2022-2023学年广东省河源市紫金县琴江中学九年级（下）开学数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年广东省河源市紫金县琴江中学九年级（下）开学数学试卷(含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省河源市紫金县琴江中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  “学习强国”是一款提供优质学习资源的客户端应用，下面是此内“我的栏目下的个子频道的图标，其中的图案是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表式是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列方程中，没有实数根的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，图是一枚古代钱币，图是类似图的几何图形，将图中的图形沿一条对称轴折叠得到图，关于图描述正确的是(    )
 A. 只是轴对称图形 B. 只是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形5.  关于的方程为常数，且的根的情况，下列结论中正确的是(    )A. 一个实数根 B. 两个实数根 C. 三个实数根 D. 无实数根6.  从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征．如果将抛物线绕着原点旋转，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列法正确的是(    )A. 它们的开口方向相同 B. 它们的对称轴相同
C. 它们的变化情况相同 D. 它们的顶点坐标相同7.  用配方法解方程，配方结果正确的是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，用图中阴影部分围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则该圆锥的高为(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，在中将弧沿弦翻折经过圆心交弦于点，，，则长为(    )
A.  B.  C.  D. 10.  二次函数的图象如图所示，对称轴是直线下列结论：；；；为实数其中结论正确的个数为(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.  一个不透明盒子里装有个除颜色外无其他任何差别的球，从盒子中随机摸出一个球，若摸出红球，则盒子里有______个红球．12.  如果一元二次方程的两根分别为，，那么        ．13.  若二次函数经过，则的值为        ．14.  某桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度是时，这时水面宽度为        ．
15.  如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为______ ．
 16.  从个女生个男生中随机抽取两名，则抽到两个女生的概率为______．17.  如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，当顶点在线段上移动时，点横坐标的最小值为在抛物线移动过程中，的最小值是______．
 三、计算题（本大题共3小题，共22.0分）18.  小明有支水笔，分别为红色、蓝色、黑色；有块橡皮，分别为白色、黑色．小明从中任意取出支水笔和块橡皮配套使用．试用树状图或表格列出所有可能的结果，并求取出红色水笔和白色橡皮配套的概率．19.  已知方程的解是，求关于的方程的解．20.  如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到．
图中哪一个点是旋转中心？
按什么方向旋转了多少度？
如果求的长．
四、解答题（本大题共5小题，共43.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.  本小题分已知二次函数的图象经过点，求二次函数的解析式． 22.  本小题分
如图，为内两条相交的弦，交点为，且，求证：．
23.  本小题分
如图所示，在中，，弦与弦交于点，弦与交于点，连接．
求证：；
若的半径长为，，求图中阴影部分面积．
24.  本小题分
如图甲，四边形的边、分别在轴、轴的正半轴上，顶点在点的抛物线交轴于点、，交轴于点，连接、、已知，，，．
求抛物线的解析式及顶点的坐标；
求证：是外接圆的切线；
试探究坐标轴上是否存在一点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
设沿轴正方向平移个单位长度时，与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围．
 25.  本小题分
如图，在中，，是上一点，以为半径的切于点，交于点，且．
求证：；
如图，连接，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表式是，
故选：．
根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 3.【答案】 【解析】解：方程的，该方程有两个不相等的实数根；
方程的，该方程有两个相等实数根；
方程的，该方程有两个不相等的实数根；
方程可变形为，，该方程没有实数根．
故选：．
把各方程整理成一般形式，用根的判别式判断即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式．根的判别式．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答即可．
【解答】
解：图是轴对称图形，A正确；
不是中心对称图形，、、D错误，
故选：．  5.【答案】 【解析】解：关于的方程为常数，且的根的情况，就是函数和函数为常数，且的图象的交点的情况，
函数的对称轴为轴，函数为常数，且的图象在一、三象限或二、四象限，
函数和函数为常数，且的图象的只有一个交点，
关于的方程为常数，且有一个实数根，
故选：．
画出函数和函数为常数，且的图象，根据函数图象即可得到结论．
本题考查了反比例函数的图象，二次函数的图象，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：、它们的开口方向相反，不符合题意；
B、它们的对称轴相同，符合题意；
C、它们的开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，即题目的变化情况不相同，不符合题意；
D、它们的顶点坐标关于原点对称，不符合题意．
故选：．
将抛物线绕着原点旋转，则新抛物线与原抛物线关于原点对称．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，抛物线绕着原点旋转后，新抛物线与原抛物线关于原点对称．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据配方法解一元二次方程的步骤得到，从而可对各选项进行判断．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：正六边形的每一个内角为：，
设该圆锥的底面半径为，
则，
．
圆锥的高为：．
故选：．
先计算出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理即可求出圆锥的高．
本题主要考查正多边形与圆、圆的相关计算以及勾股定理，解题关键是熟练掌握圆锥侧面与圆锥底面圆的关系．
 9.【答案】 【解析】解：如图，连接，，，，过点作交于，连接．

由翻折的性质可知，垂直平分线段，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
可以假设，，则，，，
在中，，
，
，
，
故选：．
如图，连接，，，，过点作交于，连接证明是等边三角形，设，，再利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项错误；
把代入中，得，所以正确；
由时对应的函数值，可得出，由时对应的函数值，可得出，于是得到，即，选项正确；
由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到正确．
【解答】
解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴右侧，

