初中数学人教版七年级下册9.3 一元一次不等式组精练

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第10讲 不等式及不等式组


知识点1 不等式
1．不等式的定义
不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
注意：凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：
①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
3．不等式的解和解集
（1）不等式的解的：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【典例】
例1（2020春•槐荫区月考）济南春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：济南当日气温的变化范围是：，
故选：．
例2 （2020秋•三水区校级月考）据某市日报报道，2018年9月18日该市的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：某日该市最高气温是，最低气温是，
当天该市气温的变化范围是：．
故选：．
例3（2020春•南岗区校级月考）若，则下列式子错误的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、在不等式的两边同时加上1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
、在不等式的两边同时除以3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意．
、在不等式的两边同时乘以，再加上1，不等号方向改变，即，故本选项符合题意．
故选：．
【方法总结】
1．不等式的判定方法
用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．
2．不等式的基本性质
①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．判断某个数是否为不等式的解法思路
将某个数代入不等式，如果不等式成立，那么这个数是该不等式的解；否则，这个数不是不等式的解．
4．求不等式的解集的依据
解不等式的依据是不等式的基本性质，要熟练掌握不等式的基本性质．
【随堂练习】
1．（2020春•丛台区校级期中）式子①②③④⑤⑥中，属于不等式的有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①是二元一次方程；
②是不等式；
③是代数式；
④是代数式；
⑤是不等式；
⑥是不等式；
属于不等式的共3个，
故选：．
2．（2020春•巴州区校级期中）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①，②，⑤，⑥是不等式，共4个，
故选：．
3．（2020秋•西湖区校级期中）下列不等式说法中，不正确的是　　
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解答】解：、，，
，原说法正确，故本选项不符合题意；
、，
，原说法错误，故本选项符合题意；
、，
，原说法正确，故本选项不符合题意；
、，
，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：．
知识点2 一元一次不等式
1．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．
2．解一元一次不等式
解一元一次不等式步骤如下
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式性质3，即可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
3．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【典例】
例1 （2020秋•西湖区校级期中）下列是一元一次不等式的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、是一元一次不等式，故此选项符合题意；
、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
、不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
、未知数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
故选：．
例2 （2020春•鼓楼区校级期中）下列各式中，是一元一次不等式的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：．中的次数为2，不是一元一次不等式；
．含有2个未知数、，不是一元一次不等式；
．是一元一次不等式；
．中是分式，不是一元一次不等式；
故选：．
例3（2020春•兰考县期末）解不等式，下列去分母正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：不等式两边都乘以分母的最小公倍数6，可得：，
故选：．
例4 （2020•荔湾区二模）解不等式，并在数轴上将解集表示出来．
【解答】解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
把的系数化为1得，
在数轴上表示为：

【方法总结】
1．一元一次不等式
常考查一元一次不等式的定义，解答这类题目要记住以下两个关键点：
①含有一个未知数，②未知数的次数是1．
2．解一元一次不等式
解一元一次不等式关键在于掌握其解题步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．
注意：以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
3．求一元一次不等式的整数解的解题思路
①求一元一次不等式的解集；
②结合题目所给条件，然后在一元一次不等式解集内找出相应的整数，从而解答此类题目．
【随堂练习】
1．（2020春•相城区期末）下列不等式中，属于一元一次不等式的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、含有两个未知数，故选项错误；
、可化为，符合一元一次不等式的定义，故选项正确；
、未知数的最高次数为2，故选项错误；
、分母含未知数是分式，故选项错误．
故选：．
2．（2020秋•沙坪坝区校级月考）下列不等式是一元一次不等式的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：、最高次数是2次，不是一元一次不等式，故本选项错误；
、分母中含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项错误；
、化简为，最高次数是2次，不是一元一次不等式，故本选项错误；
、是一元一次不等式，故本选项正确．
故选：．
3．（2020•广西）把不等式的解集在数轴上表示，正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
故选：．
4．（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组并把解表示在数轴上
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
，
，
，
表示在数轴上为：


（2）两边同时乘6得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得，
解得，
表示在数轴上为：
．
知识点3 一元一次不等式组
1．一元一次不等式组的概念
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
注意：一个一元一次不等式组的几个不等式必须符合三个条件：(1)这里的几个可以是两个、三个、…；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)必须都含有同一个未知教．
2．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间夹；大大小小无解答．
【典例】
例1（2020春•安庆期中）下列不等式组：
①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①是一元一次不等式组；
②是一元一次不等式组；
③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④是一元一次不等式组；
⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：．
例2（2020•西宁）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
．

【方法总结】
1．解一元一次不等式组
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：大大取最大；小小取最小；大小小大中间夹；大大小小无解答．
解集的规律如下图所示：

2．一元一次不等式组的整数解
①求出一元一次不等式组的解集；②在数轴上表示出一元一次不等式组的解集；③结合题目所给条件，然后在一元一次不等式组的解集内确定一元一次不等式组的整数解，从而解答此类题目．
【随堂练习】
1．（2020秋•道外区期末）不等式组的解集是　　
A． B． C．或 D．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
故选：．

2．（2020春•越秀区校级月考）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
．
3．（2020春•市中区校级月考）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【解答】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：


综合运用
1．（2020春•磁县期末）下列选项中是一元一次不等式组的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、含有三个未知数，不符合题意；
、未知数的最高次数是2，不符合题意；
、含有两个未知数，不符合题意；
、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：．
2．（2020春•密山市期末）数学表达式中：①②③④⑤⑥不等式是　①②⑤⑥　（填序号）．
【解答】解：在①②③④⑤⑥中，除③、④之外，式子都含不等号，是不等式，共4个，为①②⑤⑥．
3．（2020秋•柯桥区期中）已知，则下列四个不等式中，不正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：．，
，故本选项不符合题意；
．，
，故本选项符合题意；
．，
，故本选项不符合题意；
．，
，
，故本选项不符合题意；
故选：．
．
4．（2020秋•南岗区校级月考）解不等式：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）去括号得，，
移项、合并得，，
系数化为1得，．
（2）去分母得，，
移项、合并得，．
5．（2020春•抚顺县期末）解不等式，并在数轴上表示它的解集．
【解答】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并，得：，
把这个不等式的解集在数轴上表示如下：

6．（2020秋•金东区期中）解不等式组．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
7．（2020秋•湖里区校级月考）解不等式组：．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．

日期：2021/1/14 8:41:28；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626