D: 根据题意可得,
设
则，得，即
解得或（舍）
所以事件发生的概率为，故D正确.
故选：B D
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.
23．设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
由离散型随机变量X的分布列的性质求出，由此能求出，再由离散型随机变量Y满足，能求出和．
【详解】
解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：，
所以，
，
∴，，
故选：BD．
【点睛】
本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题.
24．下列说法中正确的是（ ）
A．设随机变量X服从二项分布，则
B．已知随机变量X服从正态分布且，则
C．；
D．已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大
【答案】ABD
【分析】
对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.
【详解】
对于选项设随机变量，
则，
所以选项A正确；
对于选项因为随机变量，
所以正态曲线的对称轴是，
因为，所以，
所以，所以选项B正确；
对于选项，
，故选项C不正确；
对于选项由题意可知，，
，
由一次函数和二次函数的性质知，
当时，随着x的增大而减小，
随着x的增大而增大，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25．下列说法正确的有（ ）
A．若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，
B．若复数满足，则的最大值为6
C．4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法
D．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法
【答案】ABD
【分析】
根据离散型随机变量的数学期望和方差的性质即可知A正确；根据复数的几何意义可知B正确；根据先分组再分配的原则可知C错误，利用挡板法可知D正确
【详解】
解：对于A，因为离散型随机变量的数学期望为，方差为，所以，，所以A正确；
对于B，因为，所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，所以表示点与原点的距离，根据圆的几何性质可知，的最大值为，所以B正确；
对于C，4份不同的礼物分组的方式只有1，1，2，所以只有种情况，再分配给三人，有种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的方法，所以C错误；
对于D，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配1个名额，采用挡板法可知，共有种不同的分法，D正确，
故选：ABD
【点睛】
此题考查了离散型随机变量的数学期望和方差的性质的应用，复数的几何意义，以及排列组合问题，属于中档题
26．设随机变量的分布列为，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】
利用分布列的性质求，而，根据期望、方差公式即可求、、，进而可确定选项的正误.
【详解】
因为随机变量的分布列为，
由分布列的性质可知，，解得，
∴，A选项正确；
，即有，B选项正确；
，C选项正确
，D选项不正确.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力､数学运算核心素养.
27．已知随机变量的分布列是
随机变量的分布列是
则当在内增大时，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．增大D．先增大后减小
【答案】BC
【分析】
由，根据期望和方差的性质可得，；求出，，根据函数的性质即可判断．
【详解】
解：对于，，，故错误；
对于，，，故正确；
对于，，
当在内增大时，增大，故正确；
对于，，
，
当在内增大时，单调递增，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
28．一组数据的平均值为7，方差为4，记的平均值为a，方差为b，则（ ）
A．a=7B．a=11C．b=12D．b=9
【答案】BD
【分析】
根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E(X)，D(X)，进而求得平均值a，方差b.
【详解】
的平均值为7，方差为4，
设，
，得E(X)=3，
D(2X+1)=4D(X)=4，则D(X)=1，
的平均值为a，方差为b，
a=E(3X+2)=3E(X)+2=11，
b=D(3X+2)=9D(X)=9.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简单应用，属于基础题.
三、填空题
29．已知一组数据的方差为5，则数据的方差为___．
【答案】45
【分析】
依据计算即可.
【详解】
由题意可得，数据的方差为：．
故答案为：45.
30．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望为____________.
【答案】200
【分析】
设没有发芽的种子数为，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解.
【详解】
设没有发芽的种子数为，则有，
由题意可知服从二项分布，即,
则，所以.
故答案为：200.
31．已知随机变量的分布列为
若，则______．
【答案】
【分析】
根据变量间的关系计算新的均值．
【详解】
由概率分布列知．
．
【点睛】
本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．．
32．已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望________.
【答案】
【分析】
利用二项分布的数学期望公式计算出的值，然后利用期望的性质可求得的值.
【详解】
由于离散型随机变量，，
又因为随机变量，由期望的性质可得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算能力，属于基础题.
33．随机变量的分布如下表，则_______.
【答案】13
【分析】
根据表格中的数据计算出，然后可得的值.
【详解】
因为
所以
故答案为：13
【点睛】
本题考查的是期望的算法和性质，较简单.
34．设随机变量的分布列为，为常数，则________．
【答案】3
【分析】
根据，由解得a，再利用期望公式结合性质求解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
故．
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查随机变量的分布列和期望及其性质，属于基础题.
35．已知样本数据，，…，的均值，则样本数据，，…，的均值为______.
【答案】7
【分析】
利用平均数计算公式求解.
【详解】
∵数据，，…，的平均数为均值，
则样本数据，，…，的均值为：.
故答案为：7.
【点睛】
此题为基础题，考查样本数据平均数的求法.
36．设离散型随机变量可能取的值为，.又的均值，则______.
【答案】
【分析】
由概率之和为1得到一个方程，由得到第二个方程，建立方程组，从而得到结果.
【详解】
离散随机变量可能取的值为1,2,3，，
故的数学期望，
而且，
联立方程组，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式.
四、双空题
37．已知，随机变量X的分布列如图.若时，________；在p的变化过程中，的最大值为______.
【答案】 2
【分析】
由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得，进而可得，结合方差的性质即可得解.
【详解】
当时，；
在p的变化过程中，，
则
，
所以当时，，
所以.
故答案为：；2.
38．在一袋中有个大小相同的球，其中记上的有个，记上号的有个（＝，，，），现从袋中任取一球，表示所取球的标号，则______，若，且，则_____.
【答案】
【分析】
（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）先求出，化简即得解.
【详解】
（1）由题得；
（2）由题意知的可能取值为0，1，2，3，4，的分布列为：
，
因为，所以.
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
39．已知随机变量服从二项分布，，则________，________.
【答案】9 6
【分析】
由二项分布的期望公式求出．，再由数据变换间的关系求得新期望和方差．
【详解】
∵随机变量服从二项分布，
，
则．
故答案为9；6．
【点睛】
本题考查在二项分布的期望与方差公式，考查数据线性变换后期望与方差间的关系，属于基础题．
五、解答题
40．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.
【分析】
（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；
（2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论.
【详解】
（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
【点睛】
方法点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题步骤如下：
（1）判断随机变量的可能取值；
（2）说明随机变量取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；
（3）列表写出随机变量的分布列；
（4）利用期望公式求值
41．“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在时，时，时，时公布实时在园人数．下表记录了月日至日的实时在园人数：
通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是万人．
（Ⅰ）甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从月日至日中任选两天，记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据月日至日每天时的在园人数，判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．
【分析】
（Ⅰ）由题意得，在园人数为万人以下为“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；
（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；
（Ⅲ）根据方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．
【详解】
解：∵以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是万人，
∴在园人数为万人以下为“舒适”，
（Ⅰ）月日至日的下午时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，
∴甲同学遇上“舒适”的概率；
（Ⅱ）从月日至日中，这个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，
∴的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，
∴，
，
，
∴的分布列为
∴的数学期望；
（Ⅲ）从10月3日开始连续三天时的在园人数的方差最大．
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．
X
0
2
4
P
0.3
0.2
0.5
0
1
2
1
2
3
4
P
m
-1
0
1
-1
1
-1
1
X
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.2
q
－1
0
1
1
2
3
0
1
2
0
2
4
0.4
0.3
0.3
X
0
1
2
P
0
1
2
3
4
日
日
日
日
日
日
日
时在园人数
时在园人数
时在园人数
时在园人数
0
1
2
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