初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式当堂检测题

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初二数学人教版下册春季班

第1讲 二次根式


知识点1 二次根式的概念
二次根式的概念：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：①“ ”称为二次根号；
②a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
例1 （2020秋•汝阳县期末）无论x取任何实数，下列一定是二次根式的是（　　）
A．−x−2 B．x C．x2+2 D．x2−2
【解答】解：A、−x−2，根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
B、x，根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
C、x2+2，根号下部分不可能小于零，故此选项正确；
D、x2−2，根号下部分有可能小于零，故此选项错误．
故选：C．
【方法总结】
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
例2 （2020春•荔湾区月考）下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A．a B．−2 C．a+2 D．a2+1
【解答】解：A、当a＜0时，a不是二次根式；
B、∵﹣2＜0，∴−2不是二次根式；
C、当a＜﹣2时，a+2＜0，a+2不是二次根式；
D、∵a2+1＞0，∴a2+1一定是二次根式．
故选：D．
【方法总结】
本题考查的是二次根式的定义，把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
【随堂练习】
1．（2020春•历城区校级月考）下列各式一定是二次根式的是（　　）
A．−9 B．38m C．1+x2 D．（a+b）2
【解答】解：A、﹣9＜0，它不是二次根式，故本选项不合题意；
B、它开3次方，该式子不是二次根式，故本选项不合题意；
C、x取任意实数，x2+1≥1，1+x2是二次根式，故本选项符合题意；
D、（a+b）2没有开平方，该式子不是二次根式，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（2020秋•南阳月考）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　）
A．x2−3 B．1(x+1)2 C．x2+2x D．x2+1
【解答】解：A、当x＝1时，x2−3不是二次根式，不符合题意；
B、当x＝﹣1时，1(x+1)2不是二次根式，不符合题意；
C、当x＝﹣1时，x2+2x不是二次根式，不符合题意；
D、x为任意实数，x2+1是二次根式，符合题意；
故选：D．


知识点2 二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
【典例】
例1 （2020春•历城区校级月考）若式子1x2−4+x+2有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2，且x≠2 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2，且x≠2
【解答】解：根据题意，得x+2≥0且x2﹣4≠0．
解得x＞﹣2且x≠2．
故选：D．
【方法总结】
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
例2 （2020秋•沙坪坝区校级月考）要使式子x−1+2x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1且x≠2 B．x≥1且x≠2 C．x＞2 D．1＜x＜2
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，且x﹣1≥0，
解得：x≥1且x≠2，
故选：B．
【方法总结】
此题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．

【随堂练习】
1．（2020秋•石鼓区校级月考）若代数式m+1mn有意义，则点（m，n）在平面直角坐标系中的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由题意得，m≥0，mn＞0，
则m＞0，n＞0，
∴点（m，n）在第一象限，
故选：A．
2．（2020秋•大东区期中）若x，y为实数，且3x−1+1−3x+y＝6，则xy的值为（　　）
A．0 B．13 C．2 D．不能确定
【解答】解：由题意可知：3x−1≥01−3x≥0，
∴x=13，
∴y＝6，
∴xy=13×6＝2，
故选：C．
3．（2020秋•重庆期末）若式子x+1x有意义，则实数的取值范围是　x≥﹣1且x≠0　．
【解答】解：∵x+1x式子有意义，
∴x+1≥0，x≠0，
解得：x≥﹣1且x≠0．
故答案为：x≥﹣1且x≠0．

