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    初二数学人教版春季班 第5讲 特殊的平行四边形--基础班 试卷

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    初二数学人教版下册春季班5  特殊的平行四边形 知识点1:矩形1.矩形的性质:1)矩形具备平行四边形的所有性质;2)矩形的四个角都是直角;3)矩形的对角线平分且相等4)矩形是轴对称图形,它有两条对称轴;它也是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点。2.矩形的判定定理:1)有一个角是直角的平行四边形是矩形
    2)对角线相等的平行四边形是矩形
    3)有三个角是直角的四边形是矩形【典例】1 2020秋•和平区期末)如图,在矩形中,两条对角线相交于点,则的长为  A5 B C D【解答】解:矩形中,两条对角线相交于点故选:方法总结本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用,解决问题的关键是掌握:矩形的对角线相等且互相平分.2 2020秋•金塔县期末)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是  A.对角线互相平分 B.对角相等 C.对边相等 D.对角线相等【解答】解:、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的.,故本选项不符合;、矩形、平行四边形的对角都是相等的,故本选项不符合;、矩形、平行四边形的对边都是相等的,故本选项不符合;、矩形的对角线相等,平行四边形的对角线不一定相等,故本选项符合;故选:方法总结本题考查矩形的性质,矩形具有平行四边形的性质,又具有自己的特性,要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质.如,矩形的对角线相等.3 2020秋•南海区月考)如图,矩形的对角线,求的长.【解答】解:四边形是矩形,是等边三角形,方法总结本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明是等边三角形是解决问题的关键.4 2020秋•沈北新区期末)如图,△ABC中,ACBCCDAB于点D,四边形DBCE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.【解答】证明:∵ACBCCDAB∴∠ADC90°,ADBD∵在DBCE中,ECBDECBDECADECAD∴四边形ADCE是平行四边形.又∵∠ADC90°,∴四边形ADCE是矩形.方法总结考查了矩形的判定,平行四边形的性质,等腰三角形的性质.主要运用了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法,解题的关键是牢记矩形的三种判定方法,难度不大.5 2020秋•宁化县月考)已知:如图,在ABCD中,ACBD是它的两条对角线,ACDB.求证:ABCD是矩形.【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,ABCDABCD在△ABC和△DCB中,∴△ABC≌△DCBSSS),∴∠ABC=∠DCBABCD∴∠ABC+DCB180°,∴∠ABC=∠DCB90°,ABCD是矩形.方法总结本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质,证明三角形全等是解题的关键.【随堂练习】1.(2020秋•宝安区期末)如图,在矩形中,对角线交于点,若,那么的度数是  A B C D【解答】解:矩形中,对角线相交于点故选:2.(2020秋•铁西区期中)如图,矩形的对角线相交于点,若,求的度数.【解答】解:四边形是矩形,是等边三角形,3.(2020春•临泉县期末)如图,点分别是矩形的边上的一点,且.求证:【解答】证明:四边形是矩形,中,4.(2020春•原州区期末)如图,矩形的对角线相交于点是等边三角形,且,求矩形的面积.【解答】解:四边形是矩形,是等边三角形,矩形的面积5.(2020春•邵阳县期末)如图,在ABCD中,BECD,点E为垂足,AFCE,求证:四边形BEDF是矩形.【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,ABCDABCDAFCEFBED∴四边形BEDF是平行四边形,BECD∴∠BED90°.∴四边形BEDF是矩形.6.(2020春•余干县校级期末)已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,CEBDAD的延长线于点ECEAC.求证:四边形ABCD是矩形.【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,AEBCCEBD∴四边形BCED是平行四边形,CEBDCEACACBD∴四边形ABCD是矩形. 