抛物线与轴交于负半轴，
，
，错误；
当时，，
，
，
，
把代入中得，所以正确；
当时，，
，
当时，，
，
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，
时，函数的最小值为，
，
即，所以正确．
故选：．  11.【答案】 【解析】解：设黄球有个，
从盒子中随机摸出一个球，摸出红球，
，
解得：，
故答案为：．
设黄球有个，利用黄球的概率为，再根据概率公式列方程计算即可得解．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 12.【答案】 【解析】解：一元二次方程的两根分别为，，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系直接求得．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
 13.【答案】 【解析】解：把代入，得，
即，
则，
故答案为：．
把代入，即可得出代数式的值，，代入即可得到结论．
本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：当时，
，
解得，，，
当水面离桥拱顶的高度是米时，这时水面宽度为：米，
故答案为：．
根据题目中的函数解析式和题意，将代入函数解析式，求出相应的的值，从而可以得到的长．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 15.【答案】 【解析】解：连接，如图，
，，，
，
绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，
，，，
，，
为等边三角形，
，
，
为等边三角形，
，
即点与点之间的距离为．
故答案为．
连接，如图，先根据含度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得到，，，则可判断为等边三角形，所以，然后判断为等边三角形，从而得到的长．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
 16.【答案】 【解析】解：根据题意画图如下：

一共有种等可能的结果，其中到两个女生的有种结果，
则抽到两个女生的概率为．
故答案为：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出抽到两个女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 17.【答案】 【解析】解：点横坐标最小时，顶点在点，
则函数的表达式为：，
此时点，
则函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
当顶点在处时，值最小
则抛物线的表达式为：，
当时，，
故答案为：．
时，，当顶点在点时，最小，此时点，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，本题关键在于确定的最小值时，抛物线所在的位置，进而求解．
 18.【答案】解：画树状图：

共有种等可能的结果，其中取出红色水笔和白色橡皮占种，
出红色水笔和白色橡皮配套的概率． 【解析】先画出树状图展示所有可能的种结果，找出取出红色水笔和白色橡皮占种，然后根据概率的概念求解即可．
本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数，找出某事件所占有的结果数，则这件事的发生的概率．
 19.【答案】解：把方程两边乘以，得，
解得，经检验是原方程的解，

把代的得，
，
，． 【解析】先解分式方程确定的值为，再把代的得，然后利用因式分解法解此方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了分式方程的解．
 20.【答案】解：绕点逆时针旋转得到，
所以旋转中心为点；
四边形为正方形，
，，
绕点逆时针旋转得到；
绕点逆时针旋转得到，
，，
为等腰直角三角形，
． 【解析】根据旋转的定义求解；
根据旋转的性质得，，则可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度．也考查了等腰直角三角形的性质．
 21.【答案】解：根据题意，得
，
解得，；
该二次函数的解析式为：
． 【解析】根据题意知，将，代入二次函数的解析式，利用待定系数法法求该二次函数的解析式即可．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．解题时，借用了二次函数图象上点的坐标特征：经过图象上的点一定在函数图象上，且图象上的每一个点均满足该函数的解析式．
 22.【答案】解：，
，
，
即，
，
． 【解析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
 23.【答案】证明：，
，又，
∽，
，即；

解：连接，，过作，垂足为点，
如图所示：
，，
又，，
在中，，
，
，
，
则． 【解析】由，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出与相似，根据相似得比例可得证；
连接，，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的倍，由为，求出为，过作垂直于，垂足为点，由，利用三线合一得到为角平分线，可得出为，在中，由及的值，利用锐角三角函数定义求出的长，在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，由扇形的面积的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
 24.【答案】解：由题意，设抛物线解析式为．
将代入上式，解得：．
．
则点．

证明：如图，过点作于点，则．
在中，，
，．
在中，，
，．
．
是外接圆的直径．
在中，，
．
在中，，．
，即．
是外接圆的切线．

解：中，，，，；
若以、、为顶点的三角形与相似，则必为直角三角形；
为斜边时，在轴上，此时与重合；
由、，得、，即，即
满足∽的条件，因此点是符合条件的点，坐标为．
为短直角边时，在轴上；
若以、、为顶点的三角形与相似，则，；
而，则，
即：；
为长直角边时，点在轴上；
若以、、为顶点的三角形与相似，则，；
则，；
综上，得：，，

解：设直线的解析式为．
将，代入，得，解得．
．
过点作射线轴交于点，当时，得，．
情况一：如图，当时，设平移到的位置，交于点，交于点．
则，过点作轴于点，交于点．
由∽，得，即．
解得．
．
情况二：如图，当时，设平移到的位置，交于点，交于点．
由∽，得即，
解得．
，
．
综上所述：． 【解析】已知、、三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点的坐标．
过作轴于，由、、三点坐标，可判断出、都为等腰直角三角形，易证得，即是直角三角形，而是外接圆的直径，因此只需证明与垂直即可．、长易得，能求出的值，结合的值，可得到，由此证得，此题得证．
中，，，即，若以、、为顶点的三角形与相似，那么该三角形必须满足两个条件：有一个角是直角、两直角边满足：的比例关系；然后分情况进行求解即可．
过作轴交于，当点运动在之间时，与重叠部分是个四边形；当点运动到点右侧时，与重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．
该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．
 25.【答案】证明：连结、，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
；
解：作于，如图，则，
设的半径为，
在中，，
，，
易得四边形为矩形，
，
在中，，
，
即， 【解析】连结、，如图，根据切线性质得，则，所以，加上，则，再利用得到，所以，然后根据三角形内角和可计算出，于是可判断为等边三角形，得到，再判断四边形为平行四边形，从而得到；
作于，如图，则，设的半径为，在中利用含度的直角三角形三边的关系得到，易得四边形为矩形，则，再利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义．