知识点3 二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0； a≥0（双重非负性）．
②(a)²=a（a≥0）．
③a2=|a|=&a(a≥0)&−a(a＜0)
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b (a≥0，b≥0)，ab=ab (a≥0，b＞0)
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【典例】
例1 （2020秋•乐亭县期末）若(3−x)2=x﹣3成立，则满足的条件是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3
【解答】解：∵(3−x)2=x﹣3成立，
∴x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故选：C．
【方法总结】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
例2 （2020秋•长安区期中）下列计算结果正确的是（　　）
A．4=±2 B．（−2）2＝2 C．|5−3|=5−3 D．3−8=±2
【解答】解：A.4=2，故本选项不符合题意；
B．（−2）2＝2，故本选项符合题意；
C．|5−3|＝3−5，故本选项不符合题意；
D.3−8=−2，故本选项不符合题意；
故选：B．
【方法总结】
本题考查了算术平方根，绝对值，二次根式的性质与化简和立方根的定义等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•德惠市期末）使(x−1)2=1﹣x成立的x的取值范围是　x≤1　．
【解答】解：∵(x−1)2=|x﹣1|，
∴|x﹣1|＝1﹣x，
∴x﹣1≤0，即x≤1．
故答案为x≤1．
2．（2020•虹口区二模）化简：(1−3)2=　3−1　．
【解答】解：因为3＞1，
所以(1−3)2=3−1
故答案为：3−1．
3．（2020秋•南关区校级期中）若(b−3)2=b﹣3，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【解答】解：由于(b−3)2=b﹣3≥0，
∴b≥3，
故选：C．
知识点4 二次根式的乘除法
1．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．
2．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（−4）×（−9）≠（﹣4）×（﹣9）；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
3．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①1a=1a×a∙a=aa；②1a+b=a−b(a+b)∙(a+b)=a−ba−b．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．
【典例】
例1 （2020秋•乐亭县期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A．12 B．12 C．45 D．5
【解答】解：A、12=22，不是最简二次根式，不符合题意；
B、12=22，不是最简二次根式，不符合题意；
C、45=35，不是最简二次根式，不符合题意；
D、5，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【方法总结】
本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
例2（2020秋•普陀区期中）下列等式中，对于任何实数a、b都成立的（　　）
A．ab=a•b B．ba=ba C．a2=a D．a4=a2
【解答】解：（A）当a＜0，b＜0，此时a与b无意义，故A错误．
（B）当a＜0，b＜0，此时a与b无意义，故B错误．
（C）当，a＜0，此时a2=−a，故C错误．
（D）由于a4≥0，a2≥0，所以a4=a2，故D正确．
故选：D．
【方法总结】
本题考查二次根式，解题的关键是正确二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
例3（2020秋•碑林区校级期中）下列各数中，与3的积仍为无理数的是（　　）
A．127 B．18 C．43 D．112
【解答】解：A、127×3=19=13，两数之积是有理数，不合题意；
B、18×3=32×3=36，是无理数，符合题意；
C、43×3=4=2，两数之积是有理数，不合题意；
D、112×3=12，两数之积是有理数，不合题意；
故选：B．
【方法总结】
此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
例4 （2020秋•浦东新区月考）计算：24×412÷48．
【解答】解：原式＝26×4×22÷43
＝83÷43
＝2．
【方法总结】
此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
例5 （2020秋•嘉定区期中）计算：25x2y•54xy÷121x．
【解答】解：原式=25×54×2x2y⋅xy⋅x
=x4
＝x2．
例6（2020秋•崇川区校级月考）若，，则与关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了分母有理化问题，要熟练掌握，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

【方法总结】
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020春•荔湾区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A．25 B．7 C．13 D．12
【解答】解：A、25=5，故此选项错误；
B、7是最简二次根式，故此选项正确；
C、13=33，故此选项错误；
D、12=23，故此选项错误；
故选：B．

2．（2020秋•罗湖区校级期中）下列运算正确的是（　　）
A．2•3=5 B．93×127=3 C．6×2=12 D．24•32=6
【解答】解：A、2•3=6，故此选项错误；
B、93×127=919=9×13=3，故此选项错误；
C、6×2=23，故此选项错误；
D、24•32=36=6，故此选项正确；
故选：D．
3．（2020春•云县期中）下列计算中，正确的是（　　）
A．(−3)2=±3 B．27÷3=9
C．12=22 D．8×62=4×3
【解答】解：（A）原式＝3，故A错误．
（B）原式=9=3，故B错误．
（D）原式=8×3=26，故D错误．
故选：C．
4．（2020春•庆云县期中）23÷223×25．
【解答】解：原式=23×38×25=110=1010．

5．（2020秋•九龙县期末）实数的整数部分　2　，小数部分　　．
【解答】解：，
，，
，即实数的整数部分，
则小数部分为．
故答案为：2；．

知识点5 二次根式的加减法
1．同类二次根式
同类二次根式的定义：
　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【典例】
例1 （2020秋•乐亭县期末）下列二次根式中，不能与3合并的是（　　）
A．12 B．8 C．48 D．108
【解答】解：A、12=23，能与3合并，故此选项不符合题意；
B、8=22与3不是同类二次根式，不能与3合并，故此选项符合题意；
C、48=43，能与3合并，故此选项不符合题意；
D、108=63，能与3合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
【方法总结】
本题考查了同类二次根式．解题的关键是掌握同类二次根式的定义，化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式．
例2（2020春•江岸区校级月考）（1）27−67；
（2）（24+0.5）﹣（18−6）．
【解答】解：（1）原式＝﹣47；

（2）原式＝26+22−24+6
＝36+24．
【方法总结】
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
例3 （2020秋•沙坪坝区校级月考）计算：245+545+5280．
【解答】解：245+545+5280
＝2×35+5×255+52×45
＝65+25+105
＝185．
【方法总结】
本题考查二次根式的加减法，掌握二次根式加减法的计算法则是正确计算的前提．

【随堂练习】
1．（2020秋•沙坪坝区校级月考）下列二次根式与23是同类二次根式的是（　　）
A．32 B．8 C．6 D．123
【解答】解：A、32与23被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、8=22与23被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、6与23被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、123与23被开方数相等，是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2020秋•静安区校级期中）下列各组中的两个式子，不是同类二次根式的是（　　）
A．12与8 B．50与150 C．24与23 D．54与45
【解答】解：A、12=22，8=22，故A是同类二次根式；
B、50=52，150=210，故B是同类项二次根式；
C、24=26，23=63，故C是同类二次根式；
D、54=36，45=35，故D不是同类二次根式；
故选：D．
3．（2020秋•雨花区校级月考）下列计算正确的是（　　）
A．2+3=5 B．4+2=42 C．9−3=6 D．27−12=3
【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；
B、4与2不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝3−3，所以C选项错误；
D、原式＝33−23=3，所以D选项正确．
故选：D．
4．（2020春•晋中月考）计算45+20的结果是（　　）
A．65 B．565 C．55 D．510
【解答】解：45+20=35+25=55，
故选：C．