知识点2:菱形1.菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;2.菱形的性质:(1)菱形具有平行四边形的所有性质;           2)菱形的四边都相等;           3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;           4)菱形是轴对称图形,也是中心对称图形;菱形的面积公式:菱形的面积等于对角线乘积的一半。3.菱形的判定定理:1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;2)对角线垂直的平行四边形是菱形;3)四边相等的四边形是菱形;【典例】1 2020秋•西城区校级月考)下列条件中,不能判定一个四边形是菱形的是  A.一组邻边相等的平行四边形 B.一条对角线平分一组对角的四边形 C.四条边都相等的四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形【解答】解:一组邻边相等的平行四边形是菱形,选项不符合题意;一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形,选项符合题意;四边相等的四边形是菱形,选项不符合题意;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,选项不符合题意;故选:方法总结此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的性质,关键是熟练掌握菱形的判定定理. 2 2020春•南关区校级月考)如图,在菱形中,为对角线上的点,且.若,则的大小是  A B C D【解答】解:四边形是菱形,故选:方法总结本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.32020秋•天桥区期中)如图,在菱形中,.求证:【解答】证明:如图,连接四边形是菱形,方法总结本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质.4 2020秋•瓜州县期末)如图,在中,,点分别是的中点,连接.求证:四边形是菱形.【解答】证明:分别是的中点,四边形是平行四边形,四边形是菱形;方法总结本题考查了菱形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形的中位线的性质,熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键.5 2020秋•金塔县期末)在中,的中点,的中点,过点的延长线于点1)求证:2)证明四边形是菱形.【解答】证明:(1的中点,边上的中线,中,2)由(1)知,,则四边形是平行四边形,的中点,的中点,四边形是菱形.方法总结本题考查了全等三角形的性质和判定,平行四边形的判定,菱形的判定的应用,主要考查学生的推理能力. 【随堂练习】1.(2020春•青山区校级月考)如图,在菱形中,对角线,则菱形的周长为  A24 B30 C36 D18【解答】解:在菱形中,是等边三角形,菱形的周长故选:2.(2020秋•莲湖区期中)菱形的边长是,一条对角线的长是,则此菱形的面积为  A B C D【解答】解:如图所示:菱形的边长为,对角线此菱形的面积为故选:3.(2020•惠安县模拟)如图,四边形是菱形,点是对角线上一点,求证:【解答】证明:四边形是菱形,中,4.(2020春•湖州月考)已知:如图,在四边形中,的中点.求证:四边形是菱形.【解答】证明:的中点,四边形是平行四边形,的中点,四边形是菱形.5.(2020春•沙坪坝区校级月考)如图,在四边形中,,点的中点.求证:四边形是菱形.【解答】证明:,点的中点,四边形是平行四边形,四边形是菱形.知识点3:正方形1.正方形的性质:1)正方形的四边都相等,四个角都是90°2)正方形的对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。2.正方形的判定方法:1)有一组邻边相等的矩形是正方形;2)有一个内角是直角的菱形是正方形;3)对角线互相垂直的矩形是正方形;4)对角线相等的菱形是正方形;5)邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形;6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;7)有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形.【典例】1 2020•越秀区校级二模)如图所示,点在正方形的对角线上,求证:【解答】证明:四边形是正方形,中,方法总结本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是关键.2 2020秋•和平区期末)如图,若在正方形中,点边上一点,点延长线上一点,且,则之间有怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.