初中数学人教版七年级下册9.3 一元一次不等式组课后测评

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第10讲 不等式及不等式组


知识点1 不等式
1．不等式的定义
不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
注意：凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：
①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
3．不等式的解和解集
（1）不等式的解的：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
【典例】
例1 （2020春•叶集区期末）式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：不等式有：①；②；③；⑤，共有4个．
故选：．
例2（2020春•建安区期末）我市某一天的最高气温是，最低气温是零下，则当天我市气温变化范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：这天的最高气温是，最低气温是零下，
当天我市气温变化范围是，
故选：．
例3 （2020秋•越秀区校级期中）要比较两个数、的大小，有时可以通过比较与0的大小来解决：
（1）如果，则；
（2）如果，则；
（3）如果，则．
若，，试比较、的大小．
【解答】解：由于，即．
所以．
【方法总结】
1．不等式的判定方法
用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式．
2．不等式的基本性质
①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．判断某个数是否为不等式的解法思路
将某个数代入不等式，如果不等式成立，那么这个数是该不等式的解；否则，这个数不是不等式的解．
4．求不等式的解集的依据
解不等式的依据是不等式的基本性质，要熟练掌握不等式的基本性质．
【随堂练习】
1．（2020春•建邺区期末）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则，的值分别为　　

A．， B．， C．， D．，
【解答】解：若每天服用2次，则所需剂量为之间，
若每天服用3次，则所需剂量为之间，
所以，一次服用这种药的剂量为之间，
所以，．
故选：．
2．（2020春•大兴区校级期中）下列各式：①；②； ③；④；⑤中，不等式有　　个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以②； ③；⑤为不等式，共有3个．
故选：．
3．（2020春•思明区校级月考）指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质：（填阿拉伯数字）
（1）由，得；根据不等式的基本性质　1　；
（2）由，得；根据不等式得基本性质　　．
【解答】解：（1）由，根据不等式的基本性质1，在不等式两边同时加上，即可得；
故答案为：1；
（2）由，根据不等式的基本性质3，两边同时除以，即可得；
故答案为：3．
4．（2020秋•拱墅区期中）对于任意的，恒成立，则的取值范围是　　．
【解答】解：由得，，
对于任意的，恒成立，
，
解得．
故答案为：．
知识点2 一元一次不等式
1．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．
2．解一元一次不等式
解一元一次不等式步骤如下
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式性质3，即可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
3．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【典例】
例1（2020春•天心区期中）若是一元一次不等式，则　1　．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：1．
例2 （2020春•莒县期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为　　．
【解答】解：是关于的一元一次不等式，
，
解得．
故答案为：．
例3 （2020春•崇川区校级月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
移项得：，
合并得：，
解得：；
所以这个不等式的解集在数轴上表示为：
．
（2），
去分母得：，
去括号得：，
移项及合并同类项得：，
系数化为1得：，
故原不等式的解集是，在数轴上表示如下图所示，
．
例4（2020秋•沙坪坝区校级月考）解不等式：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
移项得：，
合并得：，
解得：；
（2），
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．

【方法总结】
1．一元一次不等式
常考查一元一次不等式的定义，解答这类题目要记住以下两个关键点：
①含有一个未知数，②未知数的次数是1．
2．解一元一次不等式
解一元一次不等式关键在于掌握其解题步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．
注意：以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
3．求一元一次不等式的整数解的解题思路
①求一元一次不等式的解集；
②结合题目所给条件，然后在一元一次不等式解集内找出相应的整数，从而解答此类题目．
【随堂练习】
1．（2020春•赣州期末）若是关于的一元一次不等式，则　1　．
【解答】解：是关于的一元一次不等式，
，，
解得：，
故答案为：1．
2．（2020春•东坡区期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为　2　．
【解答】解：不等式是一元一次不等式，
，
解得：，
故答案为：2．
3．（2020春•南关区月考）聪聪解不等式的步骤如下：
．①
．②
．③
．④
（1）聪聪解不等式时从第　一　步开始出错的（只填写序号）．聪聪由原不等式化为第一步所依据的数学原理是　　．
（2）完成此不等式的正确求解过程．
【解答】解：（1）聪聪的解答过程是从第一步开始出错的，出错原因是去分母时漏乘常数项；
故答案为：一；不等式的性质；
（2）正确解答为：
，
．
．
．
．
4．（2020秋•西湖区校级期中）解不等式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先移项，然后合并同类项，再将系数化为1，即可得到该不等式的解集；
（2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可得到该不等式的解集．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
知识点3 一元一次不等式组
1．一元一次不等式组的概念
由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
注意：一个一元一次不等式组的几个不等式必须符合三个条件：(1)这里的几个可以是两个、三个、…；(2)每个不等式都是一元一次不等式；(3)必须都含有同一个未知教．
2．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间夹；大大小小无解答．
【典例】
例1（2020春•毕节市月考）下列是一元一次不等式组的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：是一元一次不等式组．
故选：．
例2 （2020秋•沙坪坝区校级月考）解不等式组并将不等式组的解集表示在数轴上．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组解集表示在数轴上如下：

（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【方法总结】
1．解一元一次不等式组
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：大大取最大；小小取最小；大小小大中间夹；大大小小无解答．
解集的规律如下图所示：

2．一元一次不等式组的整数解
①求出一元一次不等式组的解集；②在数轴上表示出一元一次不等式组的解集；③结合题目所给条件，然后在一元一次不等式组的解集内确定一元一次不等式组的整数解，从而解答此类题目．
【随堂练习】
1．（2020秋•南岗区校级月考）不等式组的解集为　　．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
2．（2020秋•海淀区校级月考）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为：．
3．（2020秋•温岭市校级月考）解不等式组，并把解集表示在数轴上．

【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：


综合运用
1．（2020春•磁县期末）下列选项中是一元一次不等式组的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、含有三个未知数，不符合题意；
、未知数的最高次数是2，不符合题意；
、含有两个未知数，不符合题意；
、符合一元一次不等式组的定义，符合题意；
故选：．
2．（2020春•密山市期末）数学表达式中：①②③④⑤⑥不等式是　①②⑤⑥　（填序号）．
【解答】解：在①②③④⑤⑥中，除③、④之外，式子都含不等号，是不等式，共4个，为①②⑤⑥．
3．（2020秋•柯桥区期中）已知，则下列四个不等式中，不正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：．，
，故本选项不符合题意；
．，
，故本选项符合题意；
．，
，故本选项不符合题意；
．，
，
，故本选项不符合题意；
故选：．
．
4．（2020秋•南岗区校级月考）解不等式：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）去括号得，，
移项、合并得，，
系数化为1得，．
（2）去分母得，，
移项、合并得，．
5．（2020春•抚顺县期末）解不等式，并在数轴上表示它的解集．
【解答】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并，得：，
把这个不等式的解集在数轴上表示如下：

6．（2020秋•金东区期中）解不等式组．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
7．（2020秋•湖里区校级月考）解不等式组：．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．

日期：2021/1/14 8:41:28；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626