知识点6 二次根式化简求值
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【典例】
例1 （2020春•蔡甸区校级月考）化简并求值：25xy+xyx−4yxy−1yxy3，其中x＝1，y＝2．
【解答】解：原式＝5xy+x×xyx−4y×xyy−1y×yxy
＝5xy+xy−4xy−xy
=xy，
当x＝1，y＝2时，原式=1×2=2．
【方法总结】
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
例2（2020秋•青羊区校级月考）已知x=5+3，y=5−3，求x2+xy+y2的值．
【解答】解：∵x=5+3，y=5−3，
∴x+y＝（5+3）+（5−3）＝25，xy＝（5+3）（5−3）＝5﹣3＝2，
∴x2+xy+y2
＝x2+2xy+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣xy
＝（25）2﹣2
＝20﹣2
＝18．
【方法总结】
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘方法则、完全平方公式是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•锦江区校级期中）已知x=6−2，y=6+2，求x2+3xy+y2的值．
【解答】解：∵x=6−2，y=6+2，
∴x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（6−2+6+2）2+（6−2）（6+2）
＝24+6﹣2
＝28．
2．（2020秋•青羊区校级期中）已知a=13−2，b=13+2．
（1）求a2﹣b2的值；
（2）求a2﹣ab+b2．
【解答】解：（1）∵a=13−2=3+2，b=13+2=3−2，
∴a+b＝23，a﹣b＝22，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝23×22
＝46；
（2））∵a=13−2=3+2，b=13+2=3−2，
∴a﹣b＝22，ab＝1，
∴a2﹣ab+b2
＝（a﹣b）2+ab
＝（22）2+1
＝8+1
＝9．



综合运用
1．（2020春•丛台区校级月考）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（　　）
A．3与18 B．63与28 C．0.5与23 D．12与72
【解答】解：A、∵18=32，
∴3与18不属于同类二次根式；
B、∵63=37，28=27，
∴63与28属于同类二次根式；
C、∵0.5=12=22，23=63，
∴0.5与23不属于同类二次根式；
D、∵12=23，72=62，
∴12与72不属于同类二次根式；
故选：B．
2．（2020春•兰陵县期末）若a＝2+3，b＝2−3，则ab＝（　　）
A．1 B．2 C．2 D．22
【解答】解：∵a＝2+3，b＝2−3，
∴ab＝（2+3）（2−3）
＝4﹣3
＝1．
故选：A．
3．（2020春•广陵区校级期中）当x　＞13　时，−11−3x是二次根式．
解：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0可知：﹣（1﹣3x）＞0即x＞13，
所以自变量x的取值范围是x＞13．
4．（2020春•微山县期末）计算：(0.5+24)−(18−6)．
【解答】解：原式=22+26−24+6
=24+36．

5．（2020春•崇川区校级期末）已知a、b满足b=a+2+−2a−4+4，求3b﹣2a的平方根．
【解答】解：∵a+2和−2a−4都有意义，
∴a+2≥0且﹣2a﹣4≥0，
解得：a＝﹣2，
故b＝4，
则3b﹣2a＝16，
故3b﹣2a的平方根是：±4．
6．（2020秋•大同区校级期中）当x的取值范围是不等式组3x−4＞01−12x≥0的解，试化简：（|1−2x|）2+x2−6x+9−x．
【解答】解：3x−4＞0①1−12x≥0②，
解不等式①，得
x＞43；
解不等式②，得
x≤2；
∴x的取值范围是43＜x≤2，
∴1﹣2x＜0，x﹣3＜0，
∴（|1−2x|）2+x2−6x+9−x
＝|1﹣2x|+|x﹣3|﹣x
＝2x﹣1﹣x+3﹣x
＝2．
7．（2020秋•新都区月考）已知：a=3+2，b=3−2，求代数式（a﹣3）（b﹣3）﹣（a2+b2）的值．
【解答】解：∵a=3+2，b=3−2，
∴a+b=3+2+3−2＝23，ab＝（3+2）（3−2）＝3﹣4＝﹣1，
则（a﹣3）（b﹣3）﹣（a2+b2）
＝ab﹣3a﹣3b+9﹣[（a+b）2﹣2ab]
＝ab﹣3（a+b）+9﹣[（a+b）2﹣2ab]
＝﹣1﹣63+9﹣（12+2）
＝﹣1﹣63+9﹣14
＝﹣63−6．
8．（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：


以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简
（2）化简．
（3）化简：．
【解答】解：（1）
（2）化简
（3）化简：




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