【解答】解:,理由如下:如图,延长于点四边形是正方形,中,方法总结本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握正方形的性质.3 2020春•南关区校级月考)如图,在矩形中,点在边上,连结,将矩形沿折叠,点的对称点落在边上,连结.求证:四边形是正方形.【解答】证明:四边形是矩形,由折叠,得四边形是矩形.四边形是正方形.方法总结此题考查正方形的判定,关键是根据矩形的性质和判定以及正方形的判定解答.42020春•阳西县期末)如图,在矩形中,,菱形的三个顶点分别在矩形的边上,.求证:四边形为正方形.【解答】解:四边形为矩形,四边形为菱形,,又四边形为正方形.方法总结本题考查了正方形的判定,矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确的识别图形.【随堂练习】1.(2020春•越秀区校级期中)如图,在正方形中,点上的一点,点延长线上的一点,且,连结.求证:【解答】证明:四边形是正方形,中,2.(2020秋•兰州期中)如图,在正方形中,点为对角线上一点,连接.求证:【解答】证明:正方形中,,即3.(2020春•岱岳区期末)已知:如图,在矩形中,平分平分.求证:四边形是正方形.【解答】证明:四边形是平行四边形,在矩形中,平分平分四边形是正方形. 综合运用1.(2020秋•荥阳市期中)如图,菱形对角线交于点,过点的延长线于点.若菱形的面积为4,则菱形的边长为  A B2 C D4【解答】解:四边形是菱形,菱形的面积(负值舍去),则菱形的边长为故选: 2.(2020秋•河南期中)如图,菱形的对角线相交于点为过点的一条直线,则图中阴影部分的面积为  A4 B6 C8 D12【解答】解:四边形为菱形,故选: 3.(2020秋•兴庆区校级期中)如图,矩形的对角线相交于点,若,则四边形的周长是 16 【解答】解:四边形是矩形,四边形是平行四边形,四边形是菱形,四边形的周长故答案为164.(2020•聊城)如图,在ABCD中,EBC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BFAC,若ADAF,求证:四边形ABFC是矩形.【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,ABCD∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCEEBC的中点,EBEC∴△ABE≌△FCEAAS),ABCFABCF∴四边形ABFC是平行四边形,ADBCADAFBCAF∴四边形ABFC是矩形.5.(2020秋•陆川县期中)如图,已知矩形的边长的中点,在边上取点使,过点于点1)求证:2)求的长.【解答】1)证明:在矩形中,2)解:连结四边形是矩形,是等腰三角形,中点,中,6.(2020秋•城关区校级月考)已知:如图,中,边上一个动点,连接,作,作于点,连接交于点1)求证:2)若四边形是菱形,求菱形的面积.【解答】1)证明:四边形是平行四边形,2)解:四边形是菱形,,则中,由勾股定理得:解得:菱形的面积 7.(2020秋•郫都区校级月考)如图,矩形的对角线交于点,延长到点,使,连接1)求证:四边形是平行四边形;2)连接,若,求的长.【解答】解:(1四边形是矩形,四边形是平行四边形.2)如图所示,过四边形是矩形,的中点,的中点,的中位线,中, 8.(2020秋•皇姑区期末)如图,在平行四边形中,点的中点,连接并延长,交延长线于点,连接1)求证:四边形是平行四边形;2)若,则当 90 时,四边形是菱形.【解答】1)证明:四边形为平行四边形,的中点,中,四边形是平行四边形;2)解:当时,四边形是菱形,理由如下:四边形是平行四边形,四边形是菱形,故答案为:909.(2020春•莒县期末)如图,是正方形的对角线上的两点,且1)求证:四边形是菱形;2)若正方形边长为3,求菱形的面积.【解答】解:(1)证明:四边形是正方形,同理四边形是平行四边形,平行四边形是菱形.2)连接,如图所示:正方形的边长为3中,10.(2020秋•山西月考)如图,在正方形中,点分别在上,,连接1)求证:为等腰三角形.2)过点,过点,判断四边形是什么特殊四边形,并证明你的结论.【解答】解:(1)证明:四边形是正方形,中,三角形是等腰三角形;2)四边形是菱形.理由如下:四边形是平行四边形,由(1)知平行四边形是菱形.11.(2020春•卫滨区校级月考)如图,中,边上的一点,的中点,过点的平行线交的延长线于,且,连接1)如果,试猜想四边形的形状,并证明你的结论;2满足什么条件时四边形为正方形,并证明你的结论.【解答】解:(1)四边形为矩形,理由如下:四边形为平行四边形,的中点,平行四边形为矩形;2)当为等腰直角三角形时,四边形为正方形;理由:为等腰直角三角形,中点,平行四边形为矩形,矩形为正方形